Теорема Гурвица: критерий устойчивости полинома

Когда в задаче встречается «теорема Гурвица», чаще всего имеется в виду критерий устойчивости Рауса-Гурвица - алгебраический способ определить, лежат ли все корни характеристического полинома в левой полуплоскости, не вычисляя сами корни. Именно этот результат спрашивают на курсах теории автоматического управления, дифференциальных уравнений и численных методов. (Реже под «теоремой Гурвица» понимают теорему о нормированных алгебрах размерности 1, 2, 4, 8 - это совсем другой сюжет, и ниже речь не о нём.) Идея критерия проста и мощна: устойчивость линейной системы - это свойство знаков нескольких определителей, составленных из коэффициентов полинома.

Какую задачу решает теорема Гурвица

Поведение линейной системы с постоянными коэффициентами полностью задаётся её характеристическим полиномом

$P(\lambda) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \dots + a_{n-1}\lambda + a_n, \quad a_0 > 0.$

Система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все корни $P(\lambda)$ имеют отрицательную вещественную часть, то есть лежат строго в левой полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda < 0$. Прямой путь - найти корни - для $n \ge 5$ в общем виде невозможен (теорема Абеля-Руффини), а численно неудобен. Теорема Гурвица даёт ответ напрямую по коэффициентам $a_i$: нужно лишь составить специальную матрицу и проверить знаки её главных миноров. Это и есть критерий устойчивости полинома, с которым работают на практике.

Прежде чем строить матрицу Гурвица руками, полезно один раз увидеть алгоритм на конкретном полиноме. Соберите запрос ниже - и получите пошаговый разбор с матрицей, минорами и выводом об устойчивости.

Матрица Гурвица: как её построить

По коэффициентам $a_0, a_1, \dots, a_n$ строится квадратная матрица Гурвица $H$ размера $n \times n$. Правило заполнения такое: на главной диагонали стоят коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_n$; внутри каждого столбца индексы коэффициентов убывают при движении вверх и возрастают вниз; коэффициенты с индексом меньше 0 или больше $n$ заменяются нулями. Для полинома 4-й степени матрица выглядит так:

$H = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 0 & 0 \\ a_0 & a_2 & a_4 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & 0 \\ 0 & a_0 & a_2 & a_4 \end{pmatrix}.$

Первая строка собирается из коэффициентов с нечётными индексами ($a_1, a_3, \dots$), вторая - с чётными ($a_0, a_2, \dots$), далее строки сдвигаются на одну позицию вправо. Эта структура и есть ключ к критерию: вся информация о расположении корней характеристического полинома закодирована в определителях её угловых блоков.

Главные миноры и формулировка критерия

Из матрицы Гурвица выделяют последовательность главных диагональных миноров $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n$ - определителей верхних левых квадратных блоков размера $1, 2, \dots, n$:

$\Delta_1 = a_1, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{vmatrix}, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 \\ a_0 & a_2 & a_4 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{vmatrix}, \dots$

Критерий Рауса-Гурвица. Пусть $a_0 > 0$. Все корни полинома $P(\lambda)$ лежат в левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все главные миноры положительны:

$\Delta_1 > 0, \quad \Delta_2 > 0, \quad \dots, \quad \Delta_n > 0.$

Поскольку $\Delta_n = a_n \cdot \Delta_{n-1}$, последнее условие $\Delta_n > 0$ при выполненном $\Delta_{n-1} > 0$ сводится к простому $a_n > 0$. Так что фактически проверяют миноры до $\Delta_{n-1}$ и положительность свободного коэффициента $a_n$.

Необходимое условие: все коэффициенты одного знака

Прежде чем строить матрицу, стоит выполнить быструю проверку. Необходимое условие устойчивости: у устойчивого полинома все коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_n$ должны быть строго положительны (при $a_0 > 0$). Если хотя бы один коэффициент отрицателен или равен нулю, система заведомо неустойчива, и матрицу Гурвица можно не строить.

