Как найти напряжение короткого замыкания трансформатора

Дано: трёхфазный трансформатор ТМ-160/10, $S_{\text{ном}} = 160$ кВА, напряжения 10/0,4 кВ; в опыте короткого замыкания на обмотку ВН подано линейное напряжение $U_{\text{к}} = 400$ В, ток в ней $I_{\text{к}} = 8{,}2$ А, потребляемая мощность $P_{\text{к}} = 2090$ Вт. Найти: напряжение короткого замыкания $u_{\text{к}}$ в процентах и его составляющие.

Напряжение короткого замыкания - это доля номинального напряжения, которую нужно подать на одну обмотку, чтобы при замкнутой накоротко второй по обмоткам пошёл номинальный ток. Опыт почти никогда не удаётся провести ровно при номинальном токе, поэтому измерения пересчитывают: напряжение линейно по току, мощность квадратично. Ответ: $u_{\text{к}} = 4{,}51$ %, $u_{\text{ка}} = 1{,}66$ %, $u_{\text{кр}} = 4{,}19$ %. Калькулятор сверху повторяет весь расчёт для любой машины и показывает, во что это превращается на внешней характеристике.

Решение по шагам

Шаг 1. Номинальный ток обмотки ВН. Он нужен как база пересчёта: именно к нему приводят результаты опыта.

$$I_{1\text{ном}} = \frac{S_{\text{ном}}}{\sqrt{3}\, U_{1\text{ном}}} = \frac{160\,000}{1{,}732 \cdot 10\,000} = 9{,}24\ \text{А}.$$

Шаг 2. Коэффициент пересчёта опыта. Опыт снят при 8,2 А, а нужен режим при 9,24 А, поэтому все величины домножаем на отношение токов:

$$k_I = \frac{I_{1\text{ном}}}{I_{\text{к}}} = \frac{9{,}24}{8{,}2} = 1{,}1265.$$

Шаг 3. Напряжение КЗ, приведённое к номинальному току. Магнитопровод в этом опыте почти не насыщен, поток мал, и зависимость напряжения от тока линейна:

$$U_{\text{к.ном}} = U_{\text{к}} \cdot k_I = 400 \cdot 1{,}1265 = 450{,}6\ \text{В}.$$

Шаг 4. Напряжение короткого замыкания в процентах. Делим на номинальное напряжение той же обмотки и умножаем на сто:

$$u_{\text{к}} = \frac{U_{\text{к.ном}}}{U_{1\text{ном}}} \cdot 100\ \% = \frac{450{,}6}{10\,000} \cdot 100 = 4{,}51\ \%.$$

Шаг 5. Потери короткого замыкания при номинальном токе. Они выделяются на активных сопротивлениях обмоток, то есть растут как квадрат тока:

$$P_{\text{к.ном}} = P_{\text{к}} \cdot k_I^{2} = 2090 \cdot 1{,}1265^{2} = 2652\ \text{Вт} \approx 2{,}65\ \text{кВт}.$$

Шаг 6. Составляющие напряжения короткого замыкания. Активная составляющая - это доля, которая приходится на активные сопротивления, и считается она прямо через потери:

$$u_{\text{ка}} = \frac{P_{\text{к.ном}}}{S_{\text{ном}}} \cdot 100\ \% = \frac{2652}{160\,000} \cdot 100 = 1{,}66\ \%,$$ $$u_{\text{кр}} = \sqrt{u_{\text{к}}^{2} - u_{\text{ка}}^{2}} = \sqrt{4{,}51^{2} - 1{,}66^{2}} = 4{,}19\ \%.$$

Ответ: $u_{\text{к}} = 4{,}51$ %, активная составляющая 1,66 %, реактивная 4,19 %, потери короткого замыкания 2,65 кВт. Полученные цифры попадают в паспортный диапазон ТМ-160/10, где нормируют $u_{\text{к}} = 4{,}5$ % и $P_{\text{к}} = 2{,}65$ кВт, - это и есть проверка правдоподобности расчёта.

Формула и откуда она берётся

Главная формула короткая, но в ней легко перепутать, что на что делится:

$$u_{\text{к}} = \frac{U_{\text{к.ном}}}{U_{\text{ном}}} \cdot 100\ \%, \qquad U_{\text{к.ном}} = I_{\text{ном}} Z_{\text{к}}.$$

Здесь $Z_{\text{к}}$ - полное сопротивление трансформатора в режиме короткого замыкания: сумма активных сопротивлений обеих обмоток и их сопротивлений рассеяния, приведённых к одной стороне. Когда вторичная обмотка замкнута накоротко, ветвь намагничивания шунтируется почти нулевым сопротивлением, и схема замещения вырождается в простую последовательную цепочку $R_{\text{к}}$ и $X_{\text{к}}$.

