Как рассчитать дифракционную решётку: разбор задачи

Дано: решётка с $N_0 = 500$ штрихов на 1 мм, свет с длиной волны $\lambda = 589$ нм падает нормально. Найти: период $d$, угол максимума второго порядка, наибольший порядок спектра и угловую дисперсию. Весь расчёт держится на одной формуле главных максимумов $d\sin\varphi = k\lambda$: сначала из числа штрихов получаем период, потом подставляем порядок. Ответ: $d = 2$ мкм, $\varphi_2 = 36{,}09^\circ$, $k_{\max} = 3$, $D = 0{,}071$ град/нм. Калькулятор сверху считает ту же цепочку для любой решётки и любой длины волны.

Решение по шагам

Дано. Сводим условие в таблицу и сразу переводим всё в согласованные единицы: удобнее работать в нанометрах, тогда длина волны остаётся «как есть», а период получается четырёхзначным числом.

Найти: период решётки $d$, угол $\varphi_2$, наибольший порядок $k_{\max}$ и угловую дисперсию $D$.

Шаг 1. Находим период решётки. Период (его же называют постоянной решётки) - это расстояние между серединами соседних щелей. Если на миллиметр нанесено $N_0$ штрихов, то на один штрих приходится $1/N_0$ миллиметра:

$$d = \frac{1}{N_0} = \frac{1}{500}\ \text{мм} = 0{,}002\ \text{мм} = 2\ \text{мкм} = 2000\ \text{нм} = 2\cdot 10^{-6}\ \text{м}.$$

Обрати внимание на цепочку переводов: миллиметры в микрометры и нанометры. Больше половины ошибок в этой задаче делают именно здесь, подставляя потом период в миллиметрах рядом с длиной волны в нанометрах.

Шаг 2. Считаем угол максимума второго порядка. Подставляем $k = 2$ в условие главных максимумов и выражаем синус:

$$\sin\varphi_2 = \frac{k\lambda}{d} = \frac{2 \cdot 589}{2000} = 0{,}589.$$

Синус меньше единицы, значит такой максимум существует. Берём арксинус:

$$\varphi_2 = \arcsin 0{,}589 = 36{,}09^\circ \approx 36^\circ 05'.$$

Для сравнения первый порядок даёт $\sin\varphi_1 = 0{,}2945$ и $\varphi_1 = 17{,}13^\circ$. Углы не пропорциональны порядку: второй максимум отстоит от центра не вдвое дальше первого, а заметно больше, потому что линейно растёт синус, а не сам угол.

Шаг 3. Определяем наибольший порядок спектра. Синус не может превышать единицу, поэтому из формулы $\sin\varphi = k\lambda/d$ сразу следует ограничение на порядок:

$$k \le \frac{d}{\lambda} = \frac{2000}{589} = 3{,}396.$$

Порядок - целое число, значит $k_{\max} = 3$. Проверим: $\sin\varphi_3 = 3 \cdot 589 / 2000 = 0{,}8835$, отсюда $\varphi_3 = 62{,}07^\circ$. Четвёртый порядок потребовал бы синуса $1{,}178$, а такого не бывает.

Шаг 4. Находим угловую дисперсию. Угловая дисперсия показывает, на сколько разъезжаются по углу две близкие длины волны. Её получают дифференцированием условия максимумов по $\lambda$:

$$D = \frac{d\varphi}{d\lambda} = \frac{k}{d\cos\varphi} = \frac{2}{2\cdot 10^{-6} \cdot \cos 36{,}09^\circ} = \frac{2}{2\cdot 10^{-6}\cdot 0{,}8081} = 1{,}24\cdot 10^{6}\ \text{рад/м}.$$

Такая единица неудобна, поэтому переводим в привычные градусы на нанометр: $1{,}24\cdot 10^{6}$ рад/м это $1{,}24\cdot 10^{-3}$ рад/нм, а после умножения на $180/\pi$ получаем $0{,}0709$ град/нм, то есть около $4{,}25$ угловой минуты на каждый нанометр.

