Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ встречается везде: в формулах площади, уравнениях движения, задачах на максимум и минимум. Главный приём работы с ним - выделение полного квадрата. Он превращает трёхчлен в форму $a(x - x_0)^2 + k$, из которой сразу видны вершина параболы и её симметрия. Задай коэффициенты в калькуляторе ниже - результат появится мгновенно, а кнопка отправит полный разбор в чат.

Что такое выделение полного квадрата

Выделить полный квадрат - значит представить $ax^2 + bx + c$ через выражение $(x + p)^2$ или $a(x + p)^2$. Идея основана на тождестве квадрата суммы:

$$(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2.$$

Если в трёхчлене $x^2 + bx + c$ подобрать $p = b/2$, то первые два слагаемых $x^2 + bx$ превратятся в $(x + b/2)^2 - (b/2)^2$. Остаток $(b/2)^2$ «компенсирует» прибавку - именно поэтому технику называют «прибавить и вычесть».

Рассчитать для своей задачи

Пошаговый алгоритм для любого a

Рассмотрим общий трёхчлен $ax^2 + bx + c$ с $a \neq 0$.

Шаг 1. Вынесем $a$ за скобку из первых двух слагаемых:

$$ax^2 + bx + c = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c.$$

Шаг 2. Прибавим и вычтем $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ внутри скобок:

$$= a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c.$$

Шаг 3. Первые три члена - это $(x + b/(2a))^2$:

$$= a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c.$$

Шаг 4. Объединим свободные члены:

$$ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right).$$

Обозначим $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ и $k = c - \dfrac{b^2}{4a}$. Тогда каноническая форма:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 + k.$$

Это и есть результат выделения полного квадрата. Точка $(x_0,\, k)$ - вершина параболы.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл: вершина и ось симметрии

Запись $a(x - x_0)^2 + k$ читается напрямую: это парабола $y = ax^2$, сдвинутая на $x_0$ по горизонтали и на $k$ по вертикали. Вершина $(x_0, k)$ - точка перегиба, в ней парабола меняет направление.

При $a > 0$ ветви направлены вверх, $k$ - наименьшее значение трёхчлена. При $a < 0$ ветви направлены вниз, $k$ - наибольшее. Ось симметрии $x = x_0$ делит параболу на два зеркальных крыла, поэтому корни (если они есть) расположены симметрично: $x_{1,2} = x_0 \pm \sqrt{-k/a}$.

Связь с дискриминантом

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ можно вывести прямо из канонической формы. Уравнение $a(x - x_0)^2 + k = 0$ даёт $(x - x_0)^2 = -k/a$. Подставим $k = c - b^2/(4a)$:

$$-\frac{k}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{D}{4a^2}.$$

Отсюда корни:

$$x_{1,2} = x_0 \pm \frac{\sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$$

что совпадает со стандартной формулой. Таким образом, выделение полного квадрата - это не просто алгебраический приём, а вывод формулы корней «с нуля» без заучивания.

Если $D > 0$, два различных корня; если $D = 0$, один корень $x_0$ (парабола касается оси); если $D < 0$, вещественных корней нет (вершина выше оси при $a > 0$).

Пример: трёхчлен $2x^2 - 8x + 5$

Запишем шаги:

$$2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5.$$

Внутри скобок прибавим и вычтем $(4/2)^2 = 4$:

$$= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = 2(x-2)^2 - 3.$$

Вершина параболы: $(2,\; -3)$. Ось симметрии: $x = 2$. Наименьшее значение: $-3$ при $x = 2$.

Дискриминант: $D = 64 - 40 = 24 > 0$, корни $x = 2 \pm \sqrt{6}$.

Проверим по формуле $k = c - b^2/(4a)$: $5 - 64/8 = 5 - 8 = -3$. Совпало.

Разберём ещё один случай с отрицательным $a$: трёхчлен $-3x^2 + 12x - 7$.

$$-3x^2 + 12x - 7 = -3(x^2 - 4x) - 7.$$

Прибавим и вычтем $(4/2)^2 = 4$ внутри скобки:

$$= -3(x^2 - 4x + 4 - 4) - 7 = -3(x-2)^2 + 12 - 7 = -3(x-2)^2 + 5.$$

Вершина: $(2,\; 5)$ - наибольшее значение трёхчлена (ветви вниз). Дискриминант $D = 144 - 84 = 60 > 0$, корни $x = 2 \pm \sqrt{60}/6 = 2 \pm \sqrt{5}/\sqrt{3}$.

Метод выделения полного квадрата в задачах с параметром

Канонический вид делает задачи с параметром прозрачными. Пример: при каком значении параметра $m$ трёхчлен $x^2 - mx + m$ принимает отрицательные значения при некоторых $x$?

