Резонанс напряжений в последовательном контуре RLC

Резонанс напряжений - это режим последовательного колебательного контура RLC, при котором индуктивное и ёмкостное сопротивления становятся равны, взаимно компенсируются, и контур ведёт себя для источника как чистое активное сопротивление. В этот момент ток в цепи достигает максимума, а напряжения на катушке и конденсаторе могут во много раз превышать напряжение источника - отсюда и название явления. Ниже разберём условие резонанса, выведем формулу резонансной частоты, покажем, откуда берётся добротность и перенапряжение, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как пик тока зависит от параметров, покрути калькулятор ниже: он строит резонансную кривую и раскладывает полное сопротивление на составляющие, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое резонанс напряжений

В последовательном контуре катушка, конденсатор и резистор включены в одну ветвь, и через них течёт один и тот же ток. Каждый реактивный элемент оказывает току своё сопротивление: катушка - индуктивное $X_L = \omega L$, конденсатор - ёмкостное $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$, где $\omega = 2\pi f$ - циклическая частота источника. Эти два сопротивления противоположны по знаку: на катушке напряжение опережает ток, на конденсаторе - отстаёт, поэтому их вклады вычитаются.

Полное сопротивление контура (импеданс) находится по теореме Пифагора, потому что активная и реактивная составляющие сдвинуты по фазе на 90 градусов:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.$

Резонанс напряжений наступает тогда, когда реактивная часть обнуляется, то есть $X_L = X_C$. При этом скобка в формуле импеданса исчезает, и полное сопротивление падает до минимума, равного активному сопротивлению: $Z = R$. Источник как будто видит перед собой только резистор.

Рассчитать для своей задачи

Формула резонансной частоты

Найдём частоту, при которой выполняется условие $X_L = X_C$. Приравниваем сопротивления:

$\omega L = \frac{1}{\omega C} \quad\Rightarrow\quad \omega^2 = \frac{1}{LC} \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$

Это и есть резонансная циклическая частота. Перейдя к обычной частоте в герцах через $\omega_0 = 2\pi f_0$, получаем формулу Томсона для резонансной частоты последовательного контура:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

Резонансная частота зависит только от индуктивности и ёмкости и не зависит от активного сопротивления - резистор сдвигает высоту и ширину пика, но не его положение. Для контура с $L = 0{,}1$ Гн и $C = 10$ мкФ резонанс приходится на $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0{,}1\cdot 10^{-5}}} \approx 159$ Гц.

Ток в резонансе и резонансная кривая

Ток в контуре по закону Ома равен $I = \dfrac{U}{Z}$. Так как в резонансе импеданс минимален и равен $R$, ток достигает максимально возможного значения:

$I_{max} = \frac{U}{R}.$

При отстройке частоты в любую сторону реактивная разность $X_L - X_C$ снова становится отличной от нуля, импеданс растёт, и ток падает. График зависимости тока от частоты называется резонансной кривой: это острый пик с вершиной на $f_0$.

Рассчитать для своей задачи

Острота этого пика определяется активным сопротивлением: чем меньше $R$, тем выше и уже резонансная кривая. Ширину пика по уровню $0{,}707\,I_{max}$ называют полосой пропускания $\Delta f$. Она связана с добротностью контура простым соотношением $\Delta f = \dfrac{f_0}{Q}$, к которому мы сейчас и перейдём.

Добротность и перенапряжение на катушке и конденсаторе

Самая яркая особенность резонанса напряжений - то, что напряжения на катушке и конденсаторе в резонансе оказываются равны друг другу и могут многократно превышать напряжение источника. В резонансе ток равен $I_{max} = U/R$, поэтому напряжение на катушке:

$U_L = I_{max}\,X_L = \frac{U}{R}\cdot \omega_0 L = U\cdot\frac{\omega_0 L}{R}.$

Безразмерный множитель $\dfrac{\omega_0 L}{R}$ называется добротностью контура $Q$. Подставив $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, его удобно записать через параметры элементов:

$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.$

Напряжения на катушке и конденсаторе в резонансе равны и составляют:

$U_L = U_C = Q\,U.$

То есть добротность показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного. Для контура с $R = 10$ Ом, $L = 0{,}1$ Гн и $C = 10$ мкФ добротность $Q = \dfrac{1}{10}\sqrt{\dfrac{0{,}1}{10^{-5}}} = 10$, и при источнике в 10 В на катушке и конденсаторе будет уже 100 В. Это явление называют перенапряжением: оно опасно для изоляции, но полезно в радиотехнике, где контур выделяет нужную частоту из сигнала. Эти напряжения противофазны, поэтому в сумме они гасят друг друга, и на источник по-прежнему приходится только падение на резисторе.

