Касающиеся окружности: внешнее и внутреннее касание

Две окружности называются касающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Именно эта единственная точка определяет весь характер взаимного расположения: при внешнем касании окружности лежат снаружи друг от друга, при внутреннем - меньшая окружность целиком входит в большую. Разобраться в этих двух случаях и уметь по расстоянию между центрами однозначно восстановить геометрию - ключевой навык для задач ЕГЭ и ОГЭ по геометрии. В калькуляторе ниже можно задать оба радиуса, переключить вид касания и сразу увидеть чертёж с расстоянием $d$ между центрами.

Условие касания двух окружностей

Пусть даны две окружности с радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r > 0$) и центрами $O_1$, $O_2$. Расстояние между центрами обозначим $d = |O_1O_2|$. Возможны пять качественно разных взаимных положений:

Из таблицы видно: сама формула определяется однозначно направлением - прибавляем $r$ при внешнем контакте и вычитаем при внутреннем. Это правило легко проверяется рисунком: при внешнем касании оба радиуса «смотрят» в сторону точки касания с разных сторон и складываются; при внутреннем - оба «смотрят» в одну сторону и разность даёт расстояние.

Рассчитать для своей задачи

Внешнее касание: формула и свойства

При внешнем касании выполняется условие:

$d = R + r.$

Это означает, что точка касания $P$ лежит на отрезке $O_1O_2$: $|O_1P| = R$ и $|PO_2| = r$. Обе окружности находятся по разные стороны от касательной плоскости в точке $P$.

Число общих касательных при внешнем касании равно трём: две внешние общие касательные (они не пересекают отрезок $O_1O_2$ между окружностями) и одна внутренняя общая касательная, проходящая через точку касания $P$.

Угловое соотношение при внешнем касании: прямая $O_1O_2$ является общей нормалью к обеим окружностям в точке $P$, поэтому любая касательная в точке $P$ перпендикулярна этой прямой.

Внутреннее касание: формула и свойства

При внутреннем касании выполняется условие:

$d = R - r.$

Меньшая окружность целиком лежит внутри большей, касаясь её в одной точке $P$. Точка $P$ лежит на продолжении отрезка $O_1O_2$ за центром $O_2$ (если считать от $O_1$): $|O_1P| = R$, и $P$ совпадает с точкой на большой окружности, ближайшей к малой по прямой через центры.

Число общих касательных при внутреннем касании равно одной: только общая внутренняя касательная в точке $P$. Внешних общих касательных нет, так как одна окружность лежит внутри другой.

Рассчитать для своей задачи

Точка касания и её координаты

Знать расстояние $d$ полезно, но в задачах нередко требуется найти координаты точки касания $P$. Для этого используют тот факт, что $P$ всегда лежит на прямой $O_1O_2$, делящей отрезок в отношении $R : r$ (считая от $O_1$).

Пусть $O_1 = (x_1, y_1)$ и $O_2 = (x_2, y_2)$. Тогда:

• Внешнее касание: точка $P$ делит $O_1O_2$ в отношении $R : r$ от $O_1$:

$P = \left(x_1 + R \cdot \frac{x_2 - x_1}{d},\ y_1 + R \cdot \frac{y_2 - y_1}{d}\right).$

• Внутреннее касание: точка $P$ лежит вне отрезка $O_1O_2$ (за $O_2$), но всегда на расстоянии $R$ от $O_1$:

$P = \left(x_1 + R \cdot \frac{x_2 - x_1}{d},\ y_1 + R \cdot \frac{y_2 - y_1}{d}\right).$

Формула записи одинакова - разница в значении $d$: при внешнем касании $d = R + r$, при внутреннем $d = R - r$. Подстановка автоматически даёт нужную точку.

Три попарно касающихся окружности

Популярный класс задач - три окружности с радиусами $r_1$, $r_2$, $r_3$, попарно касающихся внешним образом. В этом случае треугольник $O_1O_2O_3$, построенный на центрах, имеет стороны:

$|O_1O_2| = r_1 + r_2, \quad |O_2O_3| = r_2 + r_3, \quad |O_1O_3| = r_1 + r_3.$

Периметр этого треугольника равен $2(r_1 + r_2 + r_3)$. Зная периметр и одно уравнение, можно найти все три радиуса - стандартная система линейных уравнений с тремя неизвестными.

Рассчитать для своей задачи

Если некоторые из касаний внутренние, расстояния между соответствующими центрами берутся как $|R - r|$. Смешанные случаи реже встречаются на ЕГЭ, но встречаются в олимпиадных задачах.

Связь с общими касательными

Число общих касательных к двум окружностям удобно запомнить по числу 0-1-2-3-4 в зависимости от взаимного расположения:

• $d < R - r$ (одна внутри другой, без касания): 0 касательных.
• $d = R - r$ (внутреннее касание): 1 касательная.
• $R - r < d < R + r$ (пересечение): 2 внешних касательных.
• $d = R + r$ (внешнее касание): 3 касательных (2 внешних + 1 в точке касания).
• $d > R + r$ (внешнее расположение): 4 касательных (2 внешних + 2 внутренних).

Это правило часто проверяется в тестовой части ЕГЭ. Ошибочно говорить «3 касательных, поэтому окружности пересекаются» - пересечение даёт ровно 2. Три касательных - только при внешнем касании.

Частые ошибки

• Перепутать знак в формуле. При внешнем касании $d = R + r$, при внутреннем $d = R - r$, а не $r - R$. Если $r > R$, то $R$ и $r$ надо поменять местами и взять большую за $R$.
• Подставить диаметры вместо радиусов. Условие дано через диаметры $D_1$ и $D_2$: сначала $R = D_1/2$, $r = D_2/2$, потом применять формулу.
• Считать, что точка касания - середина O1O2. Это только при $R = r$ (внешнее касание равных окружностей). В общем случае $P$ делит $O_1O_2$ в отношении $R : r$.
• Игнорировать условие $r < R$ при внутреннем касании. Если $r \ge R$, внутреннее касание невозможно - надо менять радиусы ролями.
• Неверно считать число касательных. Пересечение двух окружностей дают 2 касательных, а не 3 и не 0.

FAQ

Как найти расстояние между центрами касающихся окружностей?

Если известны оба радиуса $R$ и $r$, достаточно одной формулы: для внешнего касания $d = R + r$, для внутреннего $d = R - r$. Направление касания определяется условием задачи или рисунком: внешнее - окружности снаружи, внутреннее - меньшая внутри большей.

Сколько общих касательных у двух касающихся окружностей?

При внешнем касании - три (две внешние и одна общая в точке касания). При внутреннем касании - одна (только в точке касания). Если окружности пересекаются (не касаются), общих касательных две.

Как решить задачу про три попарно касающихся окружности?

Составляем систему: расстояния между центрами равны суммам соответствующих пар радиусов. Получаем три уравнения с тремя неизвестными, решаем методом сложения. Например, при $r_1 + r_2 = a$, $r_2 + r_3 = b$, $r_1 + r_3 = c$ решение: $r_1 = (a - b + c)/2$, $r_2 = (a + b - c)/2$, $r_3 = (-a + b + c)/2$.

Коротко

Касание двух окружностей - это единственная общая точка. Внешнее касание: $d = R + r$, три общих касательных, окружности вне друг друга. Внутреннее касание: $d = R - r$, одна общая касательная, меньшая лежит внутри большей. Точка касания $P$ всегда лежит на прямой $O_1O_2$, на расстоянии $R$ от $O_1$. При трёх попарно касающихся внешних окружностях стороны треугольника центров равны суммам пар радиусов, что даёт удобную систему уравнений.