Теорема Кронекера-Капелли: ранги и число решений

Прежде чем решать систему линейных уравнений, полезно выяснить, есть ли у неё решения вообще и сколько их. Теорема Кронекера-Капелли отвечает на этот вопрос одним сравнением: посчитать ранг основной матрицы, ранг расширенной и посмотреть, совпали они или нет. Критерий работает для любых систем, квадратных и прямоугольных, с параметрами и без, и не требует ни определителей, ни явного решения. Разберём формулировку, три возможных исхода, подсчёт свободных переменных и типичную систему с параметром. Калькулятор ниже прогоняет всю эту логику на живой системе: двигайте параметры и смотрите, как меняются ранги и вместе с ними ответ.

Что утверждает теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, записанная в матричном виде $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Здесь $A$ - основная матрица размера $m \times n$, составленная из коэффициентов, а $\mathbf{b}$ - столбец свободных членов. Приписав этот столбец справа, получаем расширенную матрицу системы $(A \mid \mathbf{b})$ размера $m \times (n+1)$.

Теорема Кронекера-Капелли. Система $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ совместна (то есть имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной:

$r(A) = r(A \mid \mathbf{b}).$

Заметьте, что вариантов на самом деле всего два. Расширенная матрица получена из основной приписыванием одного столбца, поэтому её ранг не может быть меньше: $r(A \mid \mathbf{b}) \geqslant r(A)$. Вырасти больше чем на единицу он тоже не может, ведь добавился всего один столбец. Значит, либо ранги равны и система совместна, либо $r(A \mid \mathbf{b}) = r(A) + 1$ и решений нет. Третьего не дано, и именно поэтому критерий такой удобный: достаточно привести расширенную матрицу к ступенчатому виду и сравнить два числа.

Теорема носит имена Леопольда Кронекера и Альфредо Капелли; в англоязычной литературе тот же результат называют теоремой Руше-Капелли или Руше-Фробениуса. Формулировки эквивалентны, разница только в традиции.

Почему равенство рангов означает совместность

Самое короткое объяснение даёт запись системы по столбцам. Обозначим столбцы матрицы $A$ через $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n$. Тогда произведение $A\mathbf{x}$ есть не что иное, как линейная комбинация столбцов с коэффициентами-неизвестными:

$x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \ldots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}.$

Решить систему означает представить столбец $\mathbf{b}$ в виде линейной комбинации столбцов матрицы $A$. Такое представление существует ровно тогда, когда $\mathbf{b}$ лежит в линейной оболочке столбцов. А ранг матрицы как раз и равен размерности этой оболочки. Если $\mathbf{b}$ уже лежит в ней, приписывание нового столбца ничего не добавляет и ранг остаётся прежним. Если $\mathbf{b}$ торчит наружу, оболочка расширяется на одно измерение, и ранг подскакивает на единицу. Равенство рангов буквально означает «правая часть не приносит нового направления».

Рассчитать для своей задачи

Для трёх неизвестных картинка та же, только на этаж выше: каждое уравнение задаёт плоскость в пространстве, а решение системы - их общее пересечение. Три плоскости, пересекающиеся в одной точке, дают $r = 3$ и единственное решение. Если они проходят через общую прямую, ранг падает до двух и решений становится бесконечно много, целая прямая. Если все три совпадают, ранг равен единице, а решения заполняют плоскость. Наконец, если плоскости образуют трёхгранную призму или пара из них параллельна, общей точки нет: ранг основной матрицы остаётся прежним, а ранг расширенной оказывается на единицу больше. Ровно это и показывает анимация, только для прямых на плоскости, где эффект виден целиком.

Три исхода и как их различить

Равенства рангов достаточно для существования решения, но не для его единственности. Чтобы узнать количество решений, сравниваем общий ранг $r$ с числом неизвестных $n$:

На практике все три случая читаются прямо со ступенчатого вида расширенной матрицы. Противоречивая строка вида $(0\ 0\ \ldots\ 0 \mid c)$ с ненулевым $c$ означает уравнение $0 = c$, то есть несовместность. Нулевая строка целиком, включая правую часть, просто исчезает и понижает ранг обеих матриц сразу. Как приводить матрицу к ступенчатому виду и считать по нему ранг, подробно разобрано в пошаговом решении про ранг матрицы.

Рассчитать для своей задачи

Сколько свободных переменных даёт ранг

Когда ранги равны и равны $r$, в ступенчатом виде остаётся ровно $r$ ненулевых строк, а значит, $r$ уравнений, связывающих неизвестные. Столбцы с ведущими элементами отвечают базисным переменным, остальные $n - r$ столбцов - свободным. Свободным переменным можно придать любые значения, после чего базисные однозначно восстанавливаются обратным ходом. Отсюда точная формулировка:

$\text{число свободных переменных} = n - r.$

Это число и есть размерность множества решений. При $n - r = 0$ свободных переменных нет и решение единственное. При $n - r = 1$ решения образуют прямую в пространстве, при $n - r = 2$ - плоскость, и так далее. Для однородной системы $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ величина $n - r$ равна размерности пространства решений, то есть числу векторов в фундаментальной системе решений.

