Как определить потери короткого замыкания трансформатора

Дано: трёхфазный трансформатор ТМ-630/10, $S_{\text{ном}} = 630$ кВА, напряжения 10/0,4 кВ; в опыте короткого замыкания ток обмотки ВН $I_{\text{к}} = 33{,}5$ А, измеренная мощность $P_{\text{к.изм}} = 5350$ Вт, температура обмоток $\theta = 22\ ^\circ$C; потери холостого хода по паспорту $P_0 = 1{,}31$ кВт. Найти: потери короткого замыкания при номинальном токе и температуре 75 °C, их долю в полных потерях и КПД.

Потери короткого замыкания определяют в два пересчёта: сначала мощность опыта приводят к номинальному току (она растёт как квадрат тока), затем к условной температуре 75 °C (сопротивление меди растёт с нагревом). Ответ: $P_{\text{к}75} = 7{,}61$ кВт, это 85,3 % всех потерь, КПД при номинальной нагрузке 98,26 %. Калькулятор сверху делает оба пересчёта для любой машины и строит кривую КПД.

Решение по шагам

Шаг 1. Номинальный ток обмотки ВН. Он нужен как база пересчёта: паспортное значение потерь всегда относят к номинальному току, а опыт почти никогда не удаётся провести ровно при нём.

$$I_{1\text{ном}} = \frac{S_{\text{ном}}}{\sqrt{3}\, U_{1\text{ном}}} = \frac{630\,000}{1{,}732 \cdot 10\,000} = 36{,}37\ \text{А}.$$

Шаг 2. Пересчёт мощности опыта на номинальный ток. Вся мощность, потребляемая в опыте, идёт на нагрев обмоток, то есть подчиняется закону Джоуля и растёт как квадрат тока. Значит, домножать надо на квадрат отношения токов:

$$k = \frac{I_{1\text{ном}}}{I_{\text{к}}} = \frac{36{,}37}{33{,}5} = 1{,}0858; \qquad P_{\text{к}(\theta)} = P_{\text{к.изм}} \cdot k^2 = 5350 \cdot 1{,}1789 = 6307\ \text{Вт}.$$

Шаг 3. Приведение к условной температуре 75 °C. Опыт снимают на холодной машине, а работает она нагретой. Сопротивление меди растёт с температурой, поэтому потери приводят к общей базе:

$$K_{\theta} = \frac{235 + 75}{235 + \theta} = \frac{310}{235 + 22} = \frac{310}{257} = 1{,}2062.$$ $$P_{\text{к}75} = P_{\text{к}(\theta)} \cdot K_{\theta} = 6307 \cdot 1{,}2062 = 7608\ \text{Вт} \approx 7{,}61\ \text{кВт}.$$

Шаг 4. Доля в полных потерях и КПД при номинальной нагрузке. Полные потери складываются из постоянных (холостой ход) и переменных (короткое замыкание):

$$\sum P = P_0 + \beta^2 P_{\text{к}75} = 1310 + 1^2 \cdot 7608 = 8918\ \text{Вт}; \qquad \frac{P_{\text{к}75}}{\sum P} = \frac{7608}{8918} = 0{,}853.$$ $$\eta = \frac{\beta S_{\text{ном}} \cos\varphi_2}{\beta S_{\text{ном}} \cos\varphi_2 + \sum P} = \frac{504\,000}{504\,000 + 8918} = 0{,}9826.$$

Ответ: $P_{\text{к}75} = 7{,}61$ кВт, доля потерь короткого замыкания 85,3 %, КПД при $\beta = 1$ и $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ равен 98,26 %.

Паспортное значение для ТМ-630/10 по ГОСТ - 7,6 кВт, и расчёт в него попал. Это главная проверка: если после двух пересчётов получилось заметно больше паспорта, обмотки или контакты в плохом состоянии, а если меньше - скорее всего, ошиблись в приведении.

Формула и откуда она берётся

В опыте короткого замыкания вторичную обмотку замыкают накоротко, а на первичную подают такое пониженное напряжение, чтобы по обмоткам пошёл номинальный ток. Обычно это 4-10 % номинального напряжения. Магнитный поток в сердечнике пропорционален приложенному напряжению, то есть он тоже падает в 10-20 раз, а потери в стали - ещё квадратично, до сотых долей процента. Поэтому ваттметр в этом опыте показывает практически чистый нагрев обмоток: их и называют потерями короткого замыкания.

Отсюда и квадратичный пересчёт. Потери в обмотке равны $3 I^2 R$, сопротивление от тока не зависит, поэтому при переходе от тока опыта к номинальному меняется только множитель $I^2$. Ошибиться здесь легко: напряжение опыта пересчитывают линейно, а мощность - квадратично, и эти два правила часто путают местами.

Температурный коэффициент берётся из линейной зависимости сопротивления металла от нагрева. Для меди сопротивление обращается в ноль при экстраполяции к минус 235 °C, поэтому $R_{\theta} \propto (235 + \theta)$, и отношение сопротивлений при 75 °C и при температуре опыта даёт приведённую выше дробь. Для алюминия константа другая, 245, и коэффициент выходит чуть меньше. Условные 75 °C выбраны не случайно: это средняя температура обмотки при номинальной нагрузке и классе нагревостойкости A, то есть режим, в котором трансформатор реально живёт.

