Как выбрать мощность двигателя: пример расчёта

Дано: нагрузочная диаграмма механизма за цикл (продолжительный режим S1, скорость постоянная): 12 кВт в течение 20 с, 22 кВт в течение 15 с, 8 кВт в течение 25 с, 16 кВт в течение 10 с; каталожная перегрузочная способность $\lambda = 2{,}2$, расчётная просадка напряжения сети 10 %, коэффициент запаса 1,1. Найти: номинальную мощность двигателя.

Мощность выбирают не по пику диаграммы и не по её среднему уровню: обмотку греет квадрат тока, поэтому усреднять нужно квадраты. Это метод эквивалентного тока, а при постоянной скорости - метод эквивалентной мощности. Ответ: эквивалентная мощность 14,29 кВт, расчётная с запасом 15,72 кВт, из стандартного ряда берём двигатель 18,5 кВт; коэффициент загрузки 77,3 %, по перегрузочной способности запас есть - пик требует кратности 1,19 при доступных 1,78. Калькулятор сверху пересчитывает диаграмму и обе проверки под любые числа.

Решение по шагам

Дано. Нагрузочная диаграмма механизма за один цикл:

Режим продолжительный, скорость постоянная, длительность цикла $t_{\text{ц}} = 70$ с. Каталожная перегрузочная способность $\lambda = M_{\max} / M_{\text{ном}} = 2{,}2$, коэффициент запаса $k_{\text{з}} = 1{,}1$, расчётная просадка напряжения 10 %.

Найти: номинальную мощность двигателя $P_{\text{ном}}$.

Шаг 1. Средняя мощность - для ориентира. Считаем её первой, чтобы потом было с чем сравнивать:

$$P_{\text{ср}} = \frac{\sum P_i t_i}{\sum t_i} = \frac{12 \cdot 20 + 22 \cdot 15 + 8 \cdot 25 + 16 \cdot 10}{70} = \frac{930}{70} = 13{,}29\ \text{кВт}.$$

Выбирать двигатель по этому числу нельзя: ровные 13,29 кВт и наши скачки от 8 до 22 кВт дают одну и ту же среднюю, а греют обмотку по-разному.

Шаг 2. Эквивалентная мощность. Она усредняет не сами мощности, а их квадраты:

$$P_{\text{экв}} = \sqrt{\frac{\sum P_i^2 t_i}{\sum t_i}}.$$

Сначала числитель под корнем:

$$\begin{aligned} \sum P_i^2 t_i &= 12^2 \cdot 20 + 22^2 \cdot 15 + 8^2 \cdot 25 + 16^2 \cdot 10 \\ &= 2880 + 7260 + 1600 + 2560 = 14\,300\ \text{кВт}^2 \cdot \text{с}. \end{aligned}$$

Теперь сам корень:

$$P_{\text{экв}} = \sqrt{\frac{14\,300}{70}} = \sqrt{204{,}29} = 14{,}29\ \text{кВт}.$$

Эквивалентная мощность вышла на киловатт выше средней - это и есть плата за неравномерность диаграммы. Чем сильнее пики, тем больше разрыв между этими двумя числами.

Шаг 3. Расчётная мощность с запасом. Диаграмма получена расчётом или замером, её точность не абсолютна, плюс часть мощности съедает передача. Поэтому берут запас 5–20 %:

$$P_{\text{расч}} = k_{\text{з}} \cdot P_{\text{экв}} = 1{,}1 \cdot 14{,}29 = 15{,}72\ \text{кВт}.$$

Шаг 4. Номинал из стандартного ряда. Мощности асинхронных двигателей общего назначения стандартизованы: 7,5; 11; 15; 18,5; 22; 30; 37 кВт и так далее. Округляем строго вверх - ближайший номинал ниже расчётного означает перегрев:

$$15 < 15{,}72 \le 18{,}5 \quad \Longrightarrow \quad P_{\text{ном}} = 18{,}5\ \text{кВт}.$$

Коэффициент загрузки выбранной машины:

$$\beta = \frac{P_{\text{экв}}}{P_{\text{ном}}} = \frac{14{,}29}{18{,}5} = 0{,}773 = 77{,}3\ \%.$$

Шаг 5. Проверка по перегрузочной способности. Нагрев мы закрыли, но остаётся вопрос, вытянет ли двигатель пик 22 кВт, который выше его номинала. Максимальный момент машины падает пропорционально квадрату напряжения, поэтому просадку сети учитываем сразу:

$$\lambda' = \lambda \left(\frac{U'}{U_{\text{ном}}}\right)^2 = 2{,}2 \cdot 0{,}9^2 = 2{,}2 \cdot 0{,}81 = 1{,}78.$$

Требуемая кратность на пике диаграммы:

$$\frac{P_{\max}}{P_{\text{ном}}} = \frac{22}{18{,}5} = 1{,}19 < 1{,}78.$$

Условие выполнено с запасом. Заодно видно, что по одной только перегрузке хватило бы $22 / 1{,}78 = 12{,}35$ кВт, то есть номинала 15 кВт: определяющим оказалось условие нагрева, а не перегрузки.

