Как определить передаточное число редуктора: расчёт

Дано: двухступенчатый цилиндрический редуктор в приводе конвейера, двигатель мощностью 5,5 кВт с частотой вращения 1450 об/мин, числа зубьев $z_1 = 20$, $z_2 = 100$, $z_3 = 18$, $z_4 = 90$, КПД редуктора $\eta = 0{,}96$. Найти: общее передаточное число, частоту вращения и крутящий момент на выходном валу.

Передаточное число ступени равно отношению числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни, а общее передаточное число многоступенчатого редуктора равно произведению чисел его ступеней. Ответ: $u = 25$, $n_{\text{вых}} = 58$ об/мин, $T_{\text{вых}} \approx 869$ Н·м. Калькулятор сверху пересчитает эти величины под другие числа зубьев и обороты, ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Кинематическая цепь привода: двигатель, быстроходная ступень, тихоходная ступень, выходной вал.

Шаг 1. Передаточное число быстроходной ступени. Делим число зубьев ведомого колеса на число зубьев ведущей шестерни:

$$u_1 = \frac{z_2}{z_1} = \frac{100}{20} = 5.$$

Шаг 2. Передаточное число тихоходной ступени. Та же формула для второй пары:

$$u_2 = \frac{z_4}{z_3} = \frac{90}{18} = 5.$$

Шаг 3. Общее передаточное число. Ступени соединены последовательно: колесо первой ступени сидит на одном валу с шестернёй второй, поэтому передаточные числа перемножаются, а не складываются:

$$u_{\text{общ}} = u_1 \cdot u_2 = 5 \cdot 5 = 25.$$

Шаг 4. Частота вращения валов. Каждая ступень делит обороты на своё передаточное число:

$$\begin{aligned} n_{\text{пром}} &= \frac{n_{\text{дв}}}{u_1} = \frac{1450}{5} = 290 \ \text{об/мин}, \\ n_{\text{вых}} &= \frac{n_{\text{дв}}}{u_{\text{общ}}} = \frac{1450}{25} = 58 \ \text{об/мин}. \end{aligned}$$

Шаг 5. Крутящий момент на выходном валу. Сначала переводим обороты в угловую скорость, затем делим на неё мощность с учётом потерь в редукторе:

$$\omega_{\text{вых}} = \frac{\pi n_{\text{вых}}}{30} = \frac{3{,}1416 \cdot 58}{30} = 6{,}07 \ \text{рад/с},$$ $$T_{\text{вых}} = \frac{P \eta}{\omega_{\text{вых}}} = \frac{5500 \cdot 0{,}96}{6{,}07} \approx 869 \ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 6. Проверка через момент двигателя. Момент на валу двигателя равен $T_{\text{дв}} = 5500 / 151{,}84 = 36{,}2$ Н·м, а редуктор увеличивает его в $u$ раз с потерей на КПД:

$$T_{\text{вых}} = T_{\text{дв}} \cdot u_{\text{общ}} \cdot \eta = 36{,}2 \cdot 25 \cdot 0{,}96 \approx 869 \ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Оба пути дали одно число, значит расчёт согласован.

Ответ. Общее передаточное число $u_{\text{общ}} = 25$; частота вращения выходного вала $n_{\text{вых}} = 58$ об/мин; крутящий момент $T_{\text{вых}} \approx 869$ Н·м.

Формула передаточного числа и откуда она берётся

По определению передаточное число - это отношение частоты вращения ведущего вала к частоте вращения ведомого:

$$u = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2}.$$

Формула через зубья выводится из условия зацепления. В точке контакта окружные скорости колёс равны, иначе зубья проскальзывали бы: $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$. Отсюда $u = r_2 / r_1 = d_2 / d_1$. Диаметр делительной окружности равен $d = m z$, где $m$ - модуль, одинаковый у обоих колёс пары (иначе зубья просто не войдут в зацепление). Модуль сокращается, и остаётся привычное:

$$u = \frac{z_2}{z_1}.$$

Постоянство передаточного числа в течение оборота обеспечивает эвольвентный профиль зуба: у эвольвенты окружности нормаль в точке контакта всегда проходит через одну и ту же полюсную точку, поэтому отношение скоростей не меняется даже при небольшой погрешности межосевого расстояния.

Термины различают так: передаточное число $u$ - величина безразмерная и по модулю всегда больше единицы у редуктора (обороты понижаются), а передаточное отношение $i$ учитывает ещё и направление вращения, поэтому у пары внешнего зацепления оно отрицательное. В курсовых по деталям машин от студента обычно требуют именно $u$.

Для других типов редукторов формула та же, меняется только смысл величин. У червячного редуктора $u = z_2 / z_1$, где $z_1$ - число заходов червяка (1, 2 или 4), а не число зубьев, отсюда огромные передаточные числа при одной ступени. У планетарной передачи с неподвижным эпициклом $u = 1 + z_{\text{э}} / z_{\text{с}}$, где индексы означают эпицикл и солнечное колесо.

Как определить передаточное число готового редуктора

Задача «определить» встречается и в лабораторной работе, где редуктор лежит на столе, а чертежа к нему нет. Работают три способа.

По шильдику. У мотор-редукторов и серийных редукторов передаточное число выбито в типоразмере: например, в обозначении Ц2У-160-25 последнее число и есть $u = 25$. Это самый быстрый путь, но табличка часто нечитаема или относится к другому исполнению.

По числам зубьев. Снимают крышку, считают зубья каждого колеса и перемножают отношения по ступеням. Способ точный, даёт передаточное число каждой ступени отдельно и позволяет проверить разбивку: у двухступенчатого редуктора быстроходную ступень обычно делают на 20-30 % «сильнее» тихоходной или наоборот, в зависимости от схемы.

