Как найти ток холостого хода трансформатора: пример

Дано: трёхфазный трансформатор ТМ-250/10, $S_{\text{ном}} = 250$ кВА, напряжения 10/0,4 кВ; опыт холостого хода проведён со стороны НН при разомкнутой обмотке ВН, приложено номинальное линейное напряжение $U_0 = 400$ В, измерены ток $I_0 = 8{,}3$ А и мощность $P_0 = 740$ Вт. Найти: ток холостого хода в процентах от номинального и его составляющие.

Ток холостого хода - это ток, который первичная обмотка забирает из сети при разомкнутой вторичной: он идёт не на передачу мощности, а на создание магнитного потока в сердечнике. Сам по себе он в амперах ни о чём не говорит, поэтому его всегда выражают в процентах от номинального тока той же обмотки. Ответ: $i_0 = 2{,}30$ %, активная составляющая $I_{0\text{а}} = 1{,}07$ А, намагничивающая $I_{0\mu} = 8{,}23$ А. Калькулятор сверху повторяет весь расчёт для любой машины и показывает главное свойство этого режима: ток холостого хода растёт по напряжению нелинейно.

Решение по шагам

Шаг 1. Номинальный ток обмотки, на которой ведут опыт. Это база сравнения, и она обязана относиться к той же стороне, что и измеренный ток. Опыт снят со стороны НН, значит, нужен номинальный ток обмотки 0,4 кВ:

$$I_{2\text{ном}} = \frac{S_{\text{ном}}}{\sqrt{3}\, U_{2\text{ном}}} = \frac{250\,000}{1{,}732 \cdot 400} = 360{,}8\ \text{А}.$$

Шаг 2. Ток холостого хода в процентах. Делим измеренный ток на номинальный и умножаем на сто:

$$i_0 = \frac{I_0}{I_{2\text{ном}}} \cdot 100\ \% = \frac{8{,}3}{360{,}8} \cdot 100 = 2{,}30\ \%.$$

Шаг 3. Коэффициент мощности холостого хода. Ваттметр показал 740 Вт при полной мощности $\sqrt{3}\,U_0 I_0 = 5750$ ВА, отсюда

$$\cos\varphi_0 = \frac{P_0}{\sqrt{3}\, U_0 I_0} = \frac{740}{1{,}732 \cdot 400 \cdot 8{,}3} = 0{,}129, \qquad \varphi_0 = 82{,}6^\circ.$$

Шаг 4. Активная составляющая тока. Это та часть тока, которая совпадает по фазе с напряжением и переносит активную мощность:

$$I_{0\text{а}} = I_0 \cos\varphi_0 = 8{,}3 \cdot 0{,}129 = 1{,}07\ \text{А}.$$

Тот же результат получается короче, без промежуточного косинуса: $I_{0\text{а}} = P_0 / (\sqrt{3}\, U_0) = 740 / 692{,}8 = 1{,}07$ А. Совпадение двух путей - первая проверка расчёта.

Шаг 5. Намагничивающая составляющая. Она отстаёт от напряжения на 90 градусов и находится по теореме Пифагора:

$$I_{0\mu} = \sqrt{I_0^{2} - I_{0\text{а}}^{2}} = \sqrt{8{,}3^{2} - 1{,}07^{2}} = 8{,}23\ \text{А}.$$

Ответ: $i_0 = 2{,}30$ %, $I_{0\text{а}} = 1{,}07$ А, $I_{0\mu} = 8{,}23$ А, $\cos\varphi_0 = 0{,}129$. Намагничивающая составляющая занимает 99,2 % полного тока - холостой ход трансформатора это почти чисто реактивный режим. Полученные 2,30 % совпадают с паспортным значением ТМ-250/10, где нормируется $i_0 = 2{,}3$ %; такое совпадение и есть проверка правдоподобности.

Формула и откуда она берётся

Главная формула состоит из двух строк, и путаница в задачах возникает не в них, а в выборе базы:

$$i_0 = \frac{I_0}{I_{\text{ном}}} \cdot 100\ \%, \qquad I_{\text{ном}} = \frac{S_{\text{ном}}}{\sqrt{3}\, U_{\text{ном}}}.$$

Числитель и знаменатель обязаны относиться к одной обмотке. Опыт холостого хода почти всегда ставят со стороны низшего напряжения: там приборы дешевле, а напряжение безопаснее. Значит, и номинальный ток берём для стороны НН, а не для ВН, где он в 25 раз меньше.