Зная приведённые потери, легко получить активное сопротивление схемы замещения: $R_{\text{к}} = P_{\text{к}75} / (3 I_{1\text{ном}}^2) = 7608 / (3 \cdot 36{,}37^2) = 1{,}917$ Ом на фазу. Через него же считают активную составляющую напряжения короткого замыкания, а дальше - просадку вторичного напряжения под нагрузкой.

Точный пересчёт: основные и добавочные потери

Упрощённая формула считает всю мощность опыта омическим нагревом. На деле часть потерь - добавочные: вихревые токи в самих проводниках, в стенках бака, в прессующих балках. Они вызваны полем рассеяния и с нагревом не растут, а падают, потому что растёт сопротивление металла, в котором вихревые токи замыкаются. Поэтому в ГОСТ 3484 пересчёт делают раздельно: основные потери умножают на $K_{\theta}$, добавочные делят.

$$P_{\text{к}75} = P_{\text{осн}} K_{\theta} + \frac{P_{\text{доб}}}{K_{\theta}}.$$

При доле добавочных потерь 15 % получаем $P_{\text{осн}} = 0{,}85 \cdot 6307 = 5361$ Вт и $P_{\text{доб}} = 946$ Вт, после приведения - 6467 Вт и 784 Вт, в сумме 7251 Вт, или 7,25 кВт. Это на 4,9 % меньше упрощённого результата. Для учебной задачи обычно хватает упрощённой формулы, но если в условии явно дана доля добавочных потерь, считать надо раздельно - переключатель способа есть в калькуляторе сверху.

Доля потерь короткого замыкания и КПД

Потери холостого хода от нагрузки не зависят и идут круглые сутки, разбор их расчёта - в статье про потери холостого хода трансформатора. Потери короткого замыкания, наоборот, пропорциональны квадрату загрузки, поэтому их доля в общем балансе сильно зависит от режима:

Видно, что КПД не растёт монотонно с нагрузкой: у него есть максимум. Он приходится на ту загрузку, при которой переменные потери сравниваются с постоянными:

$$\beta_{\text{опт}} = \sqrt{\frac{P_0}{P_{\text{к}75}}} = \sqrt{\frac{1310}{7608}} = 0{,}415, \qquad \eta_{\max} = 98{,}76\ \%.$$

Отсюда практическое следствие: силовой трансформатор выгодно держать загруженным на 40-70 %, а не под завязку. Именно поэтому при выборе мощности трансформатора коэффициент загрузки берут около 0,7, а не 1,0 - это компромисс между КПД, запасом на перегрузку и ценой машины.

Частые ошибки

• Пересчитывают мощность опыта линейно по току, как напряжение. Мощность идёт по квадрату: коэффициент 1,0858 превращается в 1,1789, и разница в ответе - почти 9 %.
• Забывают про приведение к 75 °C и сравнивают «холодные» 6,31 кВт с паспортными 7,6 кВт, делая вывод о неисправной машине.
• Ставят в знаменатель коэффициента 235 вместо суммы $235 + \theta$ или подставляют температуру в кельвинах - и получают коэффициент около единицы.
• Берут константу меди для алюминиевых обмоток. Для алюминия это 245, коэффициент выходит 1,1985 вместо 1,2062.
• Путают потери короткого замыкания с током короткого замыкания в сети: это разные задачи, аварийный ток считают по сопротивлениям цепи, см. расчёт тока КЗ.
• В формуле КПД ставят в числитель полную мощность вместо активной. Числитель - это $\beta S \cos\varphi_2$, иначе КПД получится завышенным.

FAQ

Почему потери короткого замыкания называют переменными? Потому что они зависят от режима: при загрузке 0,5 они вчетверо меньше номинальных, а на холостом ходу практически равны нулю. Постоянные потери - это потери в стали, они идут всегда, пока трансформатор под напряжением.

Можно ли взять потери короткого замыкания прямо из паспорта? Да, если машина новая и паспорт есть: производитель уже привёл значение к номинальному току и 75 °C. Опыт проводят при приёмке, после ремонта или когда нужно оценить состояние обмоток.

Почему при расчёте нельзя учитывать потери в стали? Напряжение в опыте составляет около 5 % номинального, магнитный поток такой же доли, а потери в стали пропорциональны квадрату индукции. Получается примерно 0,25 % от потерь холостого хода - доли ватта, что заведомо меньше погрешности ваттметра.

Что делать, если опыт снят при токе выше номинального? Формула та же, просто коэффициент $k$ окажется меньше единицы и мощность уменьшится. Сильно превышать номинальный ток в опыте нельзя: обмотки быстро нагреваются, и температура опыта перестаёт быть определённой.

Коротко

1. Найди номинальный ток обмотки: $I_{1\text{ном}} = S_{\text{ном}} / (\sqrt{3}\, U_{1\text{ном}}) = 36{,}37$ А.
2. Пересчитай мощность опыта на номинальный ток по квадрату отношения токов: $5350 \cdot 1{,}1789 = 6307$ Вт.
3. Приведи результат к 75 °C с коэффициентом $(235 + 75) / (235 + \theta) = 1{,}2062$: получится 7608 Вт, то есть 7,61 кВт.
4. Сравни с паспортом (7,6 кВт для ТМ-630/10) - совпадение подтверждает и расчёт, и состояние обмоток.
5. Для КПД сложи постоянные и переменные потери: $1310 + \beta^2 \cdot 7608$; при $\beta = 1$ и $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ КПД равен 98,26 %, а максимум 98,76 % приходится на $\beta_{\text{опт}} = 0{,}415$.