Основное уравнение МКТ: формулы и решение задач

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает то, что мы измеряем приборами - давление газа, с тем, что происходит на уровне отдельных молекул - их числом в единице объёма и скоростью их хаотичного движения. Именно оно объясняет, почему нагретый газ давит на стенки сильнее, а разреженный - слабее, и позволяет по микроскопическим характеристикам газа предсказать макроскопическое давление. Ниже разберём, как записывается это уравнение в разных формах, как оно связано с температурой и средней энергией молекул, как из него получить среднеквадратичную скорость и где студенты чаще всего ошибаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать связь температуры, концентрации и скорости с давлением, покрути калькулятор ниже - он считает давление, среднюю энергию и скорость молекул разом и показывает их на графиках.

Что утверждает основное уравнение МКТ

Газ - это огромное число молекул, которые беспорядочно летают и сталкиваются со стенками сосуда. Каждый удар молекулы передаёт стенке импульс, а множество ударов в секунду создают то, что мы воспринимаем как постоянное давление. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории выражает эту мысль формулой:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle,$

где $p$ - давление газа, $n$ - концентрация молекул (число молекул в единице объёма), $m_0$ - масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ - средний квадрат скорости молекул. Множитель $\tfrac{1}{3}$ возникает из-за того, что движение хаотично и в среднем поровну распределено по трём направлениям пространства: к стенке летит лишь треть «эффективного» движения.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы сразу видны три рычага давления: больше молекул в объёме (выше $n$), тяжелее молекулы (больше $m_0$) или быстрее они движутся (больше $\langle v^2 \rangle$) - и давление растёт. Это и есть мост между микромиром и макромиром: справа стоят характеристики отдельных молекул, слева - величина, которую показывает манометр.

Связь с кинетической энергией молекул

Удобнее переписать уравнение через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы $\langle E_к \rangle = \tfrac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$. Подставив её, получаем вторую форму основного уравнения МКТ:

$p = \frac{2}{3} n \langle E_к \rangle.$

Эта запись подчёркивает физический смысл: давление пропорционально концентрации молекул и их средней энергии движения. Чем «энергичнее» молекулы и чем плотнее они упакованы, тем сильнее газ давит на стенки. Именно энергия молекул, а не их скорость напрямую, оказывается ключевой величиной - и она связана с температурой.

Температура и среднеквадратичная скорость

Сравнив уравнение МКТ с уравнением состояния идеального газа $p = n k T$, физики получили фундаментальную связь средней кинетической энергии молекулы с абсолютной температурой:

$\langle E_к \rangle = \frac{3}{2} k T,$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура в кельвинах. Это одно из красивейших соотношений физики: средняя энергия хаотичного движения зависит только от температуры и совершенно не зависит от того, какой это газ. При одной и той же температуре молекула водорода и молекула углекислого газа имеют одинаковую среднюю энергию поступательного движения.

Из этой связи легко получить среднеквадратичную скорость молекул - корень из среднего квадрата скорости. Приравняв $\tfrac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ и выразив скорость, получаем:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},$

где $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, а $M$ - молярная масса газа в килограммах на моль. Вторая форма удобнее в задачах: молярную массу из таблицы Менделеева легко перевести в кг/моль, и не нужно отдельно искать массу одной молекулы.

Рассчитать для своей задачи

Важный нюанс: скорости отдельных молекул сильно разбросаны - есть и медленные, и очень быстрые. Среднеквадратичная скорость - это не максимальная и не самая вероятная, а усреднённая по квадратам характеристика, которая как раз и входит в основное уравнение МКТ. Чем легче газ (меньше $M$), тем выше при той же температуре эта скорость: молекулы водорода при комнатной температуре летают почти вчетверо быстрее молекул кислорода.

Все формы основного уравнения

В задачах удобно держать перед глазами эквивалентные записи - они вытекают одна из другой, и выбор зависит от того, что дано в условии:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{2}{3} n \langle E_к \rangle = n k T.$

Если в условии заданы концентрация и скорость молекул - берём первую форму. Если известна средняя энергия - вторую. Если даны концентрация и температура - самую короткую, $p = n k T$. Все три дают одно и то же давление, и удобно проверять ответ, подставив его в другую форму. Чтобы быстро прикинуть числа для своей задачи, задай температуру, концентрацию и газ в калькуляторе выше: он покажет давление на графике зависимости от температуры и распределение скоростей с отметкой $v_{кв}$.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: в сосуде находится воздух (молярная масса $M = 29$ г/моль) при температуре $t = 27\ °C$, концентрация молекул $n = 2{,}5 \cdot 10^{25}$ м⁻³. Нужно найти давление газа, среднюю кинетическую энергию молекулы и среднеквадратичную скорость.

