Как найти индукцию магнитного поля: формулы и расчёт

Дано: ток $I = 6$ А; точка на расстоянии $r = 4$ см от длинного прямого провода; круговой виток радиусом $R = 5$ см с тем же током; соленоид из $N = 800$ витков длиной $L = 40$ см. Среда - воздух, $\mu = 1$. Найти: индукцию магнитного поля $B$ в каждом из трёх случаев.

Единой формулы «для индукции» не существует: под каждую геометрию своя, и вся работа сводится к тому, чтобы опознать конфигурацию, перевести сантиметры в метры и подставить магнитную постоянную $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м. Ответ: 30 мкТл у провода, 75,4 мкТл в центре витка и 15,1 мТл внутри соленоида. Калькулятор сверху считает все четыре конфигурации под любые данные, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Переводим геометрию в метры. Расстояние до провода $r = 4$ см $= 0{,}04$ м, радиус витка $R = 5$ см $= 0{,}05$ м, длина соленоида $L = 40$ см $= 0{,}4$ м. Магнитная постоянная задана в единицах СИ, поэтому любая длина в сантиметрах даст ответ, завышенный ровно в сто раз. Это самая частая арифметическая потеря во всей теме.

Шаг 2. Поле прямого провода. Для бесконечно длинного прямого проводника индукция обратно пропорциональна расстоянию:

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 6}{2 \pi \cdot 0{,}04}.$$

Число $\pi$ сокращается, и остаётся удобная рабочая форма $B = 2 \cdot 10^{-7} \cdot I / r$:

$$B_1 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6}{0{,}04} = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-6}}{0{,}04} = 3 \cdot 10^{-5}\ \text{Тл} = 30\ \text{мкТл}.$$

Шаг 3. Поле в центре кругового витка. Здесь все элементы тока удалены от центра одинаково и дают вклады в одну сторону, поэтому формула проще и $\pi$ в знаменателе нет:

$$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 6}{2 \cdot 0{,}05} = 24 \pi \cdot 10^{-6} \approx 7{,}54 \cdot 10^{-5}\ \text{Тл} = 75{,}4\ \text{мкТл}.$$

Виток при том же токе выигрывает у провода в $\pi r / R = 2{,}5$ раза, хотя расстояния почти одинаковые. Причина не в силе тока, а в том, что провод «размазан» вдоль прямой, и дальние его участки почти ничего не добавляют.

Шаг 4. Поле внутри соленоида. Сначала считаем плотность намотки, то есть число витков на метр длины:

$$n = \frac{N}{L} = \frac{800}{0{,}4} = 2000\ \text{м}^{-1}.$$

Затем подставляем её в формулу поля длинного соленоида:

$$B_3 = \mu_0 n I = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 6 \approx 1{,}51 \cdot 10^{-2}\ \text{Тл} = 15{,}1\ \text{мТл}.$$

Ответ: $B_1 = 30$ мкТл, $B_2 \approx 75{,}4$ мкТл, $B_3 \approx 15{,}1$ мТл. Соленоид сильнее одиночного провода примерно в 500 раз - при том же токе 6 А. Именно поэтому катушку, а не прямой провод, ставят везде, где поле нужно получить, а не убрать.

Формула и откуда она берётся

Все три выражения - частные случаи закона Био-Савара-Лапласа. Он говорит, что каждый маленький участок проводника длиной $dl$ с током $I$ создаёт в точке на расстоянии $R$ поле $dB = \dfrac{\mu_0 I \, dl \sin\alpha}{4 \pi R^2}$, а полное поле получается сложением таких вкладов по всей длине проводника. Прямой провод, виток и соленоид отличаются только тем, как эта сумма берётся.

Для прямого провода интеграл даёт множитель $1/(2\pi r)$: вклады дальних участков быстро гаснут из-за $1/R^2$ и малого синуса. Для центра витка все элементы находятся на одинаковом расстоянии $R$ и стоят под прямым углом к радиусу, поэтому интеграл превращается в простое умножение длины окружности на $dB$ и даёт $\mu_0 I / (2R)$.

Соленоид удобнее считать не через Био-Савара, а через теорему о циркуляции: подробный вывод с выбором контура Ампера разобран в статье про закон полного тока. Отсюда же берётся неочевидный вывод: поле внутри длинной катушки однородно и от её диаметра не зависит вовсе - важна только плотность намотки.

Единица индукции - тесла: поле в 1 Тл действует на проводник длиной 1 м с током 1 А силой 1 Н. Через эту связь считается сила Ампера, а через площадь контура - магнитный поток. Индукция $B$ описывает поле с учётом среды, а напряжённость $H = B/(\mu \mu_0)$ - без неё; для воздуха разница чисто в единицах.

