Как рассчитать мощность асинхронного двигателя: пример

Дано: трёхфазный асинхронный двигатель АИР160S4, на шильдике $P_2 = 15$ кВт, $U = 380$ В, $\eta = 89\ \%$, $\cos\varphi = 0{,}88$, $n = 1460$ об/мин, частота сети 50 Гц. Найти: потребляемую из сети мощность, ток статора и номинальный момент.

Главное, что решает эту задачу: киловатты на шильдике - это мощность на валу, а не та, что берётся из сети. Из сети машина тянет больше ровно во столько раз, во сколько КПД меньше единицы, а ток считается уже не по активной, а по полной мощности, потому что обмотке нужен ещё и намагничивающий ток. Ответ: $P_1 = 16{,}85$ кВт, потери 1,85 кВт, $S = 19{,}15$ кВ·А, $I = 29{,}1$ А, номинальный момент $M = 98{,}1$ Н·м. Калькулятор сверху пересчитывает весь баланс под любой шильдик.

Решение по шагам

Дано. Паспортная табличка двигателя:

Шаг 1. Потребляемая из сети активная мощность. КПД по определению есть отношение отданного к полученному, отсюда потребляемая мощность равна полезной, делённой на КПД:

$$P_1 = \frac{P_2}{\eta} = \frac{15}{0{,}89} = 16{,}85\ \text{кВт}.$$

Шаг 2. Суммарные потери. Разница между входом и выходом и есть всё, что осело внутри машины: нагрев обмоток статора и ротора, перемагничивание стали, трение в подшипниках и вентиляция.

$$\Delta P = P_1 - P_2 = 16{,}85 - 15 = 1{,}85\ \text{кВт}.$$

Шаг 3. Полная и реактивная мощность. Активная мощность - только часть того, что машина занимает в сети. Полную получаем делением на коэффициент мощности, реактивную - через синус того же угла:

$$S = \frac{P_1}{\cos\varphi} = \frac{16{,}85}{0{,}88} = 19{,}15\ \text{кВ}\cdot\text{А}, \qquad Q = S\sin\varphi = 19{,}15 \cdot 0{,}475 = 9{,}10\ \text{квар}.$$

Шаг 4. Номинальный ток статора. Ток течёт по полной мощности, поэтому в формулу идёт именно $S$:

$$I = \frac{S \cdot 10^3}{\sqrt{3}\,U} = \frac{19{,}15 \cdot 10^3}{1{,}732 \cdot 380} = 29{,}1\ \text{А}.$$

Ту же цифру даёт сквозная формула через шильдиковую мощность: $I = P_2 \cdot 10^3 / (\sqrt{3}\,U\eta\cos\varphi) = 15000 / (1{,}732 \cdot 380 \cdot 0{,}89 \cdot 0{,}88) = 29{,}1$ А.

Шаг 5. Номинальный момент на валу.

$$M = 9550\,\frac{P_2}{n} = 9550 \cdot \frac{15}{1460} = 98{,}1\ \text{Н}\cdot\text{м}.$$

Шаг 6. Проверка по скольжению. Четвёртая цифра в обозначении серии (АИР160S4) - число полюсов, то есть $p = 2$ пары. Синхронная частота $n_1 = 60 f_1 / p = 1500$ об/мин, скольжение $s = (1500 - 1460)/1500 = 2{,}67\ \%$ - нормальное номинальное значение для машины такой мощности, значит данные согласованы.

Ответ: потребляемая мощность 16,85 кВт, потери 1,85 кВт, полная мощность 19,15 кВ·А, реактивная 9,10 квар, номинальный ток 29,1 А, номинальный момент 98,1 Н·м.

Формула и откуда она берётся

Через асинхронную машину проходит цепочка преобразований, и на каждом звене часть энергии теряется. Из сети приходит $P_1$; в обмотке статора теряется на нагрев, в стали - на перемагничивание; через воздушный зазор электромагнитным полем передаётся $P_{\text{эм}}$; в обмотке ротора снова теряется на нагрев; остаток за вычетом механических потерь выходит на вал как $P_2$. Шильдик даёт только концы этой цепочки - $P_2$ и $\eta$, а всё, что между ними, свёрнуто в один коэффициент.