Сначала переводим температуру в кельвины, иначе формулы дадут неверный результат:

$T = 27 + 273 = 300\ \text{К}.$

Давление проще всего найти через короткую форму $p = n k T$:

$p = 2{,}5 \cdot 10^{25} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 1{,}04 \cdot 10^{5}\ \text{Па} \approx 103\ \text{кПа}.$

Это близко к нормальному атмосферному давлению - значит, порядок величины верный. Средняя кинетическая энергия молекулы зависит только от температуры:

$\langle E_к \rangle = \frac{3}{2} k T = \frac{3}{2} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 6{,}2 \cdot 10^{-21}\ \text{Дж}.$

Наконец, среднеквадратичная скорость молекул воздуха при этой температуре:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{29 \cdot 10^{-3}}} \approx 508\ \text{м/с}.$

Проверка согласованности: подставим энергию во вторую форму уравнения, $p = \tfrac{2}{3} n \langle E_к \rangle = \tfrac{2}{3} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{25} \cdot 6{,}2 \cdot 10^{-21} \approx 1{,}03 \cdot 10^{5}$ Па - тот же результат, что и через $p = n k T$. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку, оставляя вам контроль над формулами и единицами.

Частые ошибки

• Температура в градусах Цельсия. Формулы $p = n k T$, $\langle E_к \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ и $v_{кв} = \sqrt{3 R T / M}$ работают только с абсолютной температурой. Перед расчётом переводите градусы в кельвины: $T_K = t_{°C} + 273$.
• Молярная масса в граммах вместо кг/моль. В формуле скорости $M$ должна быть в килограммах на моль: для воздуха это $29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а не $29$. Забытый множитель $10^{-3}$ занижает скорость примерно в 32 раза.
• Путаница массы молекулы и молярной массы. В первой форме стоит масса одной молекулы $m_0 = M / N_A$, во второй - молярная масса всего моля. Их нельзя подставлять одну вместо другой.
• Замена $\langle v^2 \rangle$ на $\langle v \rangle^2$. Средний квадрат скорости не равен квадрату средней скорости. В уравнение МКТ входит именно средний квадрат, корень из которого и есть $v_{кв}$.
• Потеря множителя одна треть. В первой форме обязателен коэффициент $\tfrac{1}{3}$, отражающий трёхмерность движения. Его пропуск завышает давление втрое.

FAQ

Чему равна средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при 300 К? По формуле $\langle E_к \rangle = \tfrac{3}{2} k T = \tfrac{3}{2} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж. Она одинакова для любого газа при этой температуре и не зависит от массы молекул.

Чем среднеквадратичная скорость отличается от средней? Среднеквадратичная скорость $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$ - это корень из среднего квадрата скорости, и именно она входит в основное уравнение МКТ. Средняя арифметическая скорость и наиболее вероятная скорость чуть меньше: для распределения Максвелла они отличаются на постоянные множители около 0,92 и 0,82 соответственно.

Почему в основном уравнении МКТ стоит множитель одна треть? Молекулы движутся хаотично, и их движение в среднем поровну распределено по трём взаимно перпендикулярным направлениям. На каждую из трёх осей приходится треть среднего квадрата скорости, а давление на стенку создаёт только проекция движения вдоль одной оси - отсюда и коэффициент $\tfrac{1}{3}$.

Коротко

Основное уравнение МКТ связывает давление газа с числом молекул и их движением: $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle = \tfrac{2}{3} n \langle E_к \rangle = n k T$. Средняя кинетическая энергия молекулы зависит только от температуры, $\langle E_к \rangle = \tfrac{3}{2} k T$, а среднеквадратичная скорость равна $v_{кв} = \sqrt{3 R T / M}$. Главное в задачах - переводить температуру в кельвины, молярную массу в кг/моль и не путать средний квадрат скорости с квадратом средней.