Рассчитать для своей задачи

Система с параметром: разбор по шагам

Возьмём систему, на которой работает калькулятор выше:

$\begin{cases} x + y + z = 2, \\ 2x + 3y + z = 5, \\ x + 2y + \lambda z = \mu. \end{cases}$

Выписываем расширенную матрицу и делаем прямой ход Гаусса. Вычитаем из второй строки удвоенную первую, из третьей - первую:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & \lambda & \mu \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda - 1 & \mu - 2 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda & \mu - 3 \end{array}\right).$

Вся судьба системы теперь в последней строке, она читается как уравнение $\lambda z = \mu - 3$.

При $\lambda \neq 0$ ведущих элементов три, поэтому $r(A) = r(A \mid \mathbf{b}) = 3 = n$: система совместна и определённая при любом $\mu$. Обратный ход даёт $z = (\mu - 3)/\lambda$, затем $y = 1 + z$ и $x = 1 - 2z$. Например, при $\lambda = 2$, $\mu = 5$ получаем $z = 1$, $y = 2$, $x = -1$; подстановка в исходные уравнения даёт $2$, $5$ и $5$, как и требовалось.

При $\lambda = 0$ и $\mu = 3$ последняя строка обнуляется полностью. Ранги равны двум, неизвестных три, свободная переменная одна. Положив $z = t$, получаем общее решение $x = 1 - 2t$, $y = 1 + t$, $z = t$ - прямую в пространстве.

При $\lambda = 0$ и $\mu \neq 3$ остаётся строка $0 = \mu - 3$ с ненулевой правой частью. Ранг основной матрицы равен двум, расширенной - трём, система несовместна. Обратите внимание, что «плохое» множество параметров здесь тощее: на карте исходов в калькуляторе это одна вертикальная прямая, а особый случай с бесконечным числом решений - вообще одна точка на ней.

Что критерий даёт и чего не даёт

Теорема Кронекера-Капелли отвечает на вопрос «сколько решений», но не выдаёт их: чтобы получить сами числа, всё равно придётся довести метод Гаусса до обратного хода. Зато это единственный универсальный критерий: правило Крамера требует квадратной невырожденной матрицы и молчит, как только главный определитель обратился в ноль, а критерий по рангам спокойно разбирает и прямоугольные системы, и вырожденные случаи. Полезное следствие: однородная система $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ совместна всегда, потому что нулевой столбец не меняет ранга, и нулевое решение у неё есть при любых коэффициентах. Итерационные схемы вроде метода Гаусса-Зейделя тоже начинают с проверки совместности: сходиться к решению несовместной системы бессмысленно.

Частые ошибки

• Считать ранги по разным матрицам независимо. Ранги надо снимать с одного и того же ступенчатого вида расширенной матрицы: элементарные преобразования строк не меняют ни $r(A)$, ни $r(A \mid \mathbf{b})$, а два отдельных приведения легко разъезжаются в арифметике.
• Переставлять столбцы, не отслеживая порядок переменных. Ранг от перестановки столбцов не меняется, но правая часть при этом должна остаться на своём месте, а нумерация неизвестных - быть записана явно, иначе обратный ход даст ответ не для тех переменных.
• Путать $n$ с числом уравнений. В формуле $n - r$ стоит именно число неизвестных. Система из пяти уравнений с двумя неизвестными при $r = 2$ определённая, а не переопределённая.
• Забывать про случай $r(A \mid \mathbf{b}) = r(A) + 1$ в задачах с параметром. Когда параметр обнуляет ведущий элемент, нужно отдельно проверить правую часть той же строки: именно она разводит «бесконечно много решений» и «решений нет».
• Считать, что равенство рангов гарантирует единственность. Оно гарантирует только существование; единственность появляется лишь при дополнительном условии $r = n$.

FAQ

Как понять, что система несовместна, не считая рангов? Достаточно довести расширенную матрицу до ступенчатого вида и поискать строку, где все коэффициенты нулевые, а свободный член нет. Такая строка означает $0 = c$ при $c \neq 0$ и сразу закрывает вопрос: это и есть проявление неравенства рангов.

Может ли ранг расширенной матрицы быть меньше ранга основной? Нет. Расширенная матрица содержит все столбцы основной, поэтому её ранг не меньше. Максимальный прирост равен единице, так как добавляется ровно один столбец.

Как теорема применяется к однородным системам? Для однородной системы ранги совпадают автоматически, вопрос о совместности не стоит. Интерес представляет только сравнение $r$ и $n$: при $r = n$ есть лишь нулевое решение, при $r < n$ появляется $n - r$ свободных переменных и бесконечно много ненулевых решений. Это стандартный критерий существования нетривиального решения.

Коротко

Теорема Кронекера-Капелли сводит вопрос о существовании решений к сравнению двух чисел: система $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ совместна тогда и только тогда, когда $r(A) = r(A \mid \mathbf{b})$. Разница рангов может быть только нулевой или единичной, поэтому проверка сводится к поиску противоречивой строки в ступенчатом виде расширенной матрицы. Если ранги равны, число решений определяет сравнение с числом неизвестных: при $r = n$ решение единственное, при $r < n$ свободных переменных ровно $n - r$ и решения образуют многообразие соответствующей размерности. В задачах с параметром вся работа сводится к тому, чтобы аккуратно отследить, при каких значениях параметра ведущий элемент обнуляется, и отдельно проверить правую часть этой строки.