Проворачиванием валов. Входной вал проворачивают вручную, считая обороты, и смотрят, на сколько повернулся выходной: $u = N_{\text{вх}} / N_{\text{вых}}$. Чтобы ошибка отсчёта не съела результат, входной вал крутят не меньше десяти оборотов, а на выходном отмечают положение метки. Тот же принцип используют с двумя тахометрами на работающем приводе: $u = n_{\text{вх}} / n_{\text{вых}}$.

Обратная задача: подбор редуктора под нужные обороты

Чаще передаточное число не находят, а подбирают. Пусть барабан конвейера диаметром 0,4 м должен обеспечить скорость ленты 1,2 м/с. Требуемая частота вращения барабана:

$$n_{\text{б}} = \frac{60 v}{\pi D} = \frac{60 \cdot 1{,}2}{3{,}1416 \cdot 0{,}4} = 57{,}3 \ \text{об/мин},$$

а расчётное передаточное число $u_{\text{расч}} = 1450 / 57{,}3 = 25{,}3$. Такого редуктора в каталоге нет: номинальные значения стандартизованы рядом ГОСТ 2185 (…, 16; 20; 25; 31,5; 40; …). Берут ближайшее - 25 - и проверяют отклонение фактической скорости: при $u = 25$ барабан вращается с частотой 58 об/мин, лента идёт со скоростью 1,215 м/с, отклонение +1,2 % при допустимых 4 %.

Отдельная тонкость - какие обороты двигателя подставлять. В расчёт идёт номинальная частота вращения под нагрузкой (1450 об/мин), а не синхронная частота поля (1500 об/мин): разница в 50 об/мин - это скольжение асинхронной машины, и оно тем больше, чем сильнее нагружен двигатель. Как обороты зависят от момента нагрузки, видно на механической характеристике асинхронного двигателя.

Если КПД в условии не задан, его собирают из потерь: $\eta = \eta_{\text{зп}}^{k} \cdot \eta_{\text{п}}^{m}$, где $\eta_{\text{зп}} \approx 0{,}97 \ldots 0{,}98$ на зубчатую пару, $\eta_{\text{п}} \approx 0{,}99$ на пару подшипников. Для двухступенчатого цилиндрического редуктора получается 0,93-0,96, для червячного - 0,7-0,85.

Частые ошибки

• Складывают передаточные числа ступеней вместо умножения. Вместо $u = 5 \cdot 5 = 25$ получают 10 и обороты 145 вместо 58 - ошибка более чем в два раза.
• Переворачивают дробь. В формуле $u = z_2 / z_1$ сверху стоит ведомое колесо. Если поделить наоборот, у редуктора выйдет $u = 0{,}2$, то есть ускоряющая передача (мультипликатор).
• Подставляют синхронные обороты. У асинхронного двигателя на шильдике стоит 1450 об/мин, а не 1500: считать надо по номинальной частоте, иначе передаточное число уедет на 3-4 %.
• Забывают КПД в моменте. Момент растёт не ровно в $u$ раз: $T_{\text{вых}} = T_{\text{дв}} u \eta$. Потери всегда уменьшают выходной момент, поэтому $\eta$ стоит в числителе.
• Путают модуль и число зубьев. Отношение диаметров равно отношению зубьев только при одинаковом модуле пары; сравнивать зубья колёс разных ступеней между собой бессмысленно.
• У червяка считают зубья. У червяка не зубья, а заходы: однозаходный червяк с колесом на 40 зубьев даёт $u = 40$, а не единицу.

FAQ

Чем передаточное число отличается от передаточного отношения? Передаточное число $u$ - это отношение большей угловой скорости к меньшей, оно безразмерно и всегда не меньше единицы. Передаточное отношение $i$ берут строго от ведущего звена к ведомому и снабжают знаком: минус означает, что валы вращаются в противоположные стороны. Численно у редуктора $|i| = u$.

Какое передаточное число бывает у редукторов разных типов? Одноступенчатый цилиндрический редуктор делают на $u = 2 \ldots 6{,}3$, двухступенчатый - на $8 \ldots 50$, трёхступенчатый - до 200. Червячный за одну ступень даёт $8 \ldots 80$, планетарный - от 3 до 12 на ступень при малых габаритах.

Можно ли получить $u = 25$ одной ступенью? Цилиндрической - практически нет: при шестерне в 20 зубьев колесо получилось бы на 500 зубьев, а его диаметр вырос бы до неприемлемых размеров. Поэтому большие передаточные числа разбивают на ступени или ставят червячную передачу.

Как посчитать момент, если известно только передаточное число и мощность? Через обороты выходного вала: $n_{\text{вых}} = n_{\text{дв}} / u$, затем $T_{\text{вых}} = 30 P \eta / (\pi n_{\text{вых}})$. Мощность подставляют в ваттах, тогда момент получится в ньютон-метрах.

Коротко

1. Передаточное число ступени - отношение зубьев колеса к зубьям шестерни: $u = z_2 / z_1$. В примере $u_1 = 100/20 = 5$ и $u_2 = 90/18 = 5$.
2. Общее передаточное число редуктора равно произведению ступеней: $u_{\text{общ}} = u_1 u_2 = 25$.
3. Обороты выходного вала: $n_{\text{вых}} = n_{\text{дв}} / u_{\text{общ}} = 1450 / 25 = 58$ об/мин.
4. Момент на выходном валу: $T_{\text{вых}} = 30 P \eta / (\pi n_{\text{вых}}) \approx 869$ Н·м, то же самое даёт $T_{\text{дв}} u \eta$.
5. У готового редуктора передаточное число определяют по шильдику, по числам зубьев или проворачиванием валов; расчётное значение округляют до номинального ряда ГОСТ 2185 с отклонением не более 4 %.