Линейная зависимость векторов: критерии и примеры

Линейная зависимость векторов - это ситуация, когда один из векторов системы оказывается «лишним»: его можно собрать из остальных, и никакой новой информации о пространстве он не несёт. Формально это записывают через комбинацию с ненулевыми коэффициентами, но проверяют почти всегда счётом: определителем, рангом или отношением координат. Ниже разберём само определение, оба рабочих критерия, геометрию для двух и трёх векторов и связь зависимости с базисом и размерностью. Чтобы сразу увидеть, как меняется ответ от одной подправленной координаты, покрутите калькулятор ниже: он считает определитель и ранг и, если система зависима, выписывает саму комбинацию, обращающуюся в нуль.

Что такое линейная зависимость векторов

Возьмём систему векторов $a_1, a_2, \dots, a_k$ и составим из них линейную комбинацию с произвольными числовыми коэффициентами:

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + \dots + c_k a_k.$

Если все коэффициенты нулевые, комбинация заведомо равна нулевому вектору - такую комбинацию называют тривиальной, и она существует у любой системы. Интересен другой случай.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору: набор чисел $c_1, \dots, c_k$, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такой что

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + \dots + c_k a_k = 0.$

Если же равенство нулю возможно только при всех $c_i = 0$, система линейно независима. Ключевое слово здесь именно «нетривиальная»: важно не само равенство нулю, а то, что его удалось получить, не занулив все коэффициенты.

У определения есть равносильная и более наглядная формулировка. Пусть $c_m \ne 0$. Тогда равенство можно поделить на $c_m$ и выразить один вектор через остальные:

$a_m = -\frac{c_1}{c_m} a_1 - \dots - \frac{c_k}{c_m} a_k.$

То есть система зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор является линейной комбинацией остальных. Обратите внимание на осторожную формулировку: не каждый, а хотя бы один. Если к паре коллинеарных векторов добавить третий, торчащий из их плоскости, система будет зависимой, но сам третий вектор через первые два не выразится.

Критерий определителя: когда объём равен нулю

Самый быстрый критерий работает, когда число векторов совпадает с размерностью пространства: три вектора в $\mathbb{R}^3$, два на плоскости, $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$. Запишем координаты векторов строками матрицы $A$ и посчитаем определитель. Тогда

$\det A = 0 \iff \text{векторы линейно зависимы}.$

Для трёх векторов пространства у определителя есть прямой геометрический смысл: это смешанное произведение $(a_1, a_2, a_3)$, а его модуль равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Нулевой объём означает, что параллелепипед сплющился: все три вектора легли в одну плоскость. Родственную величину, площадь параллелограмма на двух векторах, считают через векторное произведение, и логика та же - нулевая площадь означает коллинеарность.

Рассчитать для своей задачи

На видео видно, что определитель и высота связаны жёстко: $|\det| = |a_1 \times a_2| \cdot h$, где $h$ - расстояние от конца третьего вектора до плоскости первых двух. Для нашей пары $|a_1 \times a_2| = \sqrt{24} \approx 4{,}90$, поэтому подъём на $h = 1{,}40$ и даёт $|\det| \approx 6{,}86$. Ноль определителя - это ровно нулевая высота, а не какое-то отдельное алгебраическое совпадение.

Критерий ранга: ступенчатый вид матрицы

Определитель бессилен, когда векторов не столько же, сколько измерений: четыре вектора в $\mathbb{R}^3$ или три вектора в $\mathbb{R}^4$ дают неквадратную матрицу. Универсальный критерий формулируется через ранг:

$\operatorname{rang} A < k \iff \text{система из } k \text{ векторов зависима}.$

Ранг равен числу ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями, и он же равен размерности линейной оболочки системы. Каждая занулившаяся строка - это и есть найденная нетривиальная комбинация: она показывает, какая сумма строк с ненулевыми коэффициентами дала нулевой вектор.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно всю цепочку: из третьей строки вычли удвоенную первую и первую же строку второго вектора, после чего она стала нулевой. Ранг равен 2, векторов три, значит система зависима. Разность между числом векторов и рангом тоже содержательна: она показывает, сколько независимых соотношений связывает систему. Здесь разность равна единице, и соотношение действительно одно с точностью до множителя. Подробную технику приведения к ступенчатому виду разбираем отдельно в материале про то, как найти ранг матрицы.

Геометрия: коллинеарность и компланарность

Для малого числа векторов зависимость читается геометрически, без всяких вычислений.

• Один вектор. Система из одного вектора зависима тогда и только тогда, когда он нулевой: равенство $c\,a = 0$ при $c \ne 0$ возможно лишь для $a = 0$.
• Два вектора. Зависимость равносильна коллинеарности: векторы лежат на одной прямой, а их координаты пропорциональны. Проверка сводится к сравнению отношений $x_1 : x_2 = y_1 : y_2 = z_1 : z_2$ или к обнулению векторного произведения; тонкости с нулями в координатах разобраны в решении задачи как проверить коллинеарность векторов.
• Три вектора в пространстве. Зависимость равносильна компланарности: приведённые к общему началу, векторы лежат в одной плