Дифракция Фраунгофера на щели - как читать картину

Если на узкую щель падает плоская монохроматическая волна, то за щелью свет не идёт строго прямо, а расходится веером, и на удалённом экране возникает характерная картина: яркая центральная полоса и убывающие по яркости боковые. Это дифракция Фраунгофера на щели - предельный случай дифракции, когда источник и экран бесконечно далеки, а на щель падают параллельные лучи. Ниже разберём, при каком условии возникают тёмные и светлые полосы, как выглядит формула распределения интенсивности, чему равна угловая ширина центрального максимума и почему дифракционная картина именно такая.

Условие дифракции Фраунгофера

Дифракцию называют фраунгоферовой, когда и источник света, и точка наблюдения удалены от щели настолько, что приходящие и уходящие волны можно считать плоскими. На практике это означает падение коллимированного пучка (например, от лазера или из коллиматора) и наблюдение либо в фокальной плоскости линзы, либо на очень большом расстоянии. Формальный критерий - параметр Френеля $a^2/(\lambda L) \ll 1$, где $a$ - ширина щели, $\lambda$ - длина волны, $L$ - расстояние до экрана.

В отличие от дифракции Френеля (близкая зона, сферические волны), здесь картина зависит только от угла дифракции $\theta$, а не от расстояния до экрана. Каждому направлению $\theta$ соответствует своя точка на экране, а сама картина при удалении экрана лишь масштабируется, не меняя формы. Близкий по подходу разбор зон волнового фронта дан в материале про зоны Френеля и их радиус.

Чтобы быстро посчитать положение минимумов, угловую ширину или интенсивность для конкретных $a$ и $\lambda$, удобно собрать запрос через форму ниже.

Условие минимумов

Разобьём щель шириной $a$ на множество вторичных источников (принцип Гюйгенса-Френеля). Волны от них идут под углом $\theta$ и приходят в точку экрана с разными фазами. Разность хода между лучами от краёв щели равна $a\sin\theta$. Если эту разность уложить в целое число длин волн так, чтобы щель разбивалась на чётное число равных зон, попарно гасящих друг друга, в данном направлении наступит полное гашение.

Отсюда условие минимумов дифракции Фраунгофера на щели:

$a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$

где $m$ - порядок минимума (целое число, кроме нуля). Важно: значение $m = 0$ минимуму не соответствует - это центр картины, где, наоборот, расположен главный максимум. Чем уже щель, тем под большим углом уходит первый минимум: при $a \to \lambda$ первый минимум стремится к $90^\circ$, и картина «размазывается» по всему экрану.

Условие максимумов

Главный (центральный) максимум лежит в направлении $\theta = 0$: все вторичные волны приходят синфазно. Побочные максимумы располагаются примерно посередине между соседними минимумами. Точное условие максимумов не сводится к простой кратности - оно получается из уравнения $\tan\beta = \beta$, где $\beta = \tfrac{\pi a \sin\theta}{\lambda}$. Приближённо побочные максимумы лежат в направлениях:

$a\sin\theta \approx \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda, \qquad m = 1, 2, 3, \dots$

Эта приближённая формула удобна для оценок, но именно приближённая: реальные максимумы чуть смещены к центру относительно полуцелых значений. Самое заметное в картине - не положение, а резкое падение яркости: первый побочный максимум составляет лишь около 4,7 % интенсивности центрального, второй - около 1,7 %.

Распределение интенсивности

Полную картину даёт формула распределения интенсивности по углу. Суммируя вклады всех вторичных источников щели, получаем:

$I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2, \qquad \beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}$

где $I_0$ - интенсивность в центре картины ($\theta = 0$). Функция $\left(\tfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2$ - это квадрат функции sinc. В центре, при $\beta \to 0$, она равна единице (главный максимум). Нули функции при $\beta = \pm\pi, \pm 2\pi, \dots$ дают минимумы - что в точности совпадает с условием $a\sin\theta = m\lambda$. Между нулями лежат побочные максимумы быстро убывающей высоты.

Доля энергии в центральном максимуме - около 90 % всей прошедшей через щель, остальное распределено по боковым. Именно поэтому на экране глаз видит в первую очередь яркую центральную полосу.