Ответ. $P_{\text{экв}} = 14{,}29$ кВт, $P_{\text{расч}} = 15{,}72$ кВт, выбран двигатель 18,5 кВт, коэффициент загрузки 77,3 %, проверка по перегрузочной способности пройдена (требуется 1,19 при доступных 1,78).

Метод эквивалентного тока: откуда берётся формула

Формула с квадратами выглядит произвольной, пока не вспомнить, что именно нагревает машину. Потери в обмотке пропорциональны квадрату тока: $\Delta P = I^2 R$. Средние потери за цикл - это среднее от $I^2 R$ по времени, а не $R$ от среднего тока. Приравняем средние потери реальной диаграммы к потерям при некотором постоянном токе $I_{\text{экв}}$:

$$R \cdot \frac{\sum I_i^2 t_i}{\sum t_i} = R \cdot I_{\text{экв}}^2 \quad \Longrightarrow \quad I_{\text{экв}} = \sqrt{\frac{\sum I_i^2 t_i}{\sum t_i}}.$$

Эквивалентный ток - это тот постоянный ток, который нагрел бы двигатель за цикл ровно так же, как реальный переменный. Математически это среднеквадратичное значение, отсюда и корень из суммы квадратов.

Дальше формула переодевается под удобные исходные данные. У машины с постоянным магнитным потоком момент пропорционален току ($M = c\Phi I$), поэтому вместо токов можно подставлять моменты и получить метод эквивалентного момента. Если вдобавок скорость постоянна, мощность пропорциональна моменту ($P = M\omega$), и работает метод эквивалентной мощности - тот, что применён выше. Порядок действий во всех трёх случаях один, меняется только буква под корнем.

Отсюда видны границы применимости. Метод эквивалентного момента отпадает там, где меняется поток - например, при регулировании скорости ослаблением поля. Метод эквивалентной мощности отпадает при переменной скорости: на малых оборотах тот же момент даёт меньшую мощность, а греет обмотку так же. В обоих случаях возвращаются к эквивалентному току - он верен, пока постоянны сопротивление обмотки и условия охлаждения. Как получить ток из паспортных данных, разобрано в задаче как рассчитать пусковой ток двигателя.

Проверка по перегрузочной способности

Нагрев - не единственное ограничение. Двигатель, прошедший по эквивалентной мощности, может просто остановиться на пике нагрузки, если пиковый момент окажется выше максимального момента машины. Проверка одна строка: $P_{\max} \le \lambda' \cdot P_{\text{ном}}$, где $\lambda$ берётся из каталога (у асинхронных машин общего назначения 1,7–2,5, у крановых до 3).

Главная тонкость - квадрат напряжения. Максимальный момент асинхронного двигателя пропорционален $U^2$, поэтому просадка сети на 10 % отнимает не 10 % перегрузочной способности, а 19 %: было 2,2, стало 1,78. Просадка на 20 % оставит уже 1,41. Пренебрегать этим нельзя: пик нагрузки и просадку сети вызывает один и тот же тяжёлый режим, то есть случаются они одновременно. Положение критического момента разобрано в статье про механическую характеристику асинхронного двигателя.

Для механизмов с тяжёлым пуском добавляется третья проверка - по пусковому моменту: его кратность у машин с короткозамкнутым ротором обычно ниже кратности максимального. Когда все три проверки пройдены, номинал становится исходным для остального проекта: по нему выбирают сечение провода и мощность питающего трансформатора.

Когда эквивалентная мощность врёт

Метод опирается на два молчаливых допущения, и оба легко нарушить. Первое: цикл много короче тепловой постоянной времени машины, а она измеряется десятками минут. Наши 70 секунд условию отвечают - температура обмотки не успевает следовать за диаграммой и держится около среднего уровня. Если же цикл сопоставим с постоянной времени, температура колеблется вслед за нагрузкой, и проверять надо пиковую, а не среднюю.

