Степень с отрицательным показателем: примеры и правила

Отрицательный показатель степени пугает сильнее, чем заслуживает: на деле это всего одна короткая формула, которую достаточно один раз понять, а не зубрить. Когда в показателе появляется минус, число не становится отрицательным и не «исчезает» - оно переворачивается в дробь. Ниже разберём, откуда берётся это правило, как считать степень с отрицательным показателем на примерах с целыми числами и обыкновенными дробями, и где чаще всего ошибаются. Калькулятор ниже соберёт формулировку для разбора любой вашей степени в чате.

Что значит отрицательный показатель степени

Базовое определение короткое: для любого числа $a \neq 0$ и натурального $n$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$

То есть степень с отрицательным показателем - это единица, делённая на ту же степень с положительным показателем. Минус в показателе означает не вычитание и не знак «минус» у результата, а переход в знаменатель. Например, $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$, и результат остаётся положительным.

Здесь важно сразу зафиксировать ограничение: основание $a$ не может быть нулём. Запись $0^{-2}$ означала бы $\dfrac{1}{0^2} = \dfrac{1}{0}$, а делить на ноль нельзя - поэтому такое выражение не определено.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся правило: продолжение закономерности

Формула $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ не выдумана из воздуха - она единственная, при которой свойства степеней продолжают работать. Посмотрим на ряд степеней двойки, спускаясь вниз по показателю. Каждый шаг влево уменьшает показатель на единицу, а значение делится на 2:

$$2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = 1, \quad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}.$$

Закономерность «делим на основание при каждом шаге вниз» естественно продолжается за ноль - и приводит ровно к дробям $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$. Это и есть смысл отрицательного показателя: он продолжает деление туда, где показатель ушёл ниже нуля.

Тот же вывод даёт правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Возьмём $a^2 : a^5$. По правилу это $a^{2-5} = a^{-3}$. А по определению деления - $\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{1}{a^3}$. Значит, $a^{-3}$ обязано равняться $\dfrac{1}{a^3}$, иначе формула вычитания показателей перестала бы работать. По той же логике расширяют степень и на дробный (рациональный) показатель, где $a^{1/2} = \sqrt{a}$.

Примеры с целыми числами

Разберём пошагово несколько типовых примеров - именно их чаще всего спрашивают по запросу «степень с отрицательным показателем примеры».

$$\begin{aligned} 3^{-2} &= \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}, \\ 5^{-1} &= \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}, \\ 10^{-3} &= \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001, \\ (-2)^{-3} &= \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}. \end{aligned}$$

Последний пример показывает важную деталь: знак результата определяет основание, а не показатель. У $(-2)^{-3}$ основание отрицательное и возводится в нечётную степень, поэтому знаменатель отрицательный - и дробь получается со знаком минус. А вот $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}$ уже положительна, потому что чётная степень убирает минус.

Примеры с обыкновенными дробями

Когда основание само дробь, отрицательный показатель просто переворачивает дробь и меняет знак показателя на положительный:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}.$$

Это прямое следствие основной формулы: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \dfrac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}} = \dfrac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \dfrac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$. На практике дробь в скобках переворачивают сразу:

$$\begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} &= \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25, \\ \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} &= \frac{4}{1} = 4, \\ \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} &= \left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{8}{125}. \end{aligned}$$

Частный случай - основание вида $\frac{1}{a}$: тогда $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Например, $\left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = 10^2 = 100$.

Рассчитать для своей задачи

Свойства степеней работают и с минусом

Главное удобство в том, что все привычные свойства степеней справедливы и для отрицательных показателей - отдельных правил учить не нужно:

$$\begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{m+n}, \\ a^m : a^n &= a^{m-n}, \\ (a^m)^n &= a^{mn}, \\ (ab)^n &= a^n b^n. \end{aligned}$$

Например, $a^{-3} \cdot a^{5} = a^{-3+5} = a^{2}$ - отрицательный показатель просто складывается с положительным. Или $\dfrac{x^{2}}{x^{-3}} = x^{2-(-3)} = x^{5}$: при делении вычитаем показатели, а вычитание отрицательного даёт прибавление. Эти же свойства работают и при преобразовании степеней с рациональным показателем, и отрицательный показатель ничего в них не ломает.