Ответ: $d = 2$ мкм, $\varphi_2 = 36{,}09^\circ$, $k_{\max} = 3$ (всего 7 главных максимумов вместе с центральным), $D = 0{,}071$ град/нм.

Формула и откуда она берётся

Условие главных максимумов связывает четыре величины:

$$d\sin\varphi = k\lambda, \qquad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Здесь $d$ - период решётки, $\varphi$ - угол между направлением на максимум и нормалью к решётке, $k$ - порядок спектра, $\lambda$ - длина волны. Смысл равенства простой: $d\sin\varphi$ есть разность хода лучей от двух соседних щелей, и если она укладывается целым числом длин волн, волны от всех щелей приходят в фазе и усиливают друг друга. Подробный вывод через синфазность вторичных волн разобран в статье про формулу главных максимумов дифракционной решётки - здесь формула нужна нам как готовый рабочий инструмент.

Из этого же равенства видно, почему решётка раскладывает белый свет в спектр. Для фиксированного порядка $k$ угол зависит от длины волны: фиолетовый свет отклоняется меньше, красный больше. В нулевом порядке ($k = 0$) угол равен нулю при любой $\lambda$, поэтому центральный максимум всегда белый.

Наибольший порядок спектра и полное число максимумов

Ограничение $k \le d/\lambda$ отвечает сразу на два типовых вопроса контрольной. Первый: какой порядок последний. Ответ - целая часть отношения $d/\lambda$, в нашем случае 3. Второй: сколько всего главных максимумов даёт решётка. Спектры симметричны относительно центра, поэтому каждый порядок наблюдается дважды, слева и справа, плюс нулевой максимум посередине:

$$N_{\text{макс}} = 2k_{\max} + 1 = 2\cdot 3 + 1 = 7.$$

Отдельная тонкость: если отношение $d/\lambda$ оказалось ровно целым, последний порядок не наблюдается. При $\sin\varphi = 1$ угол равен $90^\circ$, и максимум уходит вдоль плоскости решётки, где его физически не увидеть. В такой ситуации берут $k_{\max} = d/\lambda - 1$. Калькулятор сверху учитывает этот случай, поэтому при ровных числах его ответ на единицу меньше наивного округления.

Ещё одна причина, по которой порядок может «пропасть», связана с шириной самой щели. Интенсивность максимумов промодулирована картиной от одной щели, и если период кратен ширине щели, часть порядков попадает на нули этой огибающей. Как устроена картина от одиночной щели, показано в разборе дифракции Фраунгофера на щели.

Угловая дисперсия и проверка разрешающей способности

Угловая дисперсия $D = k/(d\cos\varphi)$ растёт с порядком и убывает с периодом: чем гуще нанесены штрихи и чем выше порядок, тем сильнее разведены по углу близкие линии. В нашей задаче $D = 0{,}071$ град/нм, значит две линии, отличающиеся на 1 нм, разойдутся всего на четыре угловые минуты - глазом такое не различить, нужен гониометр.

Дисперсия отвечает на вопрос «насколько разошлись», но не на вопрос «видно ли их раздельно». Второе определяет разрешающая способность $R = \lambda / \delta\lambda = kN$, где $N$ - полное число штрихов. Пусть наша решётка имеет ширину 20 мм, тогда $N = 500 \cdot 20 = 10\,000$ штрихов, а во втором порядке $R = 2 \cdot 10\,000 = 20\,000$. Минимальная различимая разница длин волн:

$$\delta\lambda = \frac{\lambda}{R} = \frac{589}{20\,000} = 0{,}029\ \text{нм}.$$

Знаменитый дублет натрия с линиями 589,0 и 589,6 нм отличается на 0,6 нм, что в двадцать раз больше предела. Такая решётка разделит его уверенно.

