Фазное и линейное напряжение в звезде: соотношение

При соединении трёхфазной нагрузки звездой различают два напряжения: фазное и линейное. Фазное измеряют между линейным проводом и нейтралью (на самой нагрузке), линейное - между двумя линейными проводами. Главное соотношение, которое нужно помнить, выглядит коротко: $U_л = \sqrt{3}\,U_ф$. Именно поэтому привычная бытовая сеть имеет фазное напряжение 220 В и линейное 380 В: $220 \cdot \sqrt{3} \approx 380$. Ниже разберём, откуда берётся множитель $\sqrt{3}$, как линейное напряжение получается из векторной разности двух фазных, почему оно опережает фазное на 30 градусов и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь, покрути калькулятор ниже: он строит векторную диаграмму и пересчитывает линейное напряжение при любом фазном.

Что такое фазное и линейное напряжение

В трёхфазной системе три источника (или три обмотки генератора) создают три синусоидальных напряжения одинаковой амплитуды, сдвинутых по фазе на 120 градусов друг относительно друга. При соединении звездой концы всех трёх обмоток сводят в одну общую точку - нейтраль, а начала выводят в линию.

• Фазное напряжение $U_ф$ - напряжение между линейным проводом и нейтральной точкой, то есть напряжение на отдельной фазе (обмотке или нагрузке).
• Линейное напряжение $U_л$ - напряжение между двумя линейными проводами. Оно приложено сразу к двум фазам, включённым последовательно навстречу друг другу.

Линейное напряжение нельзя получить простым сложением двух фазных по модулю: напряжения сдвинуты во времени, поэтому складывать их надо векторно. Именно этот сдвиг и даёт множитель $\sqrt{3}$ вместо ожидаемой двойки.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся множитель корень из трёх

Представим фазные напряжения векторами на комплексной плоскости. Возьмём $U_a$ направленным вдоль оси, тогда:

$\vec U_a = U_ф\angle 0°, \qquad \vec U_b = U_ф\angle{-120°}, \qquad \vec U_c = U_ф\angle 120°.$

Линейное напряжение $U_{ab}$ между проводами A и B - это разность потенциалов, то есть векторная разность двух фазных напряжений:

$\vec U_{ab} = \vec U_a - \vec U_b.$

Геометрически концы трёх фазных векторов образуют равносторонний треугольник, а линейное напряжение - это его сторона. Найдём её модуль через теорему косинусов. Угол между $\vec U_a$ и $\vec U_b$ равен 120 градусов, значит угол между $\vec U_a$ и $-\vec U_b$ равен 60 градусам:

$U_{ab} = \sqrt{U_ф^2 + U_ф^2 - 2U_ф^2\cos 120°} = U_ф\sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\,U_ф.$

Вот и появился корень из трёх. Множитель не зависит от величины фазного напряжения - это чистая геометрия сдвига на 120 градусов. По симметрии все три линейных напряжения ($U_{ab}$, $U_{bc}$, $U_{ca}$) равны между собой и каждое в $\sqrt{3}$ раза больше фазного.

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме видно, почему наивное «двойное» сложение неверно: вектор $-\vec U_b$ повёрнут относительно $\vec U_a$ не на ноль, а на 60 градусов, поэтому их сумма короче, чем $2U_ф$, и равна именно $\sqrt{3}\,U_ф \approx 1{,}73\,U_ф$.

Сдвиг линейного напряжения на 30 градусов

Помимо множителя $\sqrt{3}$ у линейного напряжения есть второе важное свойство: оно опережает по фазе соответствующее фазное напряжение на 30 градусов. Это видно из той же геометрии. Вектор $\vec U_{ab}$ делит угол равнобедренного треугольника пополам: основание (60 градусов) делится на два угла по 30 градусов, поэтому $\vec U_{ab}$ повёрнут на 30 градусов относительно $\vec U_a$.

В комплексной форме это записывается так:

$\vec U_{ab} = \sqrt{3}\,U_ф\angle 30°, \qquad \vec U_{bc} = \sqrt{3}\,U_ф\angle{-90°}, \qquad \vec U_{ca} = \sqrt{3}\,U_ф\angle 150°.$

Сдвиг на 30 градусов важен при расчёте мощности и при анализе работы трёхфазных трансформаторов: группа соединения обмоток как раз учитывает этот угол. Для модуля же он роли не играет - линейное напряжение в $\sqrt{3}$ раз больше фазного независимо от фазового сдвига.