Это условие необходимое, но не достаточное: при $n \ge 3$ существуют полиномы с положительными коэффициентами, у которых есть корни в правой полуплоскости. Поэтому для $n = 1, 2$ положительность коэффициентов и есть критерий, а начиная с $n = 3$ нужно проверять миноры. Связь устойчивости с численным поведением систем подробнее разобрана в материале про число обусловленности матрицы.

Пример: полином третьей степени

Возьмём $P(\lambda) = \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6$, то есть $a_0 = 1, a_1 = 6, a_2 = 11, a_3 = 6$. Матрица Гурвица:

$H = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 0 \\ 1 & 11 & 0 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}.$

Считаем миноры: $\Delta_1 = 6 > 0$; $\Delta_2 = 6 \cdot 11 - 6 \cdot 1 = 60 > 0$; $\Delta_3 = a_3 \cdot \Delta_2 = 6 \cdot 60 = 360 > 0$. Все три положительны - система устойчива. Проверка: $P(\lambda) = (\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda+3)$, корни $-1, -2, -3$ действительно лежат в левой полуплоскости. Так теорема Гурвица подтвердила устойчивость без явного поиска корней.

Особые случаи и интерпретация

Если какой-то минор обращается в нуль ($\Delta_k = 0$), система находится на границе устойчивости - у полинома есть корни на мнимой оси (чисто мнимые или нулевой). Случай $\Delta_{n-1} = 0$ при $a_n > 0$ часто отвечает паре сопряжённых мнимых корней $\pm i\omega$, то есть незатухающим колебаниям. Анализ знаков миноров позволяет не только дать бинарный ответ «устойчиво / нет», но и определить число корней в правой полуплоскости: оно равно числу перемен знака в последовательности, связанной с минорами (это уже формулировка через таблицу Рауса).

Частые ошибки

• Забывают про знак $a_0$. Критерий формулируется при $a_0 > 0$. Если старший коэффициент отрицателен, полином сначала умножают на $-1$.
• Путают порядок коэффициентов в строках. Первая строка матрицы - нечётные индексы ($a_1, a_3, \dots$), вторая - чётные ($a_0, a_2, \dots$). Перестановка ломает все миноры.
• Принимают необходимое условие за достаточное. Положительность всех коэффициентов при $n \ge 3$ не гарантирует устойчивости - миноры всё равно надо считать.
• Не заменяют отсутствующие коэффициенты нулями. Если в полиноме нет какого-то члена, его коэффициент равен 0, и это нужно явно подставить в матрицу.
• Считают $\Delta_n$ заново. Достаточно проверить $\Delta_{n-1} > 0$ и $a_n > 0$, поскольку $\Delta_n = a_n \Delta_{n-1}$.

FAQ

Чем критерий Гурвица отличается от критерия Рауса? Это две формы одного результата. Раус предложил рекуррентную таблицу, Гурвиц - определители матрицы; они эквивалентны и дают одинаковый ответ. Поэтому критерий часто называют объединённо - Рауса-Гурвица.

Можно ли применять критерий к дискретным системам? Напрямую нет: для дискретных систем устойчивость означает корни внутри единичного круга, а не в левой полуплоскости. Сначала делают замену (билинейное преобразование $z \to \frac{1+w}{1-w}$), сводящую круг к полуплоскости, а затем применяют Гурвица.

Что делать, если в таблице Рауса появляется нулевой элемент? Это вырожденный случай: используют приём с малым параметром $\varepsilon$ или строят вспомогательный полином из предыдущей строки. Через матрицу Гурвица такой случай виден как обнуление минора.

Коротко

Теорема Гурвица (критерий Рауса-Гурвица) позволяет судить об устойчивости линейной системы по знакам главных миноров матрицы, составленной из коэффициентов характеристического полинома: при $a_0 > 0$ система устойчива тогда и только тогда, когда $\Delta_1, \dots, \Delta_n > 0$. Сначала проверяют необходимое условие - положительность всех коэффициентов, - затем строят матрицу Гурвица и считают миноры; нулевой минор означает границу устойчивости. Это избавляет от поиска корней полинома и работает для любой степени $n$.