Как построить переходную характеристику звена: пример

Дано: звено с передаточной функцией $W(s) = \dfrac{4}{0{,}25s^2 + 0{,}3s + 1}$, на вход подан единичный скачок $1(t)$. Найти: переходную характеристику $h(t)$, перерегулирование и время переходного процесса.

Задача решается в три хода: передаточную функцию приводят к стандартному виду и вынимают из неё три числа, по коэффициенту затухания определяют тип процесса, а дальше подставляют числа в готовую формулу. Ответ: процесс колебательный, установившееся значение $h(\infty) = 4$, перерегулирование $\sigma = 37{,}2\%$ с максимумом $h_{\max} = 5{,}49$ на $t_{\max} = 1{,}65$ с, время переходного процесса $t_{\text{п}} = 5{,}1$ с. Калькулятор сверху строит ту же кривую для любых значений параметров.

Решение по шагам

Дано: $W(s) = \dfrac{4}{0{,}25s^2 + 0{,}3s + 1}$, входное воздействие $x(t) = 1(t)$, начальные условия нулевые. Найти: $h(t)$, $h(\infty)$, $\sigma$, $t_{\max}$, $t_{\text{п}}$.

Шаг 1. Приводим передаточную функцию к стандартному виду. Звено второго порядка в учебниках записывают так, чтобы свободный член знаменателя был равен единице:

$$W(s) = \frac{K}{T^2 s^2 + 2\xi T s + 1}.$$

Наш знаменатель уже в этой форме, остаётся сравнить коэффициенты почленно:

$$\begin{aligned} T^2 &= 0{,}25 &&\Rightarrow&& T = 0{,}5\ \text{с}, \\ 2\xi T &= 0{,}3 &&\Rightarrow&& \xi = \frac{0{,}3}{2 \cdot 0{,}5} = 0{,}3, \\ K &= 4. \end{aligned}$$

Три числа найдены, и дальше вся задача решается только через них. Постоянная времени задаёт масштаб по оси времени, коэффициент передачи - высоту, на которую выйдет кривая, а коэффициент затухания отвечает за форму: будет ли заброс и сколько колебаний успеет пройти звено.

Шаг 2. Определяем тип процесса по коэффициенту затухания. Здесь $0 < \xi < 1$, значит корни знаменателя комплексные и процесс будет колебательным. Считаем две частоты:

$$\omega_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5} = 2\ \text{рад/с}, \qquad \omega_{\text{д}} = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 2\sqrt{1 - 0{,}09} = 1{,}908\ \text{рад/с}.$$

Собственная частота $\omega_0$ - это частота, с которой звено колебалось бы без потерь, а $\omega_{\text{д}}$ - реальная частота затухающих колебаний. Коэффициент затухания при этом даёт скорость спада огибающей: $\xi\omega_0 = 0{,}6$ с в минус первой степени.

Шаг 3. Находим установившееся значение. По теореме о конечном значении для скачка достаточно подставить в передаточную функцию ноль:

$$h(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot W(s) \cdot \frac{1}{s} = W(0) = K = 4.$$

Кривая выйдет на уровень 4, а не на единицу: коэффициент передачи умножает высоту скачка на входе.

Шаг 4. Выписываем формулу кривой. Для колебательного звена обратное преобразование Лапласа от $W(s)/s$ даёт

$$h(t) = K\left[1 - e^{-\xi\omega_0 t}\left(\cos\omega_{\text{д}} t + \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}}\sin\omega_{\text{д}} t\right)\right].$$

Подставляем наши числа, причём $\dfrac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}} = \dfrac{0{,}3}{0{,}954} = 0{,}314$:

$$h(t) = 4\left[1 - e^{-0{,}6t}\left(\cos 1{,}908t + 0{,}314\sin 1{,}908t\right)\right].$$

Шаг 5. Находим перерегулирование и первый максимум. Производная обращается в ноль там, где $\sin\omega_{\text{д}} t = 0$, то есть первый максимум приходится на полпериода колебаний:

$$t_{\max} = \frac{\pi}{\omega_{\text{д}}} = \frac{3{,}1416}{1{,}908} = 1{,}65\ \text{с}.$$

Перерегулирование считают по готовой формуле, в которую входит только коэффициент затухания:

$$\sigma = e^{-\pi\xi / \sqrt{1 - \xi^2}} \cdot 100\% = e^{-0{,}988} \cdot 100\% = 37{,}2\%,$$

откуда высота первого выброса $h_{\max} = K(1 + 0{,}372) = 5{,}49$.

