Свойства определителя: правила и геометрический смысл

Определитель можно считать в лоб: для матрицы третьего порядка есть правило треугольников, для матрицы четвёртого порядка - разложение по строке на двадцать четыре слагаемых. Свойства определителя нужны ровно для того, чтобы этого не делать: часть строк обнуляется сразу, общие множители выносятся, а сама матрица парой элементарных преобразований приводится к треугольному виду, где ответ читается по диагонали. Ниже разобраны все рабочие свойства определителя и показано, почему каждое из них верно, если смотреть на определитель как на площадь. Начните с калькулятора: задайте строки матрицы, выберите операцию и посмотрите, что происходит с числом и с параллелограммом на строках.

Определитель как ориентированная площадь

Для матрицы второго порядка со строками $(a;\,b)$ и $(c;\,d)$ определитель равен

$\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$

Это не просто комбинация чисел: $ad - bc$ - ориентированная площадь параллелограмма, построенного на строках как на векторах. Модуль числа даёт саму площадь, а знак - направление обхода от первой строки ко второй. У матрицы третьего порядка определитель точно так же равен ориентированному объёму параллелепипеда на трёх строках. Из этой одной картинки выводятся все свойства определителя, и запоминать их по отдельности не нужно.

Возьмём сквозной пример: матрица $A$ со строками $(3;\,1)$ и $(1;\,2)$. Её определитель $\det A = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$, то есть параллелограмм на этих строках имеет площадь $5$, а обход от первой строки ко второй идёт против часовой стрелки.

Перестановка строк меняет знак определителя

Поменяем строки местами: получится матрица со строками $(1;\,2)$ и $(3;\,1)$, и

$\det A' = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5.$

Параллелограмм остался тем же самым, площадь тоже, а вот обход пошёл по часовой стрелке - именно это и фиксирует знак. Из свойства сразу следует важное следствие: если в матрице две одинаковые строки, то перестановка их местами ничего не меняет, но по правилу знак обязан смениться. Значит, $\det A = -\det A$, то есть $\det A = 0$.

Про перестановку чаще всего забывают при вычислениях: если в ходе приведения к треугольному виду вы переставили строки, чтобы на месте ведущего элемента не стоял нуль, итоговый ответ нужно умножить на $-1$ за каждую такую перестановку.

Общий множитель строки и линейность по строке

Если одну строку умножить на число $k$, определитель умножится на то же $k$. Умножим первую строку нашего примера на $3$: строки становятся $(9;\,3)$ и $(1;\,2)$, и определитель равен $9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 15 = 3 \cdot 5$. Геометрически это очевидно: растянули одну сторону параллелограмма в три раза - площадь выросла втрое.

Отсюда же следует правило, на котором спотыкаются чаще всего: общий множитель выносится из строки, а не из всей матрицы. Для матрицы порядка $n$

$\det(kA) = k^{n}\det A,$

потому что множитель выносится из каждой из $n$ строк. Для нашей матрицы $\det(2A) = 2^{2} \cdot 5 = 20$, а вовсе не $10$.

Второе проявление линейности: если одна строка представлена как сумма двух строк, определитель распадается на сумму двух определителей, в которых остальные строки те же. При этом $\det(A + B) \ne \det A + \det B$ - линейность работает по одной строке, а не по всей матрице сразу.

Нулевая и пропорциональные строки: определитель равен нулю

Если строка целиком состоит из нулей, соответствующий вектор нулевой, второй стороны у параллелограмма просто нет, и площадь равна нулю. Если одна строка кратна другой, оба вектора лежат на одной прямой и параллелограмм схлопывается в отрезок - площадь снова нулевая.

Рассчитать для своей задачи

В общем виде свойство звучит так: определитель равен нулю тогда и только тогда, когда строки линейно зависимы, то есть одна из них выражается через остальные. Для квадратной матрицы это то же самое, что вырожденность: обратной матрицы нет, ранг меньше порядка, а однородная система имеет ненулевые решения. Именно на этом держится проверка в правиле Крамера: если главный определитель системы равен нулю, формулы Крамера неприменимы и систему разбирают методом Гаусса. Полезно помнить и обратную сторону: увидев в матрице строку, кратную другой, ответ $0$ можно писать сразу, ничего не раскрывая.

Прибавление кратной строки ничего не меняет

Самое полезное свойство определителя на практике: если к одной строке прибавить другую строку, умноженную на любое число, определитель не изменится. Проверим на примере. Прибавим к второй строке удвоенную первую: $(1;\,2) + 2 \cdot (3;\,1) = (7;\,4)$. Тогда

$\det A' = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 7 = 5 = \det A.$

Рассчитать для своей задачи

Геометрия объясняет, почему так: прибавление кратной первой строки сдвигает конец второго вектора вдоль направления первого. Основание параллелограмма - это первая строка, и оно неподвижно; вершина скользит по прямой, параллельной основанию, значит, высота тоже не меняется. Площадь равна произведению основания на высоту, поэтому число остаётся прежним. Это и есть элементарное преобразование метода Гаусса: им можно пользоваться сколько угодно раз, не следя за компенсирующими множителями.

Треугольный вид: определитель равен произведению диагонали

У треугольной матрицы (все элементы по одну сторону от главной диагонали нулевые) определитель равен произведению диагональных элементов. Для матрицы со строками $(4;\,0)$ и $(2;\,3)$ это видно прямо на чертеже: первая строка лежит на оси и задаёт основание $4$, вторая поднимает фигуру на высоту $3$, площадь равна $12 = 4 \cdot 3$.

