Цикл Карно: работа газа и КПД тепловой машины

Цикл Карно - это идеальный термодинамический цикл, в котором рабочее тело (как правило, идеальный газ) совершает максимально возможную работу при переходе теплоты от нагревателя к холодильнику. Он состоит всего из двух изотерм и двух адиабат, но именно эта простота делает его эталоном: ни одна реальная тепловая машина, работающая между теми же температурами, не может иметь КПД выше, чем у цикла Карно. Ниже разберём, из каких процессов он складывается, как вывести формулу КПД через температуры нагревателя и холодильника, как посчитать работу идеального газа за цикл и где студенты чаще всего ошибаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать связь температур, теплоты и работы, покрути калькулятор ниже: он показывает цикл сразу с трёх сторон - p-V диаграмма, T-S диаграмма и поток энергии, - а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Из каких процессов состоит цикл Карно

Цикл Карно - замкнутый, он состоит из четырёх обратимых процессов, которые идут друг за другом:

Рассчитать для своей задачи

1. Изотермическое расширение при температуре нагревателя $T_н$. Газ контактирует с нагревателем, расширяется и получает от него теплоту $Q_н$. Температура не меняется, поэтому вся подведённая теплота идёт на работу газа.
2. Адиабатическое расширение. Газ теплоизолирован, продолжает расширяться уже без подвода теплоты и охлаждается от $T_н$ до $T_х$ за счёт собственной внутренней энергии.
3. Изотермическое сжатие при температуре холодильника $T_х$. Над газом совершают работу, он сжимается и отдаёт холодильнику теплоту $Q_х$.
4. Адиабатическое сжатие. Газ снова теплоизолирован, его сжимают, и он нагревается обратно от $T_х$ до $T_н$, возвращаясь в исходное состояние.

После четвёртого процесса система оказывается в той же точке, что и в начале, поэтому за полный цикл изменение внутренней энергии равно нулю: $\Delta U = 0$. Это ключевое условие - из него следует, что вся работа газа за цикл равна разности подведённой и отведённой теплоты.

Формула КПД цикла Карно

КПД любой тепловой машины - это отношение полезной работы $A$ к подведённой теплоте $Q_н$:

$\eta = \frac{A}{Q_н} = \frac{Q_н - Q_х}{Q_н} = 1 - \frac{Q_х}{Q_н}.$

Для цикла Карно справедливо особое соотношение: отношение теплот равно отношению абсолютных температур, при которых эти теплоты передаются:

$\frac{Q_х}{Q_н} = \frac{T_х}{T_н}.$

Подставив его в выражение для КПД, получаем главную формулу цикла Карно:

$\eta = 1 - \frac{T_х}{T_н},$

где $T_н$ и $T_х$ - абсолютные температуры нагревателя и холодильника в кельвинах. Важно: КПД зависит только от температур и не зависит от рода газа, его количества или давления. Чем больше разница температур, тем выше КПД, но достичь $\eta = 1$ невозможно - для этого холодильник должен был бы иметь температуру абсолютного нуля.

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме давление-объём цикл Карно выглядит как криволинейный четырёхугольник: верхняя и нижняя дуги - изотермы при $T_н$ и $T_х$, боковые - адиабаты. Площадь, ограниченная этим контуром, численно равна работе газа за цикл - чем «толще» фигура, тем больше полезная работа.

Работа газа за цикл

Поскольку за полный цикл $\Delta U = 0$, первое начало термодинамики $Q = \Delta U + A$ сразу даёт работу газа:

$A = Q_н - Q_х = \eta \, Q_н.$

То есть, зная подведённую теплоту $Q_н$ и температуры, работу можно найти двумя эквивалентными путями: либо как разность теплот, либо как произведение КПД на $Q_н$. Если же нужно посчитать работу через параметры газа напрямую, удобно разложить её по процессам. Работа газа в каждой изотерме выражается логарифмом отношения объёмов:

$A_{12} = \nu R T_н \ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad A_{34} = \nu R T_х \ln\frac{V_4}{V_3},$

а работы на адиабатах при сложении взаимно сокращаются. Из условия адиабат следует, что $V_2/V_1 = V_3/V_4$, поэтому суммарная работа за цикл сводится к удобной форме:

$A = \nu R (T_н - T_х) \ln\frac{V_2}{V_1}.$

Чтобы быстро прикинуть работу для конкретной задачи, задай подведённую теплоту и температуры в калькуляторе ниже: он покажет КПД на шкале, работу за цикл и теплоту, отданную холодильнику.

