Наиболее вероятная скорость молекул газа: формула

Молекулы газа движутся хаотично и с очень разными скоростями: какие-то почти стоят, какие-то летят втрое быстрее остальных. Но если построить распределение по скоростям, у него есть чёткий максимум - скорость, с которой движется самая большая доля молекул. Это и есть наиболее вероятная скорость $v_в$, и для идеального газа она даётся короткой формулой $v_в = \sqrt{2RT/M}$. Ниже разберём, откуда берётся эта формула, чем $v_в$ отличается от средней и среднеквадратичной скоростей, как все три связаны фиксированным отношением и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как скорость зависит от газа и температуры, покрути калькулятор ниже: он считает все три скорости и кладёт их прямо на кривую Максвелла.

Что такое наиболее вероятная скорость

В газе нет единой «скорости молекул»: из-за столкновений энергии перераспределяются, и в каждый момент молекулы имеют целый спектр скоростей. Распределение Максвелла описывает, какая доля молекул попадает в узкий интервал скоростей около значения $v$. Эта функция $f(v)$ равна нулю при $v = 0$, растёт, проходит через максимум и затем медленно спадает к нулю при больших скоростях. Скорость, при которой $f(v)$ достигает максимума, и называется наиболее вероятной: молекул с такой скоростью больше всего.

Рассчитать для своей задачи

Важно не путать наиболее вероятную скорость с самой частой энергией или с пиком по проекции скорости - речь именно о модуле скорости $v = |\vec v|$. Из-за множителя $v^2$ в распределении пик по модулю сдвинут вправо относительно нуля, хотя по любой отдельной проекции (например $v_x$) самое вероятное значение равно нулю.

Формула наиболее вероятной скорости

Распределение Максвелла по модулю скорости имеет вид:

$f(v) = 4\pi n \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^2 \, e^{-\frac{m v^2}{2 k T}},$

где $m$ - масса одной молекулы, $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура. Чтобы найти максимум, приравниваем производную $f'(v)$ к нулю. Постоянные множители при дифференцировании не важны, поэтому достаточно исследовать $g(v) = v^2 e^{-m v^2 / 2kT}$:

$g'(v) = 2v\, e^{-\frac{m v^2}{2kT}} + v^2 \left(-\frac{m v}{kT}\right) e^{-\frac{m v^2}{2kT}} = 0.$

Вынося общие множители и сокращая на $v\,e^{-mv^2/2kT}$, получаем условие максимума:

$2 - \frac{m v^2}{kT} = 0 \quad\Rightarrow\quad v_в = \sqrt{\frac{2kT}{m}}.$

Переходя от массы одной молекулы к молярной массе ($m = M/N_A$, $k N_A = R$), приходим к рабочей форме формулы:

$v_в = \sqrt{\frac{2RT}{M}},$

где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, $M$ - молярная масса в килограммах на моль, $T$ - температура в кельвинах. Например, для азота ($M = 0{,}028$ кг/моль) при $T = 300$ К получаем $v_в = \sqrt{2 \cdot 8{,}314 \cdot 300 / 0{,}028} \approx 422$ м/с.

Рассчитать для своей задачи

Чем vв отличается от средней и среднеквадратичной

У распределения Максвелла есть три характерные скорости, и их легко перепутать. Наиболее вероятная $v_в$ - это положение максимума кривой. Средняя скорость $\bar v$ - это среднее арифметическое модулей скорости по всем молекулам. Среднеквадратичная $v_{кв}$ - корень из среднего квадрата скорости, именно она входит в выражение для средней кинетической энергии. Их формулы отличаются только числовым коэффициентом под корнем:

$v_в = \sqrt{\frac{2RT}{M}}, \qquad \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}, \qquad v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.$

Поскольку под корнем у всех трёх стоит одна и та же комбинация $RT/M$, их отношение не зависит ни от газа, ни от температуры:

$v_в : \bar v : v_{кв} = 1 : \sqrt{\frac{4}{\pi}} : \sqrt{\frac{3}{2}} = 1 : 1{,}13 : 1{,}22.$

То есть наиболее вероятная скорость всегда наименьшая из трёх, средняя на 13% больше, а среднеквадратичная больше на 22%. Это удобный контроль: если в задаче получилось, что $v_в$ оказалась больше средней, где-то ошибка. Для азота при 300 К это $v_в \approx 422$ м/с, $\bar v \approx 476$ м/с и $v_{кв} \approx 517$ м/с - числа можно проверить калькулятором выше.