Рассчитать для своей задачи

Два предыдущих свойства складываются в рабочий алгоритм: элементарными преобразованиями (прибавление кратной строки - бесплатно, перестановка - со сменой знака) матрица приводится к треугольному виду, а там определитель перемножается по диагонали. Возьмём матрицу третьего порядка со строками $(2;\,1;\,3)$, $(4;\,3;\,8)$, $(6;\,5;\,16)$:

R_2 &\to R_2 - 2R_1 = (0;\,1;\,2), \\ R_3 &\to R_3 - 3R_1 = (0;\,2;\,7), \\ R_3 &\to R_3 - 2R_2 = (0;\,0;\,3). \end{aligned}$$ Ни одно из преобразований определитель не меняло, перестановок не было, поэтому $\det A = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$. Для сравнения: прямое разложение по первой строке даёт $2(3 \cdot 16 - 8 \cdot 5) - 1(4 \cdot 16 - 8 \cdot 6) + 3(4 \cdot 5 - 3 \cdot 6) = 16 - 16 + 6 = 6$, но требует трёх миноров второго порядка вместо трёх вычитаний. На матрицах высокого порядка разрыв в трудоёмкости становится решающим: именно так определитель считает [LU-разложение](/blog/lu-razlozhenie-matricy-algoritm), где произведение диагонали верхнего множителя и есть ответ. Подробный числовой разбор третьего порядка с проверкой разложением по строке - в отдельном решении задачи [как вычислить определитель третьего порядка](/zadachi/kak-vychislit-opredelitel-tretego-poryadka). ## Определитель произведения, обратной и транспонированной матрицы Теорема об определителе произведения выглядит неожиданно просто: $$ \det(AB) = \det A \cdot \det B. $$ Причина опять геометрическая: каждое линейное отображение умножает площади всех фигур на свой определитель. Применили сначала $A$, потом $B$ - площадь умножилась сначала на $\det A$, затем на $\det B$. ```video /blog/video/svoystva-opredelitelya-2.mp4 | Единичный квадрат площади 1 сначала проходит через отображение A и превращается в параллелограмм площади 5, затем через B, которое растягивает площадь ещё вдвое. Итоговые 10 и есть det(AB) = 5 умножить на 2 ``` Три следствия используются постоянно. Определитель транспонированной матрицы равен исходному: $\det A^{T} = \det A$, поэтому все перечисленные свойства строк дословно верны и для столбцов. Определитель обратной матрицы равен обратной величине: из $A A^{-1} = E$ и $\det E = 1$ следует $\det(A^{-1}) = 1/\det A$ - и заодно видно, почему у вырожденной матрицы обратной нет. Наконец, для степени $\det(A^{k}) = (\det A)^{k}$. А вот для суммы никакой формулы нет: $\det(A + B)$ с определителями слагаемых не связан. ## Частые ошибки - **Выносят множитель из всей матрицы как из одной строки.** Правильно $\det(kA) = k^{n}\det A$: множитель выносится из каждой строки, а не один раз. - **Переставили строки и забыли сменить знак.** В длинном приведении к треугольному виду это самая дорогая ошибка: ответ отличается ровно знаком. - **Умножают строку-приёмник.** Преобразование $R_2 \to R_2 + kR_1$ бесплатно, а вот $R_2 \to 2R_2 + kR_1$ умножает определитель на $2$, и множитель нужно компенсировать. - **Считают $\det(A+B) = \det A + \det B$.** Линейность у определителя есть только по одной строке при неизменных остальных. - **Применяют свойства строк к столбцам, не зная почему.** Это законно, но именно из-за равенства $\det A^{T} = \det A$, а не само собой. ## FAQ **Верны ли свойства определителя для столбцов?** Да, все до единого. Транспонирование не меняет определитель, а при транспонировании строки становятся столбцами. Поэтому столбцы тоже можно переставлять (со сменой знака), выносить из них общий множитель и прибавлять к столбцу кратный другой столбец. В методе Гаусса обычно работают со строками просто по привычке. **Как быстро увидеть, что определитель равен нулю?** Ищите линейную зависимость строк или столбцов: нулевую строку, две одинаковые строки, строку, кратную другой, или строку, равную сумме двух других. Если такая нашлась, ответ $0$ пишется сразу, без вычислений. Если матрица большая и зависимость не видна глазами, её всё равно обнаружит приведение к треугольному виду: на диагонали появится нуль. **Какие элементарные преобразования меняют определитель?** Их ровно три типа, и свойства определителя задают цену каждого: прибавление к строке кратной другой строки не меняет его совсем, перестановка двух строк меняет знак, умножение строки на $k \ne 0$ умножает определитель на $k$. Если при приведении к треугольному виду вы пользовались только первым типом, никаких поправок в конце не нужно. ## Коротко Определитель - это ориентированная площадь (в трёхмерии объём) фигуры на строках матрицы, и все его свойства читаются с этой картинки: перестановка строк разворачивает обход и меняет знак, множитель строки растягивает фигуру и множит определитель, зависимые строки схлопывают её в нуль, а прибавление кратной строки лишь сдвигает вершину вдоль основания и ничего не меняет. Последнее свойство вместе с правилом «у треугольной матрицы определитель равен произведению диагонали» и даёт основной способ счёта: привести матрицу к треугольному виду элементарными преобразованиями, следя только за перестановками и вынесенными множителями. Для произведения, транспонирования и обращения действуют формулы $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, $\det A^{T} = \det A$ и $\det(A^{-1}) = 1/\det A$.