Если решётка задана периодом или свет падает наклонно

Условие задачи не всегда начинается с числа штрихов. Если сразу дан период, шаг 1 пропускается: например, при $d = 4$ мкм и той же длине волны $d/\lambda = 4000/589 = 6{,}79$, то есть $k_{\max} = 6$. Если известна только общая ширина решётки и полное число штрихов, период равен отношению ширины к числу штрихов.

Встречается и обратная задача: угол известен, найти длину волны. Тогда формула переворачивается в $\lambda = d\sin\varphi / k$. Подставив $\varphi = 36{,}09^\circ$ и $k = 2$, мы получим обратно 589 нм - полезная проверка собственных вычислений.

Наконец, если свет падает не по нормали, а под углом $\theta$ к ней, разность хода складывается из двух частей, и условие принимает вид $d(\sin\varphi + \sin\theta) = k\lambda$. Наклон сдвигает всю картину и увеличивает доступный порядок: при $\theta = 30^\circ$ предельное значение становится $d(1 + 0{,}5)/\lambda = 5{,}09$, то есть появляются пятые порядки. Заметь, что период дифракционной решётки - величина из оптики, её не надо путать с периодом кристаллической решётки, который находят по плотности вещества в отдельном разборе.

Частые ошибки

• Путают период и число штрихов. Период есть величина, обратная плотности штрихов: $d = 1/N_0$, а не $d = N_0$. Если в ответе получился период порядка сотен микрометров, проверь именно это место.
• Смешивают единицы. Длина волны в нанометрах, период в миллиметрах - и синус выходит микроскопическим. Приводи обе величины к одной единице до подстановки.
• Округляют наибольший порядок вверх. Из $d/\lambda = 3{,}396$ следует $k_{\max} = 3$, а не 4: порядок обязан быть целым и не больше отношения.
• Считают угол пропорциональным порядку. Удваивается синус, а не угол: $\varphi_1 = 17{,}13^\circ$, но $\varphi_2 = 36{,}09^\circ$, а не $34{,}26^\circ$.
• Теряют косинус в дисперсии. Формула $D = k/d$ верна лишь для малых углов; на $62^\circ$ косинус вдвое меняет результат.
• Забывают про центральный максимум. Полное число максимумов равно $2k_{\max} + 1$, нулевой порядок тоже считается.

FAQ

Период решётки и постоянная решётки - это одно и то же? В оптике да, оба термина означают расстояние между серединами соседних щелей. Путаница возникает только с кристаллографией, где постоянная решётки - это ребро элементарной ячейки кристалла, совсем другая величина и другой способ расчёта.

Что делать, если синус получился больше единицы? Это не ошибка вычислений, а физический результат: максимум такого порядка для данной решётки не существует. В ответе так и пишут, что порядок не наблюдается, и указывают наибольший возможный.

Почему белый свет даёт белый центр и цветные края? В нулевом порядке разность хода равна нулю для всех длин волн сразу, поэтому все цвета собираются в одну точку. В первом и следующих порядках угол зависит от $\lambda$, и спектр разворачивается веером, фиолетовым краем к центру.

Как решётка соотносится с одной щелью? Одна щель даёт широкие размытые полосы, а решётка из многих щелей превращает их в узкие резкие линии, причём чем больше штрихов, тем уже линия. Условия минимумов для одиночной щели разобраны в отдельном материале.

Коротко

1. Период находим из числа штрихов: $d = 1/N_0 = 1/500$ мм $= 2$ мкм.
2. Угол максимума берём из условия $d\sin\varphi = k\lambda$: $\sin\varphi_2 = 0{,}589$, $\varphi_2 = 36{,}09^\circ$.
3. Наибольший порядок равен целой части $d/\lambda = 3{,}396$, то есть $k_{\max} = 3$; всего максимумов $2k_{\max}+1 = 7$.
4. Угловая дисперсия $D = k/(d\cos\varphi) = 1{,}24\cdot 10^{6}$ рад/м $= 0{,}071$ град/нм.
5. Разрешающая способность $R = kN$: при ширине 20 мм она равна 20 000, предел различения 0,029 нм, дублет натрия разделяется.