Шаг 6. Находим время переходного процесса. Его отсчитывают по моменту, после которого кривая уже не выходит из трубки $\pm 5\%$ вокруг установившегося значения, то есть за пределы полосы от 3,8 до 4,2. Быстрая инженерная оценка идёт по огибающей:

$$t_{\text{п}} \approx \frac{3}{\xi\omega_0} = \frac{3}{0{,}6} = 5{,}0\ \text{с}.$$

Точный расчёт по кривой даёт 5,07 с: третий экстремум на 4,94 с отклоняется от уровня 4 ещё на 5,2 процента и чуть-чуть цепляет границу трубки. Период колебаний $T_{\text{к}} = 2\pi/\omega_{\text{д}} = 3{,}29$ с, значит за переходный процесс укладывается около полутора колебаний.

Контрольные точки кривой, по которым её удобно рисовать от руки:

Ответ: $h(t) = 4\left[1 - e^{-0{,}6t}(\cos 1{,}908t + 0{,}314\sin 1{,}908t)\right]$, установившееся значение 4, перерегулирование 37,2 процента, первый максимум 5,49 на 1,65 с, время переходного процесса 5,1 с.

Формула и откуда она берётся

Переходная характеристика по определению - это реакция звена на единичный скачок при нулевых начальных условиях. В операторной форме всё просто: изображение скачка равно $1/s$, поэтому изображение выхода есть $h(s) = W(s)/s$, а сама кривая получается обратным преобразованием Лапласа от этого произведения.

Дальше работает разложение на простые дроби. Знаменатель $T^2 s^2 + 2\xi T s + 1$ приравниваем к нулю и находим корни:

$$s_{1,2} = \omega_0\left(-\xi \pm j\sqrt{1 - \xi^2}\right) = -0{,}6 \pm j1{,}908.$$

Вещественная часть корня отвечает за экспоненциальный множитель $e^{-0{,}6t}$, то есть за скорость затухания, а мнимая - за частоту косинуса и синуса. Отсюда и вся структура ответа: постоянная составляющая, равная $K$, плюс затухающее колебание, которое её догоняет. Тот же знаменатель приравнивают к нулю, когда составляют характеристическое уравнение замкнутой системы и проверяют устойчивость: корни там те же, просто смотрят на них с другой стороны.

Важное следствие: перерегулирование зависит только от $\xi$, а время переходного процесса - от произведения $\xi\omega_0$. Постоянная времени растягивает картинку по горизонтали, не меняя её формы, а коэффициент передачи растягивает по вертикали. Поэтому две системы с одинаковым $\xi$ дают подобные кривые, как бы ни различались их $K$ и $T$.

Апериодическое звено: та же задача без колебаний

Если знаменатель первой степени, задача решается ещё короче. Возьмём $W(s) = \dfrac{4}{0{,}5s + 1}$ с теми же $K = 4$ и $T = 0{,}5$ с. Здесь корень один и он вещественный, поэтому колебаний нет:

$$h(t) = K\left(1 - e^{-t/T}\right) = 4\left(1 - e^{-2t}\right).$$

Кривая монотонно подходит к уровню 4 снизу. За одну постоянную времени она набирает 63,2 процента установившегося значения, то есть 2,53; за две - 86,5 процента; за три - 95 процентов. Отсюда и знакомое правило «три постоянные времени»: точное время переходного процесса равно $T\ln 20 = 1{,}50$ с, и от $3T$ оно отличается на доли процента.

Перерегулирования у апериодического звена нет по определению, поэтому в ответе остаются только два числа: установившееся значение и время переходного процесса. Переключи тип звена в калькуляторе сверху, и трубка установления с отметкой времени перестроится под эту кривую.

