Как определить магнитный поток машины: расчёт по ЭДС

Дано: обмотка статора асинхронного двигателя включена в сеть 380/220 В (соединение в звезду, фазное напряжение $U_1 = 220$ В), частота $f = 50$ Гц, число последовательных витков фазы $w = 156$, обмоточный коэффициент $k_{\text{об}} = 0{,}92$, число полюсов $2p = 4$, диаметр расточки статора $D = 150$ мм, расчётная длина сердечника $l_\delta = 130$ мм, коэффициент полюсного перекрытия $\alpha_\delta = 0{,}64$. Найти: магнитный поток на полюс и индукцию в воздушном зазоре.

Поток машины определяется не через геометрию поля, а через ЭДС обмотки: формула $E = 4{,}44 f w k_{\text{об}} \Phi$ разворачивается относительно $\Phi$. Ответ: $\Phi = 6{,}63$ мВб, $B_\delta = 0{,}68$ Тл. Калькулятор сверху пересчитывает обе величины под любые данные и показывает, как поток уходит вверх при снижении частоты.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Находим ЭДС фазы обмотки. Напрямую измерить ЭДС нельзя: к зажимам приложено напряжение сети, а ЭДС отличается от него на падение на активном сопротивлении и на индуктивности рассеяния обмотки. У машин переменного тока средней мощности это расхождение невелико, поэтому в учебных расчётах принимают $E_1 \approx 0{,}96\,U_1$:

$$E_1 = 0{,}96 \cdot 220 = 211{,}2 \text{ В}.$$

Шаг 2. Выражаем поток из формулы ЭДС. Основное уравнение обмотки переменного тока связывает действующую ЭДС с амплитудой потока на полюс:

$$E_1 = 4{,}44 f w k_{\text{об}} \Phi \quad \Rightarrow \quad \Phi = \frac{E_1}{4{,}44 f w k_{\text{об}}}.$$

Шаг 3. Подставляем числа. Считаем знаменатель отдельно, чтобы не потерять порядок: $4{,}44 \cdot 50 = 222$, затем $222 \cdot 156 = 34\,632$ и $34\,632 \cdot 0{,}92 = 31\,861{,}4$.

$$\Phi = \frac{211{,}2}{31\,861{,}4} = 0{,}006629 \text{ Вб} = 6{,}63 \text{ мВб}.$$

Шаг 4. Считаем полюсное деление. Окружность расточки статора делится между всеми полюсами поровну, поэтому на один полюс приходится дуга

$$\tau = \frac{\pi D}{2p} = \frac{3{,}1416 \cdot 0{,}15}{4} = 0{,}1178 \text{ м} = 117{,}8 \text{ мм}.$$

Шаг 5. Находим расчётную площадь полюсного деления. Поле в зазоре распределено не прямоугольником, а близко к синусоиде, поэтому прямоугольник $\tau \times l_\delta$ умножают на коэффициент полюсного перекрытия:

$$S_\text{п} = \alpha_\delta\, \tau\, l_\delta = 0{,}64 \cdot 0{,}1178 \cdot 0{,}13 = 0{,}00980 \text{ м}^2 = 98{,}0 \text{ см}^2.$$

Шаг 6. Получаем индукцию в зазоре. Поток равен произведению индукции на эту площадь, значит

$$B_\delta = \frac{\Phi}{S_\text{п}} = \frac{0{,}006629}{0{,}00980} = 0{,}676 \approx 0{,}68 \text{ Тл}.$$

Ответ: магнитный поток на полюс $\Phi = 6{,}63$ мВб, амплитуда индукции в воздушном зазоре $B_\delta = 0{,}68$ Тл. Значение попадает в рабочий коридор 0,6-0,9 Тл, типичный для асинхронных машин: сталь используется полно, но до насыщения ещё есть запас.

Формула и откуда она берётся

Коэффициент 4,44 в уравнении ЭДС не эмпирический, он собирается из двух множителей. Виток, сцепленный с синусоидально меняющимся потоком, даёт мгновенную ЭДС $e = -w\,d\Phi/dt$, амплитуда которой равна $\omega \Phi = 2\pi f \Phi$. Действующее значение меньше амплитуды в $\sqrt{2}$ раз, поэтому на один виток приходится $2\pi f \Phi / \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}\, f \Phi$. Произведение $\pi\sqrt{2}$ и даёт 4,44.

Обмоточный коэффициент $k_{\text{об}}$ учитывает, что катушки фазы не собраны в один паз. Они распределены по нескольким пазам и уложены с укорочением шага, поэтому их ЭДС складываются не арифметически, а векторно: сумма получается короче, чем сумма модулей. Отсюда $k_{\text{об}} = k_\text{р} k_\text{у}$, где первый множитель отвечает за распределение, второй за укорочение. Типичные значения 0,90-0,96, и отбросить их нельзя: без $k_{\text{об}}$ в нашей задаче поток вышел бы 6,10 мВб вместо 6,63, то есть на 8 процентов ниже.

Величина $w$ в формуле - это число последовательно соединённых витков одной фазы, а не всей обмотки и не одной катушки. Если фаза собрана из $a$ параллельных ветвей, в расчёт идёт число витков одной ветви. Важно и то, что $\Phi$ здесь - амплитудное значение потока на полюс, а не среднее и не действующее: именно амплитуда входит в уравнение трансформаторной ЭДС.

От потока к индукции в зазоре

Поток, найденный по ЭДС, - это интегральная характеристика: он говорит, сколько силовых линий проходит под одним полюсом, но ничего не говорит о том, насколько напряжена сталь. Чтобы перейти к индукции, поток делят на площадь, через которую он проходит. Для машины эта площадь ограничена по окружности полюсным делением $\tau$, а по оси - расчётной длиной сердечника $l_\delta$.