Суперпозиция: поле двух параллельных проводников

Если проводников несколько, поля складываются векторно: $\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$. Пусть два длинных провода с токами $I_1 = 6$ А и $I_2 = 8$ А идут параллельно на расстоянии $d = 10$ см. Найдём поле посередине, где до каждого провода по 5 см:

$$B_1 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6}{0{,}05} = 24\ \text{мкТл}, \qquad B_2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 8}{0{,}05} = 32\ \text{мкТл}.$$

Дальше всё решает направление токов, и его определяют правилом правой руки: обхватываем провод так, чтобы большой палец смотрел по току, - остальные пальцы покажут, куда закручиваются линии индукции. При сонаправленных токах в точке между проводами линии идут навстречу, векторы противоположны, и модули вычитаются: $B = 32 - 24 = 8$ мкТл. При противоположных токах векторы совпадают по направлению и складываются: $B = 24 + 32 = 56$ мкТл.

У сонаправленных токов есть точка, где поле обращается в ноль. Её ищут из условия $B_1 = B_2$, то есть $I_1 / x = I_2 / (d - x)$, откуда $x = d I_1 / (I_1 + I_2) = 10 \cdot 6/14 \approx 4{,}3$ см от первого провода. На графике калькулятора в режиме двух проводов эта точка видна как пересечение кривой с нулевой линией.

Векторы не всегда лежат на одной прямой. Если провода разнесены на 5 см, а точка удалена от них на 3 см и 4 см, треугольник получается прямоугольным, поля перпендикулярны друг другу, и модуль результата считается по теореме Пифагора: $B_1 = 40$ мкТл, $B_2 = 40$ мкТл, $B = \sqrt{40^2 + 40^2} \approx 56{,}6$ мкТл.

Какую формулу выбрать под геометрию

Среда учитывается множителем $\mu$: в формулу входит произведение $\mu \mu_0$. У воздуха и большинства веществ $\mu \approx 1$, у ферромагнетиков - сотни и тысячи, поэтому железный сердечник усиливает поле катушки в те же сотни раз. Число витков соленоида связано ещё и с индуктивностью катушки, но там оно входит уже в квадрате - не путай две формулы.

Частые ошибки

• Сантиметры не переведены в метры. Подстановка $r = 4$ вместо $0{,}04$ даёт ответ в сто раз меньше. Переводи всю геометрию в СИ до подстановки, а не после.
• В формуле витка пишут $2\pi R$ вместо $2R$. У прямого провода в знаменателе $2\pi r$, у центра витка - только $2R$. Ответ отличается в $\pi$ раз, и проверить это нечем, кроме памяти.
• В соленоид подставляют $N$ вместо $n = N/L$. Число витков и плотность намотки - разные величины: 800 витков на 0,4 м дают $n = 2000$ м$^{-1}$, а не 800.
• Магнитную постоянную делят на $4\pi$. Множитель $4\pi$ уже входит в $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$; в формуле прямого провода он сокращается с $2\pi$ и оставляет $2 \cdot 10^{-7}$, но сама $\mu_0$ при этом не меняется.
• Складывают модули полей вместо векторов. Для двух проводников ответ зависит от направления токов: 8 мкТл при сонаправленных и 56 мкТл при встречных. Сначала правило правой руки, потом арифметика.
• Умножают на $\mu$ сердечника без оглядки на насыщение. Формально сталь с $\mu = 500$ дала бы 7,5 Тл, но реальное железо насыщается около 1,5-2 Тл, и линейная формула там уже не работает.

FAQ

Чем индукция отличается от напряжённости магнитного поля? Индукция $B$ измеряется в теслах и учитывает вклад среды, напряжённость $H = B/(\mu \mu_0)$ измеряется в амперах на метр и зависит только от токов. В задачах на соленоид часто просят обе: $H = n I = 12000$ А/м, а $B = \mu_0 H = 15{,}1$ мТл. Логика та же, что у пары «индукция - напряжённость» в электростатике, где считают напряжённость электрического поля.

Как определить направление вектора индукции? Правилом правой руки: большой палец вдоль тока, согнутые пальцы показывают направление линий индукции вокруг провода. Для витка и соленоида удобнее обратная формулировка: пальцы обхватывают катушку по направлению тока, большой палец указывает, куда направлено поле внутри.

Почему поле внутри соленоида не зависит от радиуса? Потому что при выводе через теорему о циркуляции контур выбирают так, что вклад дают только участки внутри и снаружи катушки, а снаружи длинного соленоида поле практически нулевое. В итоге в ответ входит лишь число витков на единицу длины, но не диаметр.

Что делать, если соленоид короткий? Формула $B = \mu_0 n I$ применима, когда длина много больше диаметра. У короткой катушки поле в середине меньше расчётного, а на торце падает вдвое, и корректный ответ получается только через закон Био-Савара с интегрированием по длине.

Коротко

1. Опознай конфигурацию: прямой провод, виток, катушка или соленоид - формула у каждой своя.
2. Переведи все длины в метры и подставь $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м вместе с $\mu$ среды.
3. Прямой провод: $B = \mu_0 I / (2 \pi r)$, для воздуха удобна форма $B = 2 \cdot 10^{-7} I / r$.
4. Центр витка: $B = \mu_0 I / (2R)$; соленоид: $B = \mu_0 n I$, где $n = N/L$.
5. Для нескольких проводников складывай поля векторно, направление задаёт правило правой руки.
6. Ответ примера: 30 мкТл у провода, 75,4 мкТл в центре витка, 15,1 мТл внутри соленоида.