Что меняет коэффициент затухания

Удобнее всего почувствовать роль $\xi$, оставив $K$ и $T$ прежними и меняя только его. Время переходного процесса в таблице посчитано честно по кривой для трубки $\pm 5\%$ при $\omega_0 = 2$ рад/с:

Видно главное: зависимость времени от затухания не монотонна. Пока $\xi$ мал, процесс тянется из-за долгих колебаний; когда $\xi$ переваливает за единицу, он тянется уже из-за медленного вещественного корня. Минимум приходится на область $\xi \approx 0{,}7$ - именно поэтому такую настройку считают компромиссной и к ней стремятся, когда подбирают коэффициенты регулятора.

Тот же вывод читается и с частотных характеристик: маленькому запасу устойчивости по фазе соответствует большое перерегулирование во времени. Если запас по фазе снят с логарифмической амплитудной характеристики, перерегулирование оценивают по нему, не считая кривую $h(t)$ вовсе.

Частые ошибки

• Считают, что кривая выходит на единицу. Установившееся значение равно $K$, а единица на выходе получится только при $K = 1$.
• Забывают привести знаменатель к стандартному виду со свободным членом 1. Если в задаче дано $W(s) = 8/(0{,}5s^2 + 0{,}6s + 2)$, сначала нужно поделить числитель и знаменатель на 2, иначе $K$, $T$ и $\xi$ выйдут неверными.
• Путают $\omega_0$ и $\omega_{\text{д}}$ и подставляют собственную частоту в аргумент синуса. При $\xi = 0{,}3$ разница невелика, но при $\xi = 0{,}8$ частоты отличаются уже в полтора раза.
• Берут перерегулирование как отношение максимума к нулю, а не к установившемуся уровню. Формула одна: $\sigma = (h_{\max} - h_\infty)/h_\infty \cdot 100\%$.
• Считают время переходного процесса по первому входу в трубку. Отсчитывать надо по последнему выходу из неё: кривая может вернуться в допуск и снова выйти.
• Применяют формулу колебательного звена при $\xi \ge 1$. Там $\sqrt{1 - \xi^2}$ уже не существует в вещественных числах, нужны другие выражения с двумя экспонентами.

FAQ

Чем переходная характеристика отличается от импульсной? Переходная - это реакция на единичный скачок, импульсная - на дельта-функцию. Связаны они дифференцированием: импульсная характеристика есть производная переходной по времени. На практике почти всегда снимают именно переходную, потому что подать ступеньку на реальный объект легко, а короткий мощный импульс - нет.

Можно ли построить кривую, не считая обратное преобразование Лапласа? Для типовых звеньев - да, формулы табличные, достаточно распознать тип по коэффициенту затухания. Для системы произвольного порядка берут численное моделирование или разложение на типовые звенья: любую дробно-рациональную передаточную функцию можно представить суммой откликов апериодических и колебательных звеньев.

Почему трубка именно $\pm 5\%$? Это самое распространённое соглашение в курсах ТАУ, но не единственное. В точных системах берут $\pm 2\%$ или даже $\pm 1\%$, и время переходного процесса при этом заметно растёт. Значение допуска всегда указывают рядом с ответом, иначе число не имеет смысла.

Как снять параметры звена по готовому графику? Установившееся значение читается по горизонтальной асимптоте, перерегулирование - по высоте первого максимума, период колебаний - по расстоянию между соседними максимумами. Из периода получают $\omega_{\text{д}}$, из перерегулирования - $\xi$, а затем $\omega_0 = \omega_{\text{д}}/\sqrt{1 - \xi^2}$ и $T = 1/\omega_0$.

Коротко

1. Приведи передаточную функцию к виду $K/(T^2 s^2 + 2\xi T s + 1)$ и выпиши $K$, $T$, $\xi$. У нас $K = 4$, $T = 0{,}5$ с, $\xi = 0{,}3$.
2. По $\xi$ определи тип процесса: $\xi < 1$ - колебательный, $\xi \ge 1$ и первый порядок - апериодический.
3. Найди установившееся значение $h(\infty) = W(0) = K = 4$ и частоту затухающих колебаний $\omega_{\text{д}} = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 1{,}908$ рад/с.
4. Подставь числа в табличную формулу $h(t)$ и отметь контрольные точки: $t_{\max} = \pi/\omega_{\text{д}} = 1{,}65$ с, $h_{\max} = 5{,}49$.
5. Посчитай показатели качества: перерегулирование 37,2 процента и время переходного процесса 5,1 с по трубке $\pm 5\%$.