Отсюда и главная формула. Записав $\eta = P_2 / P_1$, получаем $P_1 = P_2 / \eta$: делить надо, а не умножать. Умножение $15 \cdot 0{,}89$ даёт 13,35 кВт - мощность, меньшую валовой, физически невозможную, и это самый частый способ испортить задачу.

Множитель $\sqrt{3}$ в формуле тока появляется из перехода от фазных величин к линейным. Мощность трёхфазной системы равна $3 U_{\text{ф}} I_{\text{ф}} \cos\varphi$, а при соединении звездой $U_{\text{ф}} = U / \sqrt{3}$ и $I_{\text{ф}} = I$, что и даёт $P = \sqrt{3}\,U I \cos\varphi$. Формула одинакова для звезды и треугольника: тройка и корень перераспределяются между напряжением и током, а произведение остаётся тем же.

Полезно помнить и обратную проверку: $P_1 = \sqrt{3}\,U I \cos\varphi = 1{,}732 \cdot 380 \cdot 29{,}1 \cdot 0{,}88 = 16{,}85$ кВт. Если подставить найденный ток и получить исходную потребляемую мощность, значит арифметика сошлась. Реактивную составляющую и способы её компенсации отдельно разбирает задача про реактивную мощность.

Номинальный момент: откуда берётся число 9550

Момент связан с мощностью через угловую скорость: $P_2 = M\omega$, где $\omega = 2\pi n / 60$. Подставим и выразим момент в удобных единицах - мощность в киловаттах, частоту вращения в оборотах в минуту:

$$M = \frac{P_2 \cdot 10^3}{2\pi n / 60} = \frac{60 \cdot 10^3}{2\pi}\cdot\frac{P_2}{n} \approx 9550\,\frac{P_2}{n}.$$

Никакой физики в числе 9550 нет, это только пересчёт единиц. Проверим прямым путём: $\omega = 2\pi \cdot 1460 / 60 = 152{,}89$ рад/с, тогда $M = 15000 / 152{,}89 = 98{,}1$ Н·м - сходится.

Из этой же формулы видно, почему тихоходный двигатель той же мощности крупнее и дороже: момент обратно пропорционален частоте вращения. Машина на 15 кВт с 730 об/мин выдаёт вдвое больший момент, значит ей нужен более толстый вал и больший магнитный поток. Как этот номинальный момент соотносится с пусковым и максимальным, показывает механическая характеристика асинхронного двигателя.

Если в условии дана не та мощность

Задачу часто формулируют «наоборот», и важно сразу понять, какая мощность у тебя на руках.

Дан ток, ищется мощность. Замер клещами даёт линейный ток; тогда $S = \sqrt{3}\,U I / 1000$, активная $P_1 = S\cos\varphi$, а на валу $P_2 = P_1\eta$. Именно так проверяют фактическую загрузку привода: если измеренный ток 22 А вместо паспортных 29,1 А, двигатель недогружен примерно до 0,75 номинала.

Дана потребляемая мощность, ищется валовая. Здесь наоборот: $P_2 = P_1\eta$. Счётчик и анализатор качества электроэнергии показывают именно $P_1$, поэтому «двигатель потребляет 16,85 кВт» и «двигатель на 15 кВт» - это одна и та же машина.

Мощность нужна, чтобы подобрать машину под механизм. Тогда расчёт идёт с другого конца: сначала считают требуемую мощность рабочей машины, потом добавляют запас и берут ближайший больший номинал из стандартного ряда - этому посвящён разбор как выбрать мощность двигателя. Паспортный расчёт из этой задачи там служит проверкой.

Мощность нужна для защиты и кабеля. Тут за номинальным током сразу идёт пусковой, который в 5-7 раз больше; его расчёт подробно разобран в задаче как рассчитать пусковой ток, а типовые значения кратности собраны в статье про кратность пускового тока.