Отсюда физический смысл: $u_{\text{к}}$ - это сопротивление трансформатора, выраженное в процентах от номинального. Если подставить $U_{\text{ном}} = I_{\text{ном}} Z_{\text{баз}}$, то $u_{\text{к}} = Z_{\text{к}} / Z_{\text{баз}} \cdot 100\ \%$, то есть напряжение короткого замыкания и есть относительное сопротивление машины. Отсюда же сразу следует, что величина безразмерная и не зависит от того, с какой стороны мы её измеряли: на стороне НН получится то же самое число.

Мощность опыта даёт вторую половину картины. Ток в опыте номинальный, а напряжение - всего несколько процентов, поэтому поток в сердечнике мал, потери в стали пренебрежимо малы, и ваттметр показывает практически чистые потери в меди. Это зеркальная пара к опыту холостого хода, где, наоборот, напряжение номинальное, ток мал, и прибор показывает потери в стали.

Сопротивления схемы замещения

Из тех же двух чисел находятся параметры схемы замещения, приведённые к стороне ВН. Фазное напряжение короткого замыкания при соединении звездой равно $450{,}6 / \sqrt{3} = 260{,}2$ В, отсюда

$$Z_{\text{к}} = \frac{U_{\text{к.ф}}}{I_{\text{ном}}} = \frac{260{,}2}{9{,}24} = 28{,}16\ \text{Ом}, \qquad R_{\text{к}} = \frac{P_{\text{к.ном}}}{3 I_{\text{ном}}^{2}} = \frac{2652}{3 \cdot 9{,}24^{2}} = 10{,}36\ \text{Ом},$$ $$X_{\text{к}} = \sqrt{Z_{\text{к}}^{2} - R_{\text{к}}^{2}} = \sqrt{28{,}16^{2} - 10{,}36^{2}} = 26{,}19\ \text{Ом}.$$

Проверка на согласованность простая: отношение $R_{\text{к}} / Z_{\text{к}} = 0{,}368$ обязано совпасть с отношением $u_{\text{ка}} / u_{\text{к}} = 1{,}66 / 4{,}51 = 0{,}368$. Оно и есть коэффициент мощности в опыте короткого замыкания. Если два отношения разошлись, где-то потеряна тройка или корень из трёх.

Треугольником короткого замыкания называют прямоугольный треугольник с катетами $u_{\text{ка}}$ и $u_{\text{кр}}$ и гипотенузой $u_{\text{к}}$. У силовых трансформаторов он сильно вытянут: реактивный катет в два с половиной раза длиннее активного, а с ростом мощности машины этот перекос только усиливается, потому что доля меди в потерях падает.

Зачем нужно uк: ток КЗ и параллельная работа

Первое применение очевидно из определения. Если на выводах появится металлическое замыкание при полном номинальном напряжении сети, ток вырастет во столько раз, во сколько номинальное напряжение больше напряжения опыта:

$$\frac{I_{\text{к.уст}}}{I_{\text{ном}}} = \frac{100}{u_{\text{к}}} = \frac{100}{4{,}51} = 22{,}2, \qquad I_{\text{к.уст}} = 22{,}2 \cdot 9{,}24 = 205\ \text{А}.$$

Поэтому машины с маленьким $u_{\text{к}}$ дают меньшую просадку напряжения под нагрузкой, но требуют аппаратов с большей отключающей способностью. Полный расчёт цеховой сети с учётом кабелей и переходных сопротивлений разобран отдельно в задаче про ток короткого замыкания в сети 0,4 кВ.

Второе применение - параллельная работа. Нагрузка между параллельно включёнными трансформаторами распределяется обратно пропорционально их напряжениям короткого замыкания:

$$S_i = S_{\Sigma} \cdot \frac{S_{\text{ном}i} / u_{\text{к}i}}{\sum_j S_{\text{ном}j} / u_{\text{к}j}}.$$

Пусть параллельно работают машины 160 кВА с $u_{\text{к}} = 4{,}5$ % и 250 кВА с $u_{\text{к}} = 4{,}7$ % при общей нагрузке 380 кВА. Тогда первая возьмёт 152,2 кВА (загрузка 95 %), вторая 227,8 кВА (загрузка 91 %). Машина с меньшим $u_{\text{к}}$ всегда перетягивает нагрузку на себя, и первой упрётся в номинал именно она: суммарно подстанция отдаст не 410, а только 399 кВА. Разброс $u_{\text{к}}$ по ГОСТ допускается в пределах 10 %, при большем расхождении параллельная работа теряет смысл. Остальные условия параллельной работы - равенство коэффициентов трансформации и совпадение группы соединения обмоток - к $u_{\text{к}}$ отношения не имеют, но без них включать машины параллельно нельзя вообще.