Отрицательные показатели особенно полезны в стандартном виде числа: $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$. Здесь $10^{-4}$ компактно записывает «разделить на десять тысяч», и физические/химические величины (массы, концентрации) почти всегда так и записываются.

Как считать без калькулятора: порядок шагов

Чтобы не путаться, удобно держать в голове один и тот же алгоритм для любой степени с отрицательным показателем. Он работает и для целого основания, и для дроби, и для выражения с буквами.

1. Переверни степень в дробь по формуле $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ - минус из показателя исчезает, основание уходит в знаменатель (а если основание уже дробь, переверни саму дробь и сделай показатель положительным).
2. Посчитай обычную степень с положительным показателем в знаменателе: $a^n$ - здесь уже нет ничего нового по сравнению с натуральной степенью.
3. Определи знак по основанию: минус в показателе на знак не влияет, его задаёт только основание и чётность показателя.
4. Упрости или переведи в десятичную дробь, если это требуется по условию задачи.

Возьмём $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$. Шаг 1: переворачиваем дробь - $\left(\frac{2}{1}\right)^{4} = 2^4$. Шаг 2: $2^4 = 16$. Шаг 3: знак плюс. Итог - $16$. А для $4^{-2}$: шаг 1 даёт $\dfrac{1}{4^2}$, шаг 2 - $\dfrac{1}{16}$, что в десятичном виде равно $0{,}0625$. Один и тот же порядок действий снимает большую часть путаницы с минусом в показателе.

Частые ошибки

• Делают результат отрицательным. $2^{-3}$ - это $\frac{1}{8}$, а не $-8$ и не $-\frac{1}{8}$. Минус в показателе переносит число в знаменатель, но сам по себе знак результата не меняет.
• Путают со знаком основания. $(-3)^{-2}$ и $-3^{-2}$ - разные выражения. В первом основание $-3$: $\frac{1}{9}$. Во втором минус снаружи: $-\frac{1}{9}$.
• Забывают перевернуть дробь целиком. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ - это не $\frac{1}{(2/3)^2}$ устно «как-нибудь», а аккуратно $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$; переворачивается вся дробь, показатель становится положительным.
• Возводят в степень ноль. $0^{-n}$ не определено: получилось бы деление на ноль. Основание обязано быть ненулевым.
• Теряют скобки в показателе при вычитании. В $x^{2} : x^{-3}$ показатель равен $2-(-3)=5$, а не $2-3=-1$.

FAQ

Может ли результат степени с отрицательным показателем быть отрицательным? Да, но только если отрицательно само основание и степень нечётная. Например, $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$. При положительном основании результат всегда положителен, как и при чётной степени отрицательного основания.

Чему равно число в отрицательной степени, если основание - дробь? Дробь переворачивается, а показатель становится положительным: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$. Так $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{25}{9}$.

Почему нельзя возвести ноль в отрицательную степень? Потому что $0^{-n} = \frac{1}{0^n} = \frac{1}{0}$, а деление на ноль не определено. Поэтому в формуле $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ всегда требуют $a \neq 0$.

Коротко

Отрицательный показатель - это указание перевернуть степень в дробь: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ при $a \neq 0$. Знак результата задаёт основание, а не минус в показателе; дробь в основании при отрицательном показателе просто переворачивается. Все свойства степеней (сложение, вычитание и умножение показателей) работают с минусом без оговорок, а $10^{-n}$ удобно записывает малые величины в стандартном виде. Если запутались в конкретном примере - соберите его в калькуляторе выше и разберите по шагам.