Как найти центр и радиус окружности: пошаговое решение

Дано: общее уравнение $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$. Найти: центр, радиус и условие, при котором окружность становится мнимой.

Метод здесь ровно один: выделить полный квадрат по каждой переменной и свернуть уравнение к каноническому виду $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$. Отсюда сразу читается центр $C(3; -4)$ и радиус $R = 6$, а мнимой эта окружность становится, когда свободный член превысит $25$. Калькулятор сверху пересчитывает центр, радиус и канонический вид под любые коэффициенты: подвинь ползунок свободного члена вправо, и окружность на глазах стянется в точку, а потом исчезнет совсем.

Решение по шагам

Дано. Уравнение второго порядка $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$. Найти: координаты центра $C(a; b)$ и радиус $R$.

Шаг 1. Убеждаемся, что перед нами окружность. Коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ одинаковы (оба равны единице), слагаемого с произведением $xy$ нет. Это два обязательных признака: если коэффициенты при квадратах разные, получится эллипс или гипербола, а если есть член с $xy$, кривая ещё и повёрнута относительно осей. У нас оба условия выполнены, значит уравнение задаёт окружность либо её вырожденный случай.

Шаг 2. Группируем слагаемые по переменным и переносим число вправо. Свободный член в дальнейших преобразованиях только мешает, поэтому сразу отправляем его в правую часть:

$$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11.$$

Шаг 3. Дополняем каждую скобку до полного квадрата. Берём половину коэффициента при первой степени и возводим её в квадрат: для $x$ это $(-6/2)^2 = 9$, для $y$ это $(8/2)^2 = 16$. Добавленное тут же вычитаем, чтобы уравнение не изменилось:

$$\begin{aligned} x^2 - 6x &= x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 - 9 = (x - 3)^2 - 9, \\ y^2 + 8y &= y^2 + 2 \cdot 4 \cdot y + 16 - 16 = (y + 4)^2 - 16. \end{aligned}$$

Шаг 4. Собираем канонический вид. Подставляем полученные выражения и переносим лишние числа вправо:

$$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 11 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36.$$

Шаг 5. Читаем ответ прямо из канонической записи. В форме $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ под $a$ и $b$ стоят координаты центра, а справа - квадрат радиуса. У нас $x - 3$ даёт $a = 3$, а $y + 4$ - это $y - (-4)$, поэтому $b = -4$. Радиус равен $R = \sqrt{36} = 6$.

Шаг 6. Проверяем ответ подстановкой. Точка $(3; 2)$ по канонической записи должна лежать на окружности: она отстоит от центра ровно на $6$ по вертикали. Подставим её в исходное уравнение: $9 + 4 - 18 + 16 - 11 = 0$. Тождество выполнено, значит центр и радиус найдены верно.

Шаг 7. Когда окружность становится мнимой. Оставим коэффициенты при $x$ и $y$ прежними, а свободный член обозначим $F$. Тогда после тех же преобразований справа окажется $R^2 = 9 + 16 - F = 25 - F$. Правая часть - это сумма двух квадратов, она не может быть отрицательной. Поэтому при $F < 25$ получается настоящая окружность, при $F = 25$ радиус обращается в ноль и остаётся одна точка $(3; -4)$, а при $F > 25$ действительных решений нет вовсе.

Ответ. Центр $C(3; -4)$, радиус $R = 6$. Уравнение задаёт мнимую окружность при $F > 25$, а при $F = 25$ вырождается в точку.

Формула центра и радиуса: откуда она берётся

Общее уравнение окружности принято записывать так:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Проделаем с ним ровно те же шаги, что и с числами, только в буквах. Половина коэффициента при $x$ равна $D/2$, половина коэффициента при $y$ равна $E/2$, добавляем и вычитаем их квадраты:

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F.$$

Сравнивая с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, получаем готовые формулы:

$$a = -\frac{D}{2}, \qquad b = -\frac{E}{2}, \qquad R^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F.$$

Проверим их на нашей задаче: $D = -6$, $E = 8$, $F = -11$, поэтому $a = 3$, $b = -4$ и $R^2 = (36 + 64)/4 + 11 = 36$. Совпало с пошаговым решением, как и должно быть: формула - это то же выделение полного квадрата, только выполненное заранее.

Пользоваться формулой быстрее, но у неё есть цена. Знаки в ней легко перепутать, и если на контрольной требуют «привести к каноническому виду», сама каноническая запись всё равно нужна. Разумный компромисс: решать выделением квадрата, а формулу использовать как быструю проверку ответа. Механика дополнения до квадрата подробно разобрана в статье про выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене - там же объясняется, почему половина коэффициента берётся именно в квадрате.

Три случая: окружность, точка и пустое множество

Знак правой части после свёртки определяет, что именно задаёт уравнение, и в задачах на исследование спрашивают чаще всего именно это. Величина $R^2 = (D^2 + E^2)/4 - F$ иногда называется дискриминантом окружности, и разбор идёт по её знаку.