Угловая ширина центрального максимума

Центральный максимум ограничен первыми минимумами при $m = \pm 1$, то есть $\sin\theta = \pm \lambda/a$. Полная угловая ширина (от минимума до минимума) равна:

$\Delta\theta = 2\arcsin\frac{\lambda}{a} \approx \frac{2\lambda}{a} \quad (\text{при } \lambda \ll a)$

Половинная угловая ширина (от центра до первого минимума) составляет $\theta_1 \approx \lambda/a$. Линейный размер центрального максимума на экране, удалённом на расстояние $L$ (или в фокальной плоскости линзы с фокусом $f$), равен:

$\Delta x \approx \frac{2\lambda L}{a} \quad \text{или} \quad \Delta x \approx \frac{2\lambda f}{a}$

Отсюда ключевой вывод: чем уже щель, тем шире центральный максимум и тем сильнее «расплывается» картина. Это проявление фундаментального принципа дифракции - ограничение пучка по поперечному размеру неизбежно ведёт к его угловому расширению. На том же эффекте основан дифракционный предел разрешения оптических приборов.

Как выглядит дифракционная картина

На экране дифракция Фраунгофера на щели даёт систему параллельных полос, вытянутых вдоль направления щели. В центре - широкая яркая полоса (центральный максимум). По обе стороны от неё чередуются тёмные полосы (минимумы) и узкие тусклые светлые полосы (побочные максимумы), быстро гаснущие к краям. Расстояние между соседними минимумами почти равное (при малых углах), а интенсивность побочных максимумов падает как $1/\beta^2$.

Если щель освещена белым светом, минимумы для разных длин волн приходятся на разные углы, и боковые полосы окрашиваются: красный край смещён дальше от центра, фиолетовый - ближе, поскольку положение минимума $\sin\theta = m\lambda/a$ прямо пропорционально $\lambda$. Центральный максимум остаётся белым, ведь при $\theta = 0$ все длины волн совпадают. По схожему принципу формирование цвета через интерференцию разобрано в статье про интерференцию тонких плёнок и просветление оптики.

Частые ошибки

• Считают $m = 0$ минимумом. Нулевой порядок $a\sin\theta = 0$ соответствует центральному максимуму, а не тёмной полосе. Минимумы начинаются с $m = \pm 1$.
• Путают условия для щели и для решётки. У одной щели $a\sin\theta = m\lambda$ - это минимумы; у дифракционной решётки $d\sin\theta = m\lambda$ - наоборот, главные максимумы. Формулы похожи, смысл противоположный.
• Применяют приближение $\Delta\theta \approx 2\lambda/a$ при широком угле. При $a$, сравнимом с $\lambda$, нужно брать $\arcsin$, иначе угол выйдет больше $90^\circ$.
• Берут полуцелые значения как точные максимумы. Формула $(m+\tfrac12)\lambda$ приближённая; точные максимумы находят из $\tan\beta = \beta$ и они слегка смещены к центру.
• Забывают про линзу. Без собирающей линзы фраунгоферова картина наблюдается лишь на очень большом расстоянии; линза переносит «бесконечность» в свою фокальную плоскость.

FAQ

Чем дифракция Фраунгофера отличается от дифракции Френеля? Фраунгоферова дифракция - это дальняя зона: на щель падают плоские волны и наблюдение ведётся в параллельных лучах (или в фокусе линзы), картина зависит только от угла $\theta$. Дифракция Френеля - ближняя зона со сферическими волнами, где картина меняется с расстоянием до экрана.

Почему центральный максимум вдвое шире боковых? Он ограничен первыми минимумами по обе стороны ($a\sin\theta = \pm\lambda$), то есть занимает интервал в две единицы $\lambda/a$ по $\sin\theta$, тогда как каждый побочный максимум укладывается между двумя соседними минимумами шириной в одну такую единицу.

Как ширина щели влияет на картину? Чем уже щель, тем шире расходится картина: первый минимум $\sin\theta = \lambda/a$ уходит на больший угол, центральный максимум растягивается. Широкая щель ($a \gg \lambda$) даёт узкую яркую полосу, близкую к геометрической тени.

Коротко

Дифракция Фраунгофера на щели - дифракция в параллельных лучах: минимумы задаются условием $a\sin\theta = m\lambda$ ($m=\pm1,\pm2,\dots$), а распределение интенсивности описывается функцией $I(\theta)=I_0(\sin\beta/\beta)^2$ с $\beta=\pi a\sin\theta/\lambda$. Центральный максимум вдвое шире боковых, его угловая полуширина $\theta_1\approx\lambda/a$, а боковые максимумы быстро убывают. Чем уже щель, тем шире и тусклее дифракционная картина.