При этом сама величина $i_0$ от выбора стороны не зависит. Приведём измеренный ток к обмотке ВН через коэффициент трансформации $k = 10\,000/400 = 25$: получим $8{,}3/25 = 0{,}332$ А при номинальном токе ВН $250\,000/(1{,}732 \cdot 10\,000) = 14{,}43$ А, то есть те же 2,30 %. Сам коэффициент $k$ в опыте холостого хода и определяют - как отношение напряжений на разомкнутой и питаемой обмотках; подробнее это разобрано в статье про коэффициент трансформации.

Физический смысл тока холостого хода виден из закона полного тока. Чтобы в сердечнике существовал поток $\Phi$, нужна намагничивающая сила $I_{0\mu} w = H l_{\text{ср}}$, где $H$ - напряжённость поля в стали, $l_{\text{ср}}$ - средняя длина магнитной линии, $w$ - число витков. Напряжённость определяется кривой намагничивания стали, поэтому вся величина тока упирается в магнитные свойства материала и в качество сборки магнитопровода. У силового трансформатора магнитная цепь замкнута и сделана из холоднокатаной стали, стыки пластин перекрываются внахлёст, и намагничивающая сила получается крошечной - отсюда проценты, а не десятки процентов.

Составляющие тока и ветвь намагничивания

Полный ток холостого хода раскладывается на два слагаемых, сдвинутых на 90 градусов: активную составляющую $I_{0\text{а}}$ и намагничивающую $I_{0\mu}$. Первая покрывает потери, вторая создаёт поток. Векторная диаграмма режима - прямоугольный треугольник с катетами $I_{0\text{а}}$ и $I_{0\mu}$ и гипотенузой $I_0$; он сильно вытянут в реактивную сторону, а угол $\varphi_0$ близок к 90 градусам.

Из тех же двух измерений находятся параметры ветви намагничивания схемы замещения. При соединении обмотки НН звездой фазное напряжение равно $400/\sqrt{3} = 231{,}0$ В, и тогда на фазу:

$$Z_0 = \frac{U_{0\text{ф}}}{I_0} = \frac{231{,}0}{8{,}3} = 27{,}82\ \text{Ом}, \qquad R_0 = \frac{P_0}{3 I_0^{2}} = \frac{740}{3 \cdot 8{,}3^{2}} = 3{,}58\ \text{Ом},$$ $$X_0 = \sqrt{Z_0^{2} - R_0^{2}} = \sqrt{27{,}82^{2} - 3{,}58^{2}} = 27{,}59\ \text{Ом}.$$

Проверка на согласованность такая же, как в парном опыте короткого замыкания: отношение $R_0 / Z_0 = 3{,}58/27{,}82 = 0{,}129$ обязано совпасть с $\cos\varphi_0$. Совпало - значит, тройка и корень из трёх нигде не потеряны.

Сколько именно активной мощности уходит в сталь и как она делится на гистерезисную и вихревую части - отдельный вопрос, он разобран в материале про потери холостого хода. Для нашей задачи важно другое: $P_0$ здесь служит только инструментом, чтобы вытащить из полного тока его активную долю.

Паспортные значения $i_0$ падают с ростом мощности машины - у крупного трансформатора объём стали растёт медленнее, чем номинальный ток:

Почему опыт холостого хода нельзя пересчитывать линейно

В опыте короткого замыкания измерения спокойно приводят к номинальному току: там поток мал, сталь не насыщена, и напряжение пропорционально току. В опыте холостого хода всё наоборот - напряжение номинальное, поток тоже, и рабочая точка сидит на колене кривой намагничивания. Поэтому если опыт проведён не при номинальном напряжении, пересчитать результат простой пропорцией нельзя: ток изменится сильнее, чем напряжение.

Порядок величин такой: подъём напряжения на 10 % выше номинального увеличивает ток холостого хода примерно в полтора раза, а не на 10 %. В калькуляторе сверху эта зависимость нарисована двумя линиями - реальной кривой и «линейной» прямой, которую ошибочно рисуют по пропорции; на номинале они совпадают, а к 110 % расходятся почти вдвое. Модель кривой в калькуляторе простая, $i(u) \sim (u + 0{,}45\,u^{9})/1{,}45$, но качественно она ведёт себя как настоящая характеристика стали.

Практический вывод из этой нелинейности прямой: опыт холостого хода снимают строго при номинальном напряжении, а если сеть просела или задрана, результат сравнивать с паспортом бессмысленно. Второй вывод - про эксплуатацию: перевозбуждение трансформатора повышенным напряжением бьёт не по нагрузочной способности, а по току намагничивания и нагреву стали.

Ток холостого хода асинхронного двигателя

Ту же величину спрашивают и про асинхронную машину, но числа там совсем другие: у двигателя ток холостого хода составляет 20-50 % номинального, а у машин малой мощности доходит до 60 %. Причина одна - воздушный зазор. Магнитная цепь двигателя разорвана зазором в доли миллиметра, а магнитное сопротивление воздуха в тысячи раз больше, чем у стали, и почти вся намагничивающая сила тратится на его преодоление.

