Закон Гей-Люссака: изохорный процесс и формула p/T = const

Закон Гей-Люссака описывает изохорный процесс - процесс, идущий при постоянном объёме газа ($V = const$). Его суть проста: если газ заперт в жёстком сосуде и не может расширяться, то при нагреве его давление растёт прямо пропорционально абсолютной температуре. Именно поэтому закрытый баллон опасно бросать в огонь, а давление в шинах зимой ниже, чем летом. Ниже разберём формулу изохорного процесса $p/T = const$, посмотрим, почему на диаграмме p-T получается прямая через начало координат, распутаем извечную путаницу с законом Шарля и решим типовые задачи. Чтобы сразу почувствовать связь давления и температуры, покрути калькулятор ниже: задай начальные условия и конечную температуру - он мгновенно найдёт конечное давление и покажет рабочие точки на изохоре.

Формула закона Гей-Люссака для изохорного процесса

Изохорный процесс - один из трёх изопроцессов идеального газа: при нём фиксируется объём, а давление и температура меняются связанно. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu R T$ при $V = const$ и неизменном количестве вещества $\nu$ сразу следует, что отношение давления к температуре остаётся постоянным:

$\frac{p}{T} = const \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}.$

Из этой пропорции удобно выражать любую неизвестную величину. Чаще всего ищут конечное давление после нагрева или охлаждения:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}.$

Главное условие - температура обязательно в кельвинах. Пропорциональность $p \propto T$ работает только для абсолютной шкалы: давление обращается в ноль не при 0 °C, а при абсолютном нуле -273,15 °C. Подставлять в формулу градусы Цельсия - самая частая и грубая ошибка.

Рассчитать для своей задачи

Почему давление растёт при нагреве

Молекулярно-кинетическая теория объясняет закон Гей-Люссака наглядно. Давление газа - это результат ударов молекул о стенки сосуда. При нагреве средняя кинетическая энергия молекул растёт ($\langle E_k \rangle = \tfrac{3}{2} k T$), они движутся быстрее. Поскольку объём заперт и стенки не отодвигаются, молекулы бьются о них и чаще, и сильнее - суммарная сила на единицу площади, то есть давление, увеличивается ровно пропорционально температуре.

Важно, что при изохорном процессе газ не совершает механической работы: $A = p\,\Delta V = 0$, ведь $\Delta V = 0$. Поэтому, по первому началу термодинамики, вся подведённая теплота идёт только на увеличение внутренней энергии газа: $Q = \Delta U = \nu C_V \Delta T$. Это отличает изохору от изобары, где часть теплоты уходит на работу расширения - подробный разбор работы газа при постоянном давлении есть в статье про изобарный процесс.

График изохорного процесса на диаграмме p-T

На диаграмме давление-температура изохорный процесс - это прямая линия, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент этой прямой равен $p_1/T_1 = \nu R / V$: чем меньше объём сосуда, тем круче изохора. Прямая идёт строго через ноль, потому что при $T \to 0$ давление тоже стремится к нулю.

Рассчитать для своей задачи

Если построить тот же процесс на других осях, картинка изменится. На диаграмме p-V изохора превращается в вертикальный отрезок (объём не меняется, давление растёт вверх), а на диаграмме V-T - в горизонтальную прямую. Как один и тот же процесс выглядит на всех трёх диаграммах сразу и где студенты путают кривые, подробно разобрано в статье про графики изопроцессов идеального газа.

Путаница: закон Гей-Люссака или закон Шарля

Здесь кроется главная терминологическая ловушка. В разных учебниках одни и те же законы называются по-разному, и это сбивает с толку:

• В большинстве российских школьных и вузовских учебников законом Гей-Люссака называют именно изохорный закон $p/T = const$, а изобарный закон $V/T = const$ относят к закону Гей-Люссака для объёма или вообще к закону Шарля.
• В западной (и части современной) традиции наоборот: законом Шарля называют изохорный $p/T = const$, а законом Гей-Люссака - изобарный $V/T = const$.