Выделим полный квадрат: $x_0 = m/2$, $k = m - m^2/4$. Трёхчлен принимает отрицательные значения, если $k < 0$ (так как $a = 1 > 0$, вершина ниже оси $x$):

$$m - \frac{m^2}{4} < 0 \implies m\!\left(1 - \frac{m}{4}\right) < 0.$$

Это произведение отрицательно при $m < 0$ или $m > 4$. Таким образом, при $m \in (-\infty,\, 0) \cup (4,\, +\infty)$ трёхчлен принимает отрицательные значения.

Без канонического вида такой ответ потребовал бы отдельного анализа знака дискриминанта; с ним достаточно знать, что минимум параболы равен $k$.

Нахождение наименьшего и наибольшего значения на промежутке

Если трёхчлен рассматривается не на всей числовой оси, а на отрезке $[p, q]$, задача усложняется. Ось симметрии $x_0 = -b/(2a)$ может оказаться внутри отрезка или за его пределами.

Общий план:

1. Выделить полный квадрат, найти вершину $(x_0, k)$.
2. Проверить, принадлежит ли $x_0$ отрезку $[p, q]$.
3. Если $x_0 \in [p, q]$: при $a > 0$ минимум $= k$ достигается в $x_0$, максимум ищем среди $f(p)$ и $f(q)$; при $a < 0$ наоборот.
4. Если $x_0 \notin [p, q]$: функция монотонна на отрезке, экстремум в одном из концов.

Пример: найти наибольшее значение $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ на $[0, 3]$.

Выделим: $f(x) = -(x-2)^2 + 5$. Вершина $(2, 5)$, $a < 0$, ветви вниз. $x_0 = 2 \in [0, 3]$, поэтому максимум $= 5$ при $x = 2$.

Проверим концы: $f(0) = 1$, $f(3) = -9 + 12 + 1 = 4$. Действительно, $5 > 4 > 1$.

Если бы отрезок был $[3, 6]$, вершина оказалась бы слева от него. Функция убывает от $x = 2$ направо, значит на $[3, 6]$ максимум в левом конце: $f(3) = 4$, минимум в правом: $f(6) = -36 + 24 + 1 = -11$.

Такие задачи часто встречаются в задании 18 ЕГЭ по математике профильного уровня, где нужно исследовать квадратичную функцию с параметром на полуинтервале.

Частые ошибки

• Забыть умножить $a$ обратно. После вынесения $a$ за скобку прибавляемое $p^2$ умножается на $a$: $a\cdot p^2$ нужно вычесть снаружи скобки, а не просто $p^2$.
• Знак перед скобкой. При $a < 0$ вынесение меняет знаки всех членов внутри. Пример: $-x^2 + 6x = -(x^2 - 6x)$, затем $-(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$.
• Перепутать $x_0$ и $-x_0$. Каноническая форма $a(x - x_0)^2 + k$ означает, что ось симметрии $x = x_0 = -b/(2a)$. Если написать $(x + b/(2a))^2$, в скобке стоит $-x_0$.
• Не проверить результат. Раскройте получившееся $a(x - x_0)^2 + k$ и убедитесь, что снова получается исходный трёхчлен.
• Путать D и k. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = -4ak$. При $a = 1$ это $D = -4k$, при других $a$ - нет.

FAQ

Зачем выделять полный квадрат, если есть формула корней?

Формула $x = (-b \pm \sqrt{D})/(2a)$ даёт корни, но не даёт вершину и не объясняет форму параболы. Выделение полного квадрата нужно, чтобы найти минимум или максимум функции без производной, описать сдвиг параболы и построить точный график.

Когда применяется метод в задачах ЕГЭ?

Задачи на нахождение наименьшего (наибольшего) значения квадратного трёхчлена на промежутке, исследование параболы, задачи с параметром - во всех этих случаях каноническая форма позволяет сразу увидеть ответ без таблицы значений.

Работает ли метод для $a = 0$?

Нет: при $a = 0$ трёхчлен становится линейным. Выделение полного квадрата требует $a \neq 0$, потому что вынесение $a$ за скобку является первым шагом.

Коротко

Выделить полный квадрат в $ax^2 + bx + c$ - значит записать его как $a(x - x_0)^2 + k$, где $x_0 = -b/(2a)$ и $k = c - b^2/(4a)$. Это раскрывает геометрический смысл трёхчлена: вершина параболы $(x_0, k)$, ось симметрии $x = x_0$, направление ветвей определяет знак $a$. Из той же записи выводится формула корней через дискриминант $D = -4ak$. Метод работает для любого ненулевого $a$ и применяется во всех задачах, где нужны экстремум функции или сдвиг параболы.