Уравнение состояния идеального газа: вывод pV = vRT

Уравнение состояния идеального газа связывает три макропараметра одной порции газа: давление $p$, объём $V$ и абсолютную температуру $T$. В форме Менделеева-Клапейрона оно записывается как $pV = \nu R T$, где $\nu$ это число молей, а $R$ универсальная газовая постоянная. Это не отдельный экспериментальный факт, а следствие молекулярно-кинетической теории и определения температуры: задав три из четырёх величин ($p$, $V$, $T$, $\nu$), четвёртую можно найти однозначно. Ниже разберём вывод по шагам, а калькулятор сразу посчитает недостающую величину для ваших чисел.

Что описывает уравнение состояния

Состояние фиксированной массы газа в равновесии полностью задаётся тремя параметрами: давлением, объёмом и температурой. Уравнение состояния это та связь, которая не даёт им меняться независимо: изменив объём, мы обязаны изменить либо давление, либо температуру, иначе равенство $pV = \nu R T$ нарушится. Для идеального газа эта связь точная, потому что в модели пренебрегают размером молекул и их взаимным притяжением.

Здесь важно не путать уравнение состояния с основным уравнением МКТ. Основное уравнение МКТ выражает давление через микроскопические величины: $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$, то есть через концентрацию молекул, их массу и средний квадрат скорости. Уравнение состояния же связывает только макропараметры $p$, $V$, $T$ и количество вещества. Одно вытекает из другого через определение температуры, и именно этот переход мы сейчас и проделаем.

Вывод из основного уравнения МКТ

Запишем основное уравнение МКТ в удобной форме. Концентрация молекул это $n = N/V$, где $N$ полное число молекул. Тогда

$p = \frac{1}{3} \, n \, m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{2}{3} \, n \left( \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} \right) = \frac{2}{3} \, n \, \langle E_k \rangle,$

где $\langle E_k \rangle$ средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Теперь нужен второй ингредиент: молекулярно-кинетический смысл температуры. По определению абсолютной температуры средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна $T$:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} \, k T,$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К постоянная Больцмана. Подставив это в выражение для давления, получаем

$p = \frac{2}{3} \, n \cdot \frac{3}{2} k T = n k T = \frac{N}{V} k T.$

Отсюда сразу $pV = N k T$. Это и есть уравнение состояния, записанное через число молекул. Множители $\tfrac{2}{3}$ и $\tfrac{3}{2}$ сократились не случайно: коэффициент $\tfrac{3}{2}$ в энергии и $\tfrac{1}{3}$ в давлении это два следствия трёхмерности пространства, и они компенсируют друг друга.

Рассчитать для своей задачи

Переход к форме Менделеева-Клапейрона

Считать молекулы поштучно неудобно: в моле газа их $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}$. Перейдём к количеству вещества $\nu = N / N_A$, то есть $N = \nu N_A$. Подставим в $pV = N k T$:

$pV = \nu N_A k T.$

Произведение двух фундаментальных постоянных $N_A k$ это новая постоянная, одинаковая для всех газов. Её называют универсальной газовой постоянной:

$R = N_A k = 6{,}02 \cdot 10^{23} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \approx 8{,}31 \ \text{Дж/(моль·К)}.$

В итоге уравнение состояния принимает форму Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu R T = \frac{m}{M} R T,$

где в последней записи $\nu$ выражено через массу газа $m$ и его молярную массу $M$. Все три формы $pV = \nu R T = N k T$ это одно и то же уравнение, записанное через моли, через число молекул или через массу.

Смысл универсальной газовой постоянной

Постоянная $R$ это не подгоночный коэффициент, а мост между макро- и микромиром: $R = N_A k$ связывает «человеческую» единицу количества (моль) с энергией одной молекулы (через $k$). Численно $R \approx 8{,}31$ Дж/(моль·К) означает, что нагрев одного моля идеального газа на 1 К при постоянном давлении требует работы порядка $R$ джоулей на расширение. Полезно помнить и контрольную цифру: один моль газа при нормальных условиях (около 0 °C и 101 кПа) занимает примерно 22,4 л. Это прямое следствие уравнения состояния и удобная проверка ответа в задачах.