Рассчитать для своей задачи

Векторная диаграмма и фаза

Удобно представлять напряжения на элементах векторами. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, на катушке - опережает ток на 90 градусов, на конденсаторе - отстаёт на 90 градусов. Вне резонанса векторы $U_L$ и $U_C$ не равны, их сумма даёт результирующее реактивное напряжение, и полное напряжение источника сдвинуто относительно тока на угол $\varphi$, где $\tan\varphi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$.

В резонансе $X_L = X_C$, реактивная разность обнуляется, угол сдвига фаз $\varphi = 0$: ток и напряжение источника совпадают по фазе. Именно по нулевому сдвигу фаз резонанс и определяют экспериментально - цепь чисто активна, коэффициент мощности равен единице. Если интересна связь активной и реактивной составляющих вне резонанса, её удобно разбирать через активную, реактивную и полную мощность в цепи переменного тока.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: последовательный контур состоит из резистора $R = 10$ Ом, катушки $L = 0{,}1$ Гн и конденсатора $C = 10$ мкФ, амплитуда напряжения источника $U = 10$ В. Найти резонансную частоту, добротность, ток в резонансе и напряжение на катушке.

Сначала переводим ёмкость в системные единицы: $C = 10\ \text{мкФ} = 10^{-5}$ Ф. Резонансную частоту считаем по формуле Томсона:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}1\cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\cdot 10^{-3}} \approx 159\ \text{Гц}.$

Добротность находим через параметры элементов:

$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10}\sqrt{\frac{0{,}1}{10^{-5}}} = \frac{1}{10}\cdot 100 = 10.$

Ток в резонансе равен входному напряжению, делённому на активное сопротивление:

$I_{max} = \frac{U}{R} = \frac{10}{10} = 1\ \text{А}.$

Наконец, напряжение на катушке (и точно такое же на конденсаторе) в резонансе превышает входное в $Q$ раз:

$U_L = U_C = Q\,U = 10\cdot 10 = 100\ \text{В}.$

Проверка: напряжение на катушке в десять раз больше источника - это и есть перенапряжение, характерное для резонанса напряжений. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку и показывает, как сдвигается пик кривой при изменении любого из параметров.

Частые ошибки

• Ёмкость не переведена в фарады. В формулу $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ подставляют значения в системе СИ. Микрофарады и миллигенри нужно перевести: $1\ \text{мкФ} = 10^{-6}$ Ф, $1\ \text{мГн} = 10^{-3}$ Гн.
• Путаница циклической и обычной частоты. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ даёт частоту в рад/с, а $f_0 = \omega_0/(2\pi)$ - в герцах. Забыть множитель $2\pi$ - типичная ошибка в разы.
• Импеданс складывают арифметически. Сопротивления $R$, $X_L$ и $X_C$ нельзя просто сложить: они сдвинуты по фазе. Импеданс считают по формуле $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
• Считают, что в резонансе напряжения на L и C равны нулю. Наоборот, они максимальны и равны $Q\,U$; нулю равна лишь их векторная сумма, потому что они противофазны.
• Резонансную частоту ставят в зависимость от R. Активное сопротивление меняет высоту и ширину пика, но не его положение: $f_0$ определяется только $L$ и $C$.

FAQ

Чем резонанс напряжений отличается от резонанса токов? Резонанс напряжений возникает в последовательном контуре: при $X_L = X_C$ импеданс минимален, ток максимален, а напряжения на катушке и конденсаторе превышают входное. Резонанс токов - это режим параллельного контура, где, наоборот, импеданс максимален, а общий ток минимален.

Почему напряжение на катушке может быть больше напряжения источника? Потому что в резонансе ток велик, и падение на реактивном сопротивлении $U_L = I\,X_L$ оказывается в $Q$ раз больше входного. Напряжения на катушке и конденсаторе противофазны и взаимно компенсируются, поэтому источник этого превышения не чувствует - на него приходится только падение на резисторе.

Как добротность влияет на резонансную кривую? Добротность $Q$ задаёт остроту пика: чем выше $Q$, тем уже полоса пропускания $\Delta f = f_0/Q$ и тем сильнее перенапряжение. Высокая добротность означает малое активное сопротивление и малые потери в контуре.

Коротко

Резонанс напряжений в последовательном контуре наступает при равенстве реактивных сопротивлений $X_L = X_C$, когда импеданс падает до активного сопротивления $R$, а ток достигает максимума $I_{max} = U/R$. Резонансная частота задаётся формулой Томсона $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ и не зависит от $R$. Добротность $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ показывает, во сколько раз напряжения на катушке и конденсаторе $U_L = U_C = Q\,U$ превышают входное - это перенапряжение и есть главный признак резонанса напряжений.