Третье применение - просадка вторичного напряжения. Изменение напряжения при загрузке $\beta$ и коэффициенте мощности нагрузки считают через составляющие:

$$\Delta U = \beta\,(u_{\text{ка}} \cos\varphi_2 + u_{\text{кр}} \sin\varphi_2).$$

При номинальной нагрузке и $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ индуктивного характера получаем $1{,}66 \cdot 0{,}8 + 4{,}19 \cdot 0{,}6 = 3{,}84$ %, при чисто активной нагрузке всего 1,66 %, а при ёмкостной напряжение не падает, а растёт на 1,19 %. График в калькуляторе сверху показывает все три случая разом. Выбор номинала машины под такую нагрузку - соседняя задача про мощность трансформатора.

Частые ошибки

• Забыли пересчитать опыт на номинальный ток. Если взять измеренные 400 В напрямую, выйдет 4,00 % вместо 4,51 % - ошибка в 11 %. Пересчёт обязателен всегда, когда ток опыта отличается от номинального хотя бы на проценты.
• Мощность пересчитали линейно. Напряжение растёт как первая степень тока, а мощность как квадрат. Подстановка $k_I$ вместо $k_I^2$ занижает потери на 12 % и портит обе составляющие.
• Смешали стороны ВН и НН. Напряжение, ток и номинальное напряжение в формуле обязаны относиться к одной обмотке. Ток со стороны НН вместе с напряжением со стороны ВН даёт величину, завышенную в квадрат коэффициента трансформации.
• Перепутали фазные и линейные величины. В формулу процентов подставляют линейные напряжения (они сокращаются), а в расчёт $Z_{\text{к}}$ при соединении звездой - фазное, то есть делённое на корень из трёх.
• Считают $u_{\text{кр}}$ как разность, а не через теорему Пифагора. Составляющие складываются геометрически: $4{,}51 - 1{,}66 = 2{,}85$ - это неверный ответ, правильный 4,19 %.
• Делят $P_{\text{к}}$ на активную мощность вместо полной. В формуле $u_{\text{ка}}$ стоит именно $S_{\text{ном}}$ в вольт-амперах, потому что напряжение КЗ нормируется относительно номинального режима машины, а не нагрузки.

FAQ

Чем напряжение короткого замыкания отличается от тока короткого замыкания? Это величины из разных режимов. $u_{\text{к}}$ - маленькое напряжение, которое подают в испытании, чтобы получить номинальный ток при замкнутой вторичной обмотке. Ток короткого замыкания - большой ток аварийного режима, когда на трансформаторе полное напряжение сети. Связаны они обратной пропорцией: $I_{\text{к.уст}} / I_{\text{ном}} = 100 / u_{\text{к}}$.

Какое $u_{\text{к}}$ считается нормальным? Для распределительных трансформаторов до 35 кВ это 4,5-6,5 %, у машин 110 кВ - 10,5 %, у мощных блочных трансформаторов доходит до 14 %. Значение всегда указано на паспортном щитке, и по нему же сверяют результат лабораторной работы.

Изменится ли $u_{\text{к}}$, если проводить опыт со стороны НН? Нет. В процентах это относительное сопротивление, и оно одинаково с обеих сторон. В вольтах цифры, конечно, будут разными: для машины 10/0,4 кВ те же 4,51 % - это 450,6 В на стороне ВН и 18,0 В на стороне НН.

Почему в опыте короткого замыкания пренебрегают потерями в стали? Потери в стали пропорциональны примерно квадрату индукции, а индукция - напряжению. При 4,5 % от номинального напряжения поток меньше в 22 раза, потери в стали падают в сотни раз и составляют доли процента от показаний ваттметра. Поэтому измеренную мощность целиком относят к потерям в обмотках.

Коротко

1. Найди номинальный ток обмотки: $I_{\text{ном}} = S_{\text{ном}} / (\sqrt{3} U_{\text{ном}})$; для 160 кВА и 10 кВ это 9,24 А.
2. Пересчитай опыт на номинальный ток коэффициентом $k_I = I_{\text{ном}} / I_{\text{к}} = 1{,}1265$: напряжение умножь на $k_I$, мощность на $k_I^2$.
3. Раздели приведённое напряжение на номинальное: $u_{\text{к}} = 450{,}6 / 10\,000 \cdot 100 = 4{,}51$ %.
4. Разложи на составляющие: $u_{\text{ка}} = P_{\text{к.ном}} / S_{\text{ном}} \cdot 100 = 1{,}66$ %, $u_{\text{кр}} = \sqrt{u_{\text{к}}^2 - u_{\text{ка}}^2} = 4{,}19$ %.
5. Проверь ответ по паспорту машины и по кратности тока КЗ $100 / u_{\text{к}} = 22{,}2$; для ТМ-160/10 всё сходится.