Задачи на трансформатор: коэффициент трансформации

Трансформатор - это устройство, которое изменяет напряжение переменного тока, почти не теряя при этом мощности. Вся арифметика школьных и вузовских задач на трансформатор держится на одном числе - коэффициенте трансформации $k$, который связывает число витков обмоток, напряжения и токи. Ниже разберём, как этот коэффициент определяется, как через него находить вторичное напряжение и токи в обмотках, как работает баланс мощностей в идеальном трансформаторе и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как витки управляют напряжением и током, покрутите калькулятор ниже: он считает $k$, вторичное напряжение и токи и показывает поток мощности, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое коэффициент трансформации

Трансформатор состоит из двух (или более) обмоток на общем замкнутом ферромагнитном сердечнике. Обмотку, подключённую к источнику, называют первичной, а ту, с которой снимают напряжение, - вторичной. Переменный ток в первичной обмотке создаёт в сердечнике переменный магнитный поток, и этот общий поток наводит ЭДС в каждом витке обеих обмоток одинаково. Поэтому полная ЭДС обмотки пропорциональна числу её витков.

Коэффициент трансформации - это отношение числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной:

$k = \frac{N_1}{N_2}.$

Поскольку наведённая ЭДС пропорциональна числу витков, в режиме холостого хода (без нагрузки) то же отношение связывает напряжения на обмотках:

$k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2}.$

Если $k > 1$, витков на первичной обмотке больше, и напряжение на выходе меньше входного - это понижающий трансформатор. Если $k < 1$, наоборот, повышающий. Именно знак сравнения $k$ с единицей чаще всего и спрашивают в задачах.

Формула коэффициента трансформации через токи

В нагруженном трансформаторе по вторичной обмотке течёт ток, и через тот же магнитный поток он влияет на ток первичной обмотки. Если считать трансформатор идеальным (без потерь), то вся мощность, подведённая к первичной обмотке, передаётся в нагрузку:

$U_1 I_1 = U_2 I_2.$

Отсюда токи обмоток обратно пропорциональны напряжениям, а значит, и числу витков. Полная цепочка равенств, на которой строятся почти все задачи, выглядит так:

$k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{I_2}{I_1}.$

Обратите внимание: для токов отношение перевёрнуто. Та обмотка, где больше витков и выше напряжение, несёт меньший ток. Понижающий трансформатор отдаёт низкое напряжение, но большой ток - именно поэтому сварочные и зарядные трансформаторы делают понижающими.

Рассчитать для своей задачи

Как найти вторичное напряжение

Самый частый вопрос задачи - найти напряжение на выходе. Из определения коэффициента трансформации сразу следует:

$U_2 = \frac{U_1}{k} = U_1 \cdot \frac{N_2}{N_1}.$

То есть достаточно знать входное напряжение и отношение витков. Например, при $U_1 = 220$ В и отношении витков $N_1/N_2 = 22$ выход составит $U_2 = 220/22 = 10$ В. График ниже показывает, как вторичное напряжение зависит от коэффициента трансформации: при $k = 1$ напряжения равны, с ростом $k$ выход быстро падает, а при $k < 1$ трансформатор поднимает напряжение выше входного.

Рассчитать для своей задачи

Если в задаче, наоборот, известны напряжения и нужно найти число витков, формула просто переворачивается. Зная $U_1$, $U_2$ и число витков одной обмотки, число витков второй находят через то же отношение: $N_1 = N_2 \cdot U_1 / U_2$. Это типичная обратная задача - подобрать обмотку под нужное напряжение.

Токи в обмотках и баланс мощностей

После напряжения обычно требуют найти токи. Если задан ток нагрузки $I_2$ во вторичной цепи, ток первичной обмотки находят из баланса мощностей:

$I_1 = \frac{I_2}{k} = I_2 \cdot \frac{N_2}{N_1}.$

В понижающем трансформаторе $k > 1$, поэтому ток первички в $k$ раз меньше тока нагрузки. Часто нагрузку задают не током, а мощностью $P_2$ (например, мощностью лампы или паяльника). Тогда сначала находят ток вторички из $P_2 = U_2 I_2$, а затем по той же формуле ток первички. Для идеального трансформатора потребляемая из сети мощность равна мощности нагрузки: $P_1 = P_2$. Реальный трансформатор имеет КПД 95-99 процентов, и небольшая разница уходит на нагрев сердечника и обмоток, но в учебных задачах его почти всегда считают идеальным.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Первичная обмотка трансформатора содержит $N_1 = 1100$ витков, вторичная - $N_2 = 50$ витков. На первичную обмотку подано напряжение $U_1 = 220$ В, а к вторичной подключена нагрузка, потребляющая ток $I_2 = 2$ А. Найти коэффициент трансформации, вторичное напряжение, ток первичной обмотки и потребляемую мощность.