Термин «мнимая окружность» звучит загадочно, но смысл у него простой. Формально центр и «радиус» у такого уравнения есть, просто радиус получается чисто мнимым числом: например, при $R^2 = -5$ выходит $R = i\sqrt{5}$. На действительной плоскости множество решений пусто, поэтому нарисовать эту окружность нельзя - калькулятор сверху в таком случае показывает только центр и предупреждение.

Ошибка, которую в этом месте делают чаще всего, - заявить «радиус равен корню из минус пяти, значит ответ такой». Правильный ответ на вопрос «что задаёт уравнение» звучит иначе: множество точек пусто. Если же спрашивают, при каких значениях параметра уравнение задаёт окружность, нужно решить строгое неравенство $R^2 > 0$ и не забыть исключить граничное значение, при котором остаётся одна точка.

Если перед квадратами стоит общий коэффициент

В задачниках нередко попадается уравнение вида $3x^2 + 3y^2 - 12x + 18y - 9 = 0$. Формулы центра и радиуса к нему напрямую неприменимы: они выведены для случая, когда коэффициент при квадратах равен единице. Поэтому первым делом делим всё уравнение на этот коэффициент:

$$3x^2 + 3y^2 - 12x + 18y - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0.$$

Дальше всё как обычно: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 + 3 = 16$, то есть центр $(2; -3)$ и радиус $R = 4$. Проверить это можно ползунком «Коэффициент при квадратах» в калькуляторе: сама окружность от умножения уравнения на число не меняется, меняется только запись.

Отдельно стоит вопрос, зачем вообще нужны центр и радиус, если уравнение уже дано. Ответ: почти все дальнейшие задачи про окружность решаются через эту пару чисел. Взаимное положение прямой и окружности определяют, сравнивая радиус с расстоянием от центра до прямой: расстояние больше радиуса - общих точек нет, равно - касание, меньше - две точки пересечения. Взаимное положение двух окружностей определяют так же, сравнивая расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов, и подробно этот разбор дан в статье про касающиеся окружности. Принадлежность точки окружности проверяется одной подстановкой в каноническую форму.

Частые ошибки

• Забывают вычесть добавленное число. Дописав $9$ внутрь скобки, обязательно вычитают $9$ снаружи. Если этого не сделать, уравнение изменится, и радиус получится другим.
• Теряют знак координаты центра. В записи $(y + 4)^2$ стоит плюс, значит $b = -4$, а не $4$. Центр всегда берётся с противоположным знаком к тому, что стоит в скобке.
• Путают $R$ и $R^2$. Справа в каноническом виде стоит именно квадрат радиуса. Ответ $R = 36$ вместо $R = 6$ - самая частая потеря балла в этой задаче.
• Применяют формулу к уравнению с коэффициентом при квадратах. Для $3x^2 + 3y^2 + \ldots = 0$ сначала деление на $3$, и только потом $a = -D/2$, $b = -E/2$.
• Не проверяют знак правой части. Если она отрицательна, ответ не «радиус мнимый», а «действительных точек нет». Нулевая правая часть даёт точку, а не окружность нулевого радиуса как геометрическую фигуру.
• Берут половину коэффициента, но забывают её возвести в квадрат. К скобке добавляется $(D/2)^2$, а не $D/2$; на этом шаге теряется больше всего арифметики.

FAQ

Как быстро найти центр окружности, не выделяя квадраты? По формулам $a = -D/2$ и $b = -E/2$, где $D$ и $E$ - коэффициенты при $x$ и $y$ в уравнении вида $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Для нашего примера это $a = 6/2 = 3$ и $b = -8/2 = -4$. Радиус считается по формуле $R^2 = (D^2 + E^2)/4 - F$.

Что означает отрицательное значение под корнем при вычислении радиуса? Что уравнению не удовлетворяет ни одна точка плоскости. Сумма двух квадратов неотрицательна, поэтому равенство её отрицательному числу невозможно. Такое уравнение называют мнимой окружностью, и правильный ответ на вопрос о множестве решений - пустое множество.

Как понять, что уравнение задаёт именно окружность, а не эллипс? По двум признакам: коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ должны быть равны между собой и отличны от нуля, а слагаемого с $xy$ быть не должно. Если коэффициенты при квадратах различаются, это эллипс; если они разных знаков - гипербола.

Можно ли найти центр и радиус, если окружность задана тремя точками? Да. Подставьте координаты каждой точки в общее уравнение $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ и решите полученную линейную систему из трёх уравнений относительно $D$, $E$ и $F$, а затем выделите полный квадрат. Для точек $(0; 0)$, $(6; 0)$ и $(0; 8)$ получится центр $(3; 4)$ и радиус $5$.

Коротко

1. Проверь, что коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны, а члена с $xy$ нет; при общем коэффициенте раздели на него всё уравнение.
2. Сгруппируй слагаемые с $x$ и с $y$, свободный член перенеси вправо.
3. Дополни каждую группу до полного квадрата: добавь квадрат половины коэффициента при первой степени и тут же вычти его.
4. Приведи к виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ и выпиши центр $(a; b)$ и радиус $R = \sqrt{R^2}$; для примера $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ это центр $(3; -4)$ и радиус $6$.
5. Проверь знак правой части: положительна - окружность, ноль - единственная точка, отрицательна - мнимая окружность без действительных точек.