Рассчитать для своей задачи

Связь с газовыми законами и изопроцессами

Уравнение состояния содержит в себе все частные газовые законы как предельные случаи при фиксированном одном параметре. Если зафиксировать температуру, то $pV = \text{const}$ это закон Бойля-Мариотта (изотерма, гипербола на диаграмме $p$-$V$). При постоянном давлении $V/T = \text{const}$ это закон Гей-Люссака (изобара). При постоянном объёме $p/T = \text{const}$ это закон Шарля (изохора). Подробный разбор того, как эти процессы выглядят на разных диаграммах, есть в статье про изопроцессы идеального газа и их графики.

Если же количество газа не меняется, но меняются сразу все три параметра, удобна форма объединённого газового закона:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}.$

Она получается прямо из $pV = \nu R T$: для одной и той же порции газа $\nu R$ постоянно, поэтому отношение $pV/T$ сохраняется при любом переходе из состояния 1 в состояние 2.

Когда модель работает

Уравнение состояния идеального газа точно лишь в пределе разреженного газа, где молекулы редко сталкиваются и их собственный объём пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда. Для воздуха при комнатных условиях точность вполне приличная, погрешность порядка процента. Но при высоких давлениях и низких температурах, близких к конденсации, начинают сказываться размеры молекул и силы притяжения между ними, и тогда переходят к уравнению Ван-дер-Ваальса с поправками на эти эффекты. Поэтому в задачах всегда стоит проверять, насколько условия далеки от сжижения газа.

Частые ошибки

• Температура в Цельсиях вместо Кельвинов. В уравнение состояния входит абсолютная температура. Перед подстановкой переводите: $T(\text{К}) = t(°C) + 273$. Подстановка градусов Цельсия даёт грубо неверный ответ, особенно у комнатных температур.
• Путаница молей и массы. Если дана масса газа, нужно сначала найти $\nu = m/M$ через молярную массу, и только потом подставлять в $pV = \nu R T$. Прямая подстановка массы вместо $\nu$ ошибка.
• Несогласованные единицы. Со значением $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) всё должно быть в СИ: давление в паскалях, объём в кубометрах. Литры и килопаскали надо перевести, иначе ответ уедет на порядки.
• Смешение с основным уравнением МКТ. $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$ и $pV = \nu R T$ описывают разное: первое давление через скорости молекул, второе связь макропараметров. В одной задаче их часто используют вместе, но это не одна и та же формула.

FAQ

Чем уравнение состояния отличается от основного уравнения МКТ? Основное уравнение МКТ выражает давление через микропараметры: концентрацию, массу и средний квадрат скорости молекул. Уравнение состояния связывает макропараметры $p$, $V$, $T$ и количество вещества. Второе выводится из первого подстановкой определения температуры $\langle E_k \rangle = \tfrac{3}{2} k T$.

Откуда берётся универсальная газовая постоянная R? $R$ это произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана: $R = N_A k \approx 8{,}31$ Дж/(моль·К). Она появляется при переходе от числа молекул $N$ к числу молей $\nu = N/N_A$ и одинакова для всех идеальных газов, отсюда слово «универсальная».

Можно ли вывести уравнение состояния без МКТ, только из газовых законов? Да. Объединив законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля, получают $pV/T = \text{const}$ для фиксированной массы газа. Измерив эту постоянную для одного моля при нормальных условиях, находят $R$, и получается то же $pV = \nu R T$. Вывод через МКТ дополнительно раскрывает молекулярный смысл $R$ и температуры.

Коротко

Уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T = N k T$ это связь давления, объёма, температуры и количества вещества для одной порции газа. Оно выводится из основного уравнения МКТ подстановкой определения температуры $\langle E_k \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ и сводится к форме Менделеева-Клапейрона при переходе от молекул к молям, где $R = N_A k \approx 8{,}31$ Дж/(моль·К). Все частные газовые законы и объединённый газовый закон это его частные случаи. Главное в задачах: температура в Кельвинах, согласованные единицы СИ и аккуратный пересчёт массы в моли.