Сначала находим коэффициент трансформации по определению - это просто отношение чисел витков:

$k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{1100}{50} = 22.$

Так как $k > 1$, трансформатор понижающий. Теперь вторичное напряжение:

$U_2 = \frac{U_1}{k} = \frac{220}{22} = 10\ \text{В}.$

Ток первичной обмотки находим из соотношения токов (он во столько же раз меньше тока нагрузки, во сколько раз понижается напряжение):

$I_1 = \frac{I_2}{k} = \frac{2}{22} \approx 0{,}091\ \text{А}.$

Наконец, проверим баланс мощностей. Мощность нагрузки $P_2 = U_2 I_2 = 10 \cdot 2 = 20$ Вт. Потребляемая из сети мощность $P_1 = U_1 I_1 = 220 \cdot 0{,}091 \approx 20$ Вт - совпадает, как и должно быть для идеального трансформатора. Если ваши числа эту проверку не проходят, значит, где-то перепутаны прямое и обратное отношения. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку рассуждений и показывает поток мощности наглядно.

Частые ошибки

• Перевёрнутое отношение токов. Для напряжений и витков $k = U_1/U_2 = N_1/N_2$, но для токов $k = I_2/I_1$ - отношение перевёрнуто. Если применить к токам ту же дробь, что и к напряжениям, ответ будет неверным в $k^2$ раз.
• Путаница, какая обмотка первичная. Первичная - та, что подключена к источнику. Если в задаче источник подключён к обмотке с меньшим числом витков, трансформатор повышающий, и $k < 1$ - это не ошибка, а законный режим.
• Забыли, что формулы работают только для переменного тока. Трансформатор не работает на постоянном токе: без изменения магнитного потока ЭДС не наводится. В задаче всегда подразумевается переменное напряжение.
• Расчёт мощности без учёта КПД там, где он задан. Если в условии явно дан КПД меньше 100 процентов, баланс $P_1 = P_2$ заменяется на $P_2 = \eta P_1$, иначе ответ по току первички будет занижен.
• Подстановка действующих и амплитудных значений вперемешку. В формулы подставляют либо все действующие значения, либо все амплитудные - смешивать их нельзя.

FAQ

Чему равен коэффициент трансформации, если в первичной обмотке 1100 витков, а во вторичной 50? Коэффициент трансформации равен отношению витков: $k = 1100/50 = 22$. Поскольку $k > 1$, трансформатор понижающий, и при входе 220 В он даёт на выходе $220/22 = 10$ В.

Как коэффициент трансформации связан с токами в обмотках? Для идеального трансформатора $k = I_2/I_1$, то есть отношение токов перевёрнуто относительно напряжений. Чем больше витков и выше напряжение на обмотке, тем меньший ток через неё течёт - это следствие баланса мощностей $U_1 I_1 = U_2 I_2$.

Можно ли использовать трансформатор для постоянного тока? Нет. Трансформатор работает только на переменном (или пульсирующем) токе: ЭДС в обмотках наводится изменяющимся магнитным потоком. При постоянном токе поток не меняется, ЭДС во вторичной обмотке равна нулю, а первичная обмотка работает как обычный резистор и может перегреться.

Коротко

Все задачи на трансформатор строятся на коэффициенте трансформации $k = N_1/N_2 = U_1/U_2 = I_2/I_1$: для витков и напряжений отношение прямое, для токов - обратное. Вторичное напряжение находят как $U_2 = U_1/k$, ток первичной обмотки - как $I_1 = I_2/k$, а для идеального трансформатора входная и выходная мощности равны: $U_1 I_1 = U_2 I_2$. При $k > 1$ трансформатор понижающий, при $k < 1$ - повышающий, и работают эти формулы только для переменного тока.