Множитель $\alpha_\delta$ нужен потому, что индукция не постоянна по дуге полюсного деления: у синусоидального поля среднее значение меньше амплитудного в $2/\pi \approx 0{,}637$ раза. Отсюда и классические 0,64 для машин с распределённой обмоткой; у явнополюсных синхронных машин полюсный наконечник уплощает кривую, и $\alpha_\delta$ доходит до 0,70-0,75. Если про этот коэффициент забыть и поделить поток на голый прямоугольник $\tau l_\delta$, получится 0,43 Тл - индукция окажется заниженной на треть, и проверка магнитной цепи будет бессмысленной.

Полученная индукция - это входной параметр для расчёта магнитной цепи машины: по ней находят намагничивающую силу зазора, а затем зубцов и ярма. Логика здесь та же, что в расчёте магнитной цепи постоянного тока, только поток задан не током возбуждения, а напряжением сети.

Что меняется при другой частоте

Из формулы видно, что при неизменном напряжении поток обратно пропорционален частоте. На 60 Гц та же обмотка при 220 В даст

$$\Phi = 6{,}63 \cdot \frac{50}{60} = 5{,}52 \text{ мВб}, \qquad B_\delta = 0{,}56 \text{ Тл}.$$

Машина недоиспользована: момент при той же силе тока упадёт. Обратный случай опаснее. Если снизить частоту до 25 Гц, оставив 220 В, поток удвоится до 13,3 мВб, а индукция подскочит до 1,35 Тл. Сталь уйдёт в глубокое насыщение, намагничивающий ток вырастет в разы, а вместе с ним и потери в стали, которые пропорциональны квадрату индукции.

Именно поэтому частотные преобразователи работают по закону $U/f = \text{const}$: при 25 Гц на обмотку подают около 110 В, и поток остаётся прежним - 6,63 мВб. На графике в калькуляторе это две линии: гипербола постоянного напряжения и горизонталь постоянного отношения. Число полюсов на поток не влияет напрямую, но меняет полюсное деление и, значит, индукцию; как связаны $2p$, частота и обороты, разобрано в задаче про число пар полюсов.

Частые ошибки

• Подставляют линейное напряжение 380 В вместо фазного 220 В. При соединении в звезду формула ЭДС записана для фазы обмотки, и линейное напряжение завысит поток в $\sqrt{3}$ раза.
• Отбрасывают обмоточный коэффициент. Он всегда меньше единицы, поэтому поток без него занижается: 6,10 мВб против 6,63 в нашем примере.
• Берут число витков всей обмотки или одной катушки. В формулу идёт число последовательных витков фазы, а при параллельных ветвях - витков одной ветви.
• Делят окружность расточки на 2 вместо $2p$. Полюсное деление приходится на один полюс, а не на пару, иначе площадь вырастет вдвое и индукция упадёт до 0,34 Тл.
• Забывают коэффициент полюсного перекрытия и считают площадь как $\tau l_\delta$: индукция выходит 0,43 Тл вместо 0,68 Тл.
• Не переводят миллиметры в метры. Диаметр и длина в мм при потоке в веберах дают индукцию в миллионы тесла, и ошибка сразу видна по порядку.

FAQ

Чем поток машины отличается от потока через рамку в физике? Задачей и способом расчёта. В школьной постановке поток ищут через известную индукцию и площадь по формуле $\Phi = BS\cos\alpha$, как в разборе про магнитный поток через рамку. В машине индукция заранее неизвестна, зато известно напряжение сети, поэтому поток находят из ЭДС обмотки и только потом переходят к индукции.

Можно ли считать ЭДС равной напряжению? Для трансформатора практически да: на холостом ходу падение напряжения в первичной обмотке составляет доли процента. У асинхронного двигателя расхождение заметнее, и коэффициент 0,96 - стандартное учебное приближение; в точном расчёте ЭДС находят из схемы замещения. Похожая логика используется при выборе номинала в задаче про мощность трансформатора.

Что делать, если известен ток возбуждения, а не напряжение? Тогда поток ищут не через ЭДС, а по магнитной цепи: намагничивающая сила обмотки возбуждения раскладывается на падения в зазоре, зубцах, ярме и полюсах. Способ через ЭДС удобнее, потому что не требует кривой намагничивания стали.

Как проверить результат? Подставить найденный поток обратно в исходную формулу: $4{,}44 \cdot 50 \cdot 156 \cdot 0{,}92 \cdot 0{,}006629 = 211{,}2$ В, что совпадает с ЭДС из первого шага. Вторая проверка - на здравый смысл: индукция в зазоре машин переменного тока лежит в пределах 0,6-0,9 Тл, и выход за эти границы означает ошибку в единицах или в числе полюсов.

Коротко

1. ЭДС фазы принимаем $E_1 = 0{,}96\,U_1 = 211{,}2$ В.
2. Поток на полюс находим из уравнения ЭДС: $\Phi = E_1 / (4{,}44 f w k_{\text{об}}) = 6{,}63$ мВб.
3. Полюсное деление $\tau = \pi D / 2p = 117{,}8$ мм, расчётная площадь $S_\text{п} = \alpha_\delta \tau l_\delta = 98{,}0$ см².
4. Индукция в зазоре $B_\delta = \Phi / S_\text{п} = 0{,}68$ Тл, что укладывается в рабочий коридор 0,6-0,9 Тл.
5. При постоянном напряжении поток обратно пропорционален частоте, поэтому регулирование ведут по закону $U/f = \text{const}$.