Теорема Карно и почему этот цикл - эталон

Теорема Карно утверждает: КПД обратимой машины, работающей по циклу Карно, максимален среди всех машин, работающих между теми же температурами $T_н$ и $T_х$, и не зависит от устройства машины и рода рабочего тела. Любая необратимость - трение, конечная разность температур при теплообмене, турбулентность - только снижает КПД. Поэтому формула $\eta = 1 - T_х/T_н$ задаёт верхнюю границу эффективности, к которой можно лишь приближаться. Этим цикл Карно и ценен в задачах: он позволяет оценить, насколько реальная установка далека от идеала, и понять, какой выигрыш в принципе достижим при повышении температуры нагревателя.

У того же цикла есть и «зеркальная» версия - если прогнать его в обратную сторону, получится идеальная холодильная машина; её эффективность описывается уже не КПД, а холодильным коэффициентом обратного цикла Карно.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: идеальный газ совершает цикл Карно между нагревателем с температурой $t_н = 227\ °C$ и холодильником с температурой $t_х = 27\ °C$. За цикл от нагревателя получено $Q_н = 1000$ Дж теплоты. Нужно найти КПД, работу газа за цикл и теплоту, отданную холодильнику.

Первым делом переводим температуры в кельвины, иначе формула КПД даст неверный результат:

$T_н = 227 + 273 = 500\ \text{К}, \qquad T_х = 27 + 273 = 300\ \text{К}.$

Теперь считаем КПД по основной формуле цикла Карно:

$\eta = 1 - \frac{T_х}{T_н} = 1 - \frac{300}{500} = 0{,}4 \;=\; 40\%.$

Зная КПД и подведённую теплоту, находим работу газа за цикл - это и есть полезная отдача машины:

$A = \eta \, Q_н = 0{,}4 \cdot 1000 = 400\ \text{Дж}.$

Наконец, теплота, отданная холодильнику, - это та часть, которая не превратилась в работу:

$Q_х = Q_н - A = 1000 - 400 = 600\ \text{Дж}.$

Проверка согласованности: отношение теплот $Q_х/Q_н = 600/1000 = 0{,}6$ совпадает с отношением температур $T_х/T_н = 300/500 = 0{,}6$, как и требует соотношение Карно. Если ваши числа этой проверки не проходят, значит, где-то закралась ошибка в переводе единиц или в подстановке. Оба калькулятора выше собирают именно такую цепочку рассуждений автоматически, оставляя вам контроль над формулами и единицами.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия. Формула $\eta = 1 - T_х/T_н$ работает только с абсолютной температурой. Перед расчётом переводите градусы в кельвины: $T_K = t_{°C} + 273{,}15$.
• Путаница, какая температура в числителе. В числителе дроби стоит температура холодильника $T_х$, в знаменателе - нагревателя $T_н$. Если поменять их местами, КПД получится отрицательным или больше единицы.
• Знак отданной теплоты. $Q_х$ - теплота, отданная холодильнику; в балансе работы она вычитается. Записывать её со знаком «плюс» в формуле $A = Q_н - Q_х$ - типичная ошибка.
• Попытка получить КПД больше единицы. Если в ответе $\eta > 1$, значит, перепутаны температуры или единицы. КПД всегда строго меньше единицы.
• Игнорирование обратимости. Формула Карно верна только для идеального обратимого цикла. Для реальной машины она даёт лишь верхнюю оценку, а не точное значение.

FAQ

Чему равен КПД цикла Карно при температурах нагревателя 500 К и холодильника 300 К? Подставляем в формулу: $\eta = 1 - 300/500 = 0{,}4$, то есть 40%. Это предельный КПД - реальная машина между теми же температурами даст меньше.

Почему работа газа за цикл равна площади внутри контура на PV-диаграмме? Работа газа в каждом процессе равна интегралу $\int p\,dV$, то есть площади под кривой процесса. За замкнутый цикл вклады расширения (положительные) и сжатия (отрицательные) складываются, и остаётся именно площадь, ограниченная контуром цикла.

Зависит ли КПД цикла Карно от рода газа? Нет. КПД определяется только температурами нагревателя и холодильника. Ни род газа, ни его количество, ни начальное давление на КПД не влияют - это прямое следствие теоремы Карно.

Коротко

Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат, а его КПД задаётся формулой $\eta = 1 - T_х/T_н$ через абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Работа газа за цикл равна $A = Q_н - Q_х = \eta\,Q_н$ и численно совпадает с площадью контура на PV-диаграмме. Этот цикл - эталон: он задаёт максимальный КПД, достижимый между двумя температурами, и служит точкой отсчёта для оценки реальных тепловых машин.