Рассчитать для своей задачи

Токи в звезде: где соотношение обратное

Полезно сразу запомнить, чем звезда отличается от треугольника по токам. В звезде линейный провод - это продолжение фазной обмотки, поэтому линейный ток равен фазному:

$I_л = I_ф.$

То есть в звезде «корень из трёх» сидит в напряжениях, а токи равны. В соединении треугольником всё наоборот: линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в $\sqrt{3}$ раза больше фазного. Эта симметрия - частый источник путаницы, поэтому стоит держать в голове простое правило: множитель $\sqrt{3}$ всегда есть, но в звезде он у напряжений, а в треугольнике у токов.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: трёхфазная сеть соединена звездой, фазное напряжение $U_ф = 127$ В. Нужно найти линейное напряжение и все три линейных напряжения с учётом фаз.

Сначала модуль линейного напряжения по основной формуле:

$U_л = \sqrt{3}\,U_ф = \sqrt{3}\cdot 127 \approx 1{,}732 \cdot 127 \approx 220\ \text{В}.$

Это объясняет старый стандарт сети 127/220 В: фазное 127, линейное 220. Современный стандарт 220/380 В получается из той же формулы при $U_ф = 220$ В:

$U_л = \sqrt{3}\cdot 220 \approx 381\ \text{В} \approx 380\ \text{В}.$

Теперь распишем три линейных напряжения с фазами, опережая каждое фазное на 30 градусов:

$\vec U_{ab} = 220\angle 30°, \qquad \vec U_{bc} = 220\angle{-90°}, \qquad \vec U_{ca} = 220\angle 150°.$

Проверка согласованности: отношение $U_л / U_ф = 220 / 127 = 1{,}732 = \sqrt{3}$, как и требует геометрия звезды. Если ваше отношение не равно $\sqrt{3}$, значит, где-то перепутаны фазное и линейное либо взят неверный тип соединения. Калькулятор выше собирает именно эту цепочку и строит диаграмму, оставляя вам контроль над числами.

Частые ошибки

• Умножение на 2 вместо корня из трёх. Линейное напряжение - это векторная, а не арифметическая сумма двух фазных. Из-за сдвига 120 градусов множитель равен $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, а не 2.
• Путаница фазного и линейного. Фазное измеряют относительно нейтрали, линейное - между двумя линиями. В звезде линейное больше; деление на $\sqrt{3}$ и умножение на $\sqrt{3}$ легко перепутать местами.
• Перенос правила со звезды на треугольник. В звезде в $\sqrt{3}$ раза больше напряжение, в треугольнике - ток. Применять «звёздную» формулу к треугольнику нельзя.
• Забытый сдвиг на 30 градусов. Для модуля он не нужен, но в задачах на мощность и трансформаторы пропуск этого угла даёт неверную фазу линейного напряжения.
• Складывание действующих значений как чисел. $U_{ab} \ne U_a + U_b$ по модулю; складывать надо векторы, иначе результат завышен.

FAQ

Почему линейное напряжение 380 В, а фазное 220 В? Потому что $U_л = \sqrt{3}\,U_ф$, а $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Подставляя фазное 220 В, получаем $220 \cdot 1{,}73 \approx 380$ В. Это прямое следствие сдвига фаз на 120 градусов при соединении звездой.

Как из линейного напряжения найти фазное? Разделить на корень из трёх: $U_ф = U_л / \sqrt{3}$. Для сети 380 В это $380 / 1{,}732 \approx 220$ В. Деление и умножение на $\sqrt{3}$ - обратные операции, главное не перепутать направление.

Чему равны токи при соединении звездой? В звезде линейный ток равен фазному, $I_л = I_ф$, потому что линия - это продолжение фазной обмотки. Множитель $\sqrt{3}$ в звезде относится только к напряжениям, а не к токам.

Коротко

При соединении звездой линейное напряжение в корень из трёх раз больше фазного: $U_л = \sqrt{3}\,U_ф$. Множитель вырастает из векторной разности двух фазных напряжений, сдвинутых на 120 градусов, и не зависит от их величины - это чистая геометрия равностороннего треугольника. Линейное напряжение к тому же опережает фазное на 30 градусов. Токи в звезде при этом равны: $I_л = I_ф$, а корень из трёх «переезжает» к токам только в соединении треугольником.