Считается доля так же: измеренный на холостом ходу ток делят на номинальный ток двигателя, который находят из паспортной мощности на валу с учётом КПД и коэффициента мощности. Например, для двигателя 15 кВт, 380 В с $\cos\varphi = 0{,}88$ и КПД 0,9 номинальный ток равен $15\,000/(1{,}732 \cdot 380 \cdot 0{,}88 \cdot 0{,}9) = 28{,}8$ А, и замеренные 9,6 А дают ровно 33 %. Отсюда же понятно, почему недогруженный двигатель портит коэффициент мощности цеха: доля реактивного тока в нём остаётся прежней, а активная падает. Подбор машины под нагрузку разобран в задаче про мощность двигателя, а бросок тока при пуске - в задаче про пусковой ток.

Частые ошибки

• База взята с другой стороны. Ток измерен на НН, а номинальный посчитан для ВН: вместо 2,30 % выходит 57,5 %. Числитель и знаменатель обязаны относиться к одной обмотке.
• Забыт корень из трёх. В трёхфазной машине $I_{\text{ном}} = S/(\sqrt{3}U)$, а не $S/U$. Пропуск множителя занижает номинальный ток в 1,73 раза и во столько же завышает $i_0$.
• Намагничивающая составляющая найдена вычитанием. Составляющие складываются геометрически: $8{,}3 - 1{,}07 = 7{,}23$ - неверно, правильный ответ 8,23 А.
• Опыт при пониженном напряжении пересчитан пропорцией. Кривая намагничивания нелинейна, линейное приведение здесь запрещено, в отличие от опыта короткого замыкания.
• Фазные и линейные величины смешаны. В формулу процентов идут линейные напряжения и линейные токи, а в расчёт $Z_0$ при соединении звездой - фазное напряжение, то есть делённое на корень из трёх.
• Ток холостого хода спутан с током намагничивания. Это не синонимы: $I_0$ - полный ток режима, $I_{0\mu}$ - только его реактивная часть. У трансформатора они почти равны, и разница незаметна, а у двигателя расхождение уже заметное.

FAQ

Какой ток холостого хода считается нормальным? Для силовых трансформаторов до 35 кВ это 1-3 % номинального, причём чем мощнее машина, тем меньше доля: у 25 кВА около 3,2 %, у 1600 кВА уже 1,3 %. У современных машин с аморфным сердечником значения ещё ниже. Если измеренный ток вдвое превышает паспортный, это признак межлистового замыкания в магнитопроводе или виткового замыкания в обмотке.

Почему ток холостого хода почти чисто реактивный? Активная составляющая покрывает только потери в стали, а они малы: 740 Вт против полной мощности режима 5750 ВА. Поэтому $\cos\varphi_0$ получается около 0,1, угол близок к 90 градусам, а намагничивающая часть забирает более 99 % тока.

Можно ли найти $i_0$, если известны только потери холостого хода? Нет. $P_0$ даёт только активную составляющую $I_{0\text{а}} = P_0/(\sqrt{3}U)$, а полный ток без второго измерения или без паспортного $i_0$ из неё не восстанавливается: неизвестен угол. Нужен либо амперметр в опыте, либо строка $i_0$ в паспорте.

Почему у асинхронного двигателя ток холостого хода в десять раз больше? Из-за воздушного зазора между статором и ротором. У трансформатора магнитная цепь сплошная стальная, у двигателя в ней есть зазор с огромным магнитным сопротивлением, и на его намагничивание уходит основная часть тока.

Коротко

1. Найди номинальный ток той обмотки, на которой ставили опыт: $I_{\text{ном}} = S_{\text{ном}}/(\sqrt{3}U_{\text{ном}})$; для 250 кВА и 400 В это 360,8 А.
2. Раздели измеренный ток на номинальный: $i_0 = 8{,}3/360{,}8 \cdot 100 = 2{,}30$ %.
3. Возьми активную составляющую из мощности опыта: $I_{0\text{а}} = P_0/(\sqrt{3}U_0) = 1{,}07$ А, а $\cos\varphi_0 = 0{,}129$.
4. Намагничивающую найди по теореме Пифагора: $I_{0\mu} = \sqrt{I_0^2 - I_{0\text{а}}^2} = 8{,}23$ А, это 99,2 % полного тока.
5. Проверь ответ по паспорту машины и по равенству $R_0/Z_0 = \cos\varphi_0$; для ТМ-250/10 паспортные 2,3 % сходятся с расчётом.