Как vв зависит от температуры и газа

Из формулы $v_в = \sqrt{2RT/M}$ сразу видны две зависимости. Во-первых, скорость растёт с температурой как $\sqrt{T}$: чтобы удвоить наиболее вероятную скорость, температуру (в кельвинах) нужно увеличить в четыре раза. Во-вторых, при одной температуре скорость падает с ростом молярной массы как $1/\sqrt{M}$: лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых. Поэтому водород при комнатной температуре имеет $v_в$ около 1580 м/с, а углекислый газ - всего около 337 м/с.

Рассчитать для своей задачи

При нагреве газа происходит характерное изменение формы кривой: пик уезжает вправо, а сама кривая становится ниже и расплывается. Высота падает потому, что площадь под кривой равна полному числу молекул и должна сохраняться - если скорости «размазались» по более широкому диапазону, плотность в каждой точке уменьшается. Этот эффект хорошо виден на втором графике калькулятора, где одна и та же кривая показана при температуре $T$ и $2T$.

Частые ошибки

• Температура в градусах Цельсия. В формулу $v_в = \sqrt{2RT/M}$ подставляют только абсолютную температуру в кельвинах: $T = t + 273{,}15$. Подстановка градусов Цельсия даёт грубо неверный ответ, а при отрицательных $t$ - корень из отрицательного числа.
• Молярная масса в граммах. $M$ должна быть в килограммах на моль: для азота это $0{,}028$, а не $28$. Если взять граммы, скорость получится в тысячу раз меньше реальной.
• Путаница трёх скоростей. Коэффициент под корнем у $v_в$ равен 2, у среднеквадратичной - 3, у средней - $8/\pi$. Перепутать их легко, поэтому держите в голове отношение $1 : 1{,}13 : 1{,}22$.
• Линейный рост со временем нагрева. Скорость растёт не пропорционально температуре, а как $\sqrt{T}$. При нагреве вдвое скорость увеличивается лишь в $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ раза.
• Пик по проекции вместо модуля. Наиболее вероятная скорость относится к модулю $|\vec v|$. По отдельной оси самое вероятное значение проекции равно нулю - это другое распределение.

FAQ

По какой формуле считают наиболее вероятную скорость молекул газа? По формуле $v_в = \sqrt{2RT/M}$, где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К), $T$ - температура в кельвинах, $M$ - молярная масса в кг/моль. Эквивалентная запись через массу одной молекулы и постоянную Больцмана: $v_в = \sqrt{2kT/m}$.

Почему наиболее вероятная скорость меньше средней и среднеквадратичной? Потому что распределение Максвелла несимметрично: оно круто растёт слева от пика и медленно спадает справа, образуя длинный «хвост» больших скоростей. Этот хвост подтягивает среднее и особенно среднее значение квадрата скорости в сторону больших значений, поэтому $\bar v$ и $v_{кв}$ оказываются правее максимума $v_в$.

Как наиболее вероятная скорость зависит от температуры? Как корень из температуры: $v_в \propto \sqrt{T}$. Если абсолютную температуру увеличить в 4 раза, наиболее вероятная скорость вырастет ровно вдвое. При охлаждении к абсолютному нулю $v_в$ стремится к нулю.

Коротко

Наиболее вероятная скорость молекул газа - это положение максимума распределения Максвелла, и она даётся формулой $v_в = \sqrt{2RT/M}$. Она наименьшая из трёх характерных скоростей: вместе со средней $\bar v = \sqrt{8RT/\pi M}$ и среднеквадратичной $v_{кв} = \sqrt{3RT/M}$ она образует фиксированное отношение $1 : 1{,}13 : 1{,}22$, независимое от газа и температуры. Скорость растёт с температурой как $\sqrt{T}$ и падает с молярной массой как $1/\sqrt{M}$, поэтому лёгкие газы при одной температуре быстрее тяжёлых.