Второе допущение: охлаждение одинаково на всём цикле. У двигателя с самовентиляцией вентилятор сидит на валу, и при остановке теплоотдача падает в 2–4 раза. Поэтому паузу нельзя засчитывать как участок с нулевой мощностью: её длительность вводят в знаменатель с понижающим коэффициентом $\beta_0 = 0{,}2\ldots0{,}5$, иначе мощность выйдет заниженной и машина перегреется.

Отдельная история - повторно-кратковременный режим S3, где двигатель работает короткими включениями с паузами. Там мощность привязывают к продолжительности включения ПВ и пересчитывают с фактического ПВ на ближайшее стандартное (15, 25, 40, 60 %) по формуле

$$P_{\text{ст}} = P_{\text{ф}} \sqrt{\frac{\text{ПВ}_{\text{ф}}}{\text{ПВ}_{\text{ст}}}}.$$

Корень здесь той же природы, что и в эквивалентном токе: сравниваются не мощности, а потери, то есть квадраты. Наконец, при частых пусках добавляются потери на разгон маховых масс - метод эквивалентного тока о них не знает, их считают отдельно.

Частые ошибки

• Выбирают двигатель по пику диаграммы. Машина 22 кВт вместо 18,5 кВт даст загрузку 65 %, а на недогруженном асинхронном двигателе падают и КПД, и коэффициент мощности. Пик закрывается перегрузочной способностью, а не номиналом.
• Выбирают по средней мощности. Средняя 13,29 кВт против эквивалентной 14,29 кВт: игнорируется именно то, ради чего считают диаграмму, - неравномерность нагрузки.
• Забывают проверку по перегрузке. По нагреву проходит, а на пике опрокидывается. Проверять надо оба условия, определяющим может оказаться любое.
• Не учитывают квадрат напряжения. Просадка 10 % съедает 19 % максимального момента, а не 10 %, и именно здесь «запас есть» превращается в остановку привода.
• Округляют номинал вниз. Расчётные 15,72 кВт «почти 15» - на деле это загрузка 95 % ещё до учёта запаса и работа на пределе.
• Считают паузы обычным участком с нулевой мощностью. У машины с самовентиляцией стоящий двигатель охлаждается втрое хуже, и пауза в знаменателе должна идти с понижающим коэффициентом.

FAQ

Чем эквивалентная мощность отличается от средней? Средняя усредняет сами мощности, эквивалентная - их квадраты. Так как нагрев пропорционален квадрату тока, физический смысл есть только у второй. Эквивалентная мощность всегда больше или равна средней; равны они лишь при абсолютно ровной нагрузке.

Какой коэффициент загрузки считается нормальным? Ориентир 0,7–0,9. Ниже 0,6 машина заметно теряет КПД и коэффициент мощности, а сам двигатель переплачен; выше 0,95 не остаётся запаса на неточность диаграммы и просадки сети. В разобранной задаче вышло 0,773 - это середина коридора.

Что делать, если по нагреву проходит номинал 15 кВт, а по перегрузке нужен 18,5? Брать больший из двух: выбор идёт по самому жёсткому условию. Альтернатива - сгладить пик на самом механизме, например маховиком.

Нужен ли этот расчёт, если механизм работает с постоянной нагрузкой? Нет. При постоянной нагрузке эквивалентная мощность равна самой нагрузке, и всё сводится к округлению вверх до ближайшего номинала с запасом плюс проверка по пусковому моменту.

Коротко

1. Свести нагрузку в диаграмму: пары «мощность (или момент, или ток) - длительность» за один цикл.
2. Посчитать эквивалентное значение как корень из суммы квадратов, взвешенной по времени: $P_{\text{экв}} = \sqrt{\sum P_i^2 t_i / \sum t_i}$. В примере это 14,29 кВт против средней 13,29 кВт.
3. Умножить на коэффициент запаса 1,05–1,2 и округлить вверх до ближайшего номинала стандартного ряда: $1{,}1 \cdot 14{,}29 = 15{,}72$ кВт, значит 18,5 кВт.
4. Проверить по перегрузочной способности с учётом просадки напряжения: $P_{\max} \le \lambda (U'/U)^2 P_{\text{ном}}$, то есть $22 \le 1{,}78 \cdot 18{,}5 \approx 33$ кВт - проходит.
5. Проверить коэффициент загрузки: 14,29 / 18,5 = 77,3 %, что попадает в нормальный диапазон 0,7–0,9.