Держи в голове грубый ориентир: при 380 В асинхронный двигатель потребляет примерно 2 А на каждый киловатт вала. В нашей задаче вышло $29{,}1 / 15 = 1{,}94$ А/кВт. Если расчёт дал 0,5 или 6 А/кВт, ошибка в арифметике, а не в двигателе.

Частые ошибки

• Умножают на КПД вместо деления. $P_1 = P_2\eta$ даёт 13,35 кВт - меньше, чем на валу. Потребляемая мощность всегда больше полезной, это быстрая проверка знака ошибки.
• Считают ток по $P_2$ без КПД и косинуса. Формула $I = P_2/(\sqrt{3}U)$ даёт 22,8 А вместо 29,1 А: занижение почти на треть, и подобранный по нему автомат будет отключать двигатель в работе.
• Путают $S$ и $P_1$ при расчёте тока. Ток создаёт полная мощность; подстановка активной занижает результат в $1/\cos\varphi$ раз.
• Складывают $P_1$ и $Q$ арифметически. Активная и реактивная мощности складываются векторно: $S = \sqrt{P_1^2 + Q^2} = \sqrt{16{,}85^2 + 9{,}10^2} = 19{,}15$ кВ·А, а не 25,95.
• Берут в формулу момента синхронные 1500 об/мин. Момент считается по фактической частоте вращения вала; подстановка синхронной занижает момент на величину скольжения.
• Применяют паспортные $\eta$ и $\cos\varphi$ к недогруженной машине. При загрузке ниже половины оба коэффициента заметно падают, особенно $\cos\varphi$, и реальный ток оказывается выше расчётного.

FAQ

Мощность на шильдике - это потребляемая или полезная? Полезная, то есть механическая мощность на валу при номинальном режиме. Из сети машина берёт больше на величину потерь: при КПД 89 % надбавка составляет около 12 %.

Почему ток по формуле больше, чем «мощность делить на напряжение»? Потому что в знаменателе стоят три сомножителя: $\sqrt{3}$ из трёхфазности, КПД (учитывает потери) и $\cos\varphi$ (учитывает намагничивающий ток). Каждый из них увеличивает ток относительно наивной оценки.

Изменится ли мощность двигателя, если пересобрать статор со звезды на треугольник? Номинальная мощность машины определяется её нагревом и остаётся той же, если схема соответствует напряжению сети. Включение обмотки, рассчитанной на 380 В треугольником, в сеть 380 В звездой снижает момент и мощность примерно втрое - так и работает пуск по схеме звезда-треугольник.

Как посчитать мощность, если КПД в паспорте не указан? Для машин мощностью 4-30 кВт при 1500 об/мин КПД обычно лежит в диапазоне 86-91 %, и в учебных задачах допустимо принять 0,88-0,89. Для точного расчёта КПД берут из каталога серии по конкретному типоразмеру.

Коротко

1. Шильдиковая мощность $P_2$ - на валу; потребляемая считается делением: $P_1 = P_2/\eta = 15/0{,}89 = 16{,}85$ кВт, потери 1,85 кВт.
2. Полная мощность $S = P_1/\cos\varphi = 19{,}15$ кВ·А, реактивная $Q = S\sin\varphi = 9{,}10$ квар.
3. Ток статора считается по полной мощности: $I = S \cdot 10^3/(\sqrt{3}U) = 29{,}1$ А, или сразу $I = P_2 \cdot 10^3/(\sqrt{3}U\eta\cos\varphi)$.
4. Номинальный момент $M = 9550 P_2/n = 9550 \cdot 15/1460 = 98{,}1$ Н·м, где 9550 - только пересчёт единиц из $P = M\omega$.
5. Проверки: $\sqrt{3}UI\cos\varphi$ должно вернуть $P_1$, скольжение $s = 2{,}67\ \%$ должно попасть в коридор 1-8 %, а удельный ток - быть около 2 А на киловатт при 380 В.