Историческая правда в том, что и Жак Шарль, и Жозеф Гей-Люссак изучали тепловое расширение газов, и оба закона тесно связаны. Поэтому на экзамене ориентируйтесь не на фамилию, а на то, какая величина зафиксирована. Тема этой статьи - именно изохорный процесс, где постоянен объём, а связаны давление и температура: $p/T = const$. Как бы его ни назвали в конкретном задачнике, формула остаётся той же.

Разбор типовой задачи

Решим характерную задачу. Газ в закрытом баллоне постоянного объёма имеет давление $p_1 = 200$ кПа при температуре $t_1 = 27$ °C. До какого давления вырастет давление, если газ нагреть до $t_2 = 177$ °C?

Сначала переводим температуры в кельвины:

$T_1 = 27 + 273 = 300\ \text{К}, \qquad T_2 = 177 + 273 = 450\ \text{К}.$

Применяем закон Гей-Люссака для изохорного процесса:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 200 \cdot \frac{450}{300} = 300\ \text{кПа}.$

Температура выросла в полтора раза ($450/300 = 1{,}5$), и давление выросло ровно во столько же раз - до 300 кПа. Это и есть смысл изохоры: $p$ и $T$ меняются в одинаковое число раз. Те же числа заложены в калькулятор выше и в анимацию - можно сверить ответ глазами, двигая ползунки.

Где закон Гей-Люссака встречается на практике

Изохорный процесс - не только школьная абстракция. Давление в автомобильных шинах падает зимой именно по закону Гей-Люссака: объём шины почти постоянен, а температура воздуха снизилась. Газовые баллоны (пропановые, кислородные) маркируют максимальной температурой хранения, потому что при перегреве давление внутри растёт пропорционально $T$ и может превысить предел прочности. На том же принципе работает газовый термометр постоянного объёма: измеряя давление запертого газа, можно определять температуру по линейной зависимости $p \propto T$.

Частые ошибки

• Градусы Цельсия вместо кельвинов. Закон $p/T = const$ верен только для абсолютной температуры. Подстановка °C даёт неверный ответ, иногда в разы.
• Перепутаны процессы. Изохорный - постоянный объём (связаны $p$ и $T$); изобарный - постоянное давление (связаны $V$ и $T$); изотермический - постоянная температура (связаны $p$ и $V$). Не путайте, какая величина фиксирована.
• Прямая не через ноль. На p-T изохора обязана проходить через начало координат. Если ваша прямая отсекает на оси отрезок - модель неверна.
• Учёт работы газа. При изохорном процессе работа равна нулю: вся теплота идёт во внутреннюю энергию. Прибавлять «работу расширения» здесь не нужно.
• Зависимость от фамилии. Не привязывайтесь к названию закона - в разных книгах изохорный закон зовут и Гей-Люссака, и Шарля. Смотрите на постоянную величину.

FAQ

Чем закон Гей-Люссака отличается от закона Шарля? Это вопрос терминологии. В одной традиции изохорный закон $p/T = const$ называют законом Гей-Люссака, в другой - законом Шарля. Физически речь об одном и том же: при постоянном объёме давление пропорционально абсолютной температуре. Ориентируйтесь на зафиксированную величину, а не на фамилию.

Почему в формуле обязательно кельвины? Потому что пропорциональность $p \propto T$ выполняется только от абсолютного нуля. Давление идеального газа стремится к нулю при $T = 0$ К ($-273{,}15$ °C), а не при $0$ °C. В шкале Цельсия пропорция нарушается, и пользоваться ею в законе нельзя.

Совершает ли газ работу при изохорном процессе? Нет. Работа газа равна $A = p\,\Delta V$, а при $V = const$ изменение объёма $\Delta V = 0$, поэтому $A = 0$. Вся подведённая теплота идёт на изменение внутренней энергии: $Q = \Delta U = \nu C_V \Delta T$.

Коротко

Изохорный процесс - это процесс при постоянном объёме, и закон Гей-Люссака для него гласит: давление прямо пропорционально абсолютной температуре, $p/T = const$, откуда $p_2 = p_1 T_2/T_1$. На диаграмме p-T это прямая через начало координат, газ работы не совершает, а вся теплота идёт во внутреннюю энергию. Главное - переводить температуру в кельвины и не путаться в названиях: в разных учебниках изохорный закон зовут и Гей-Люссака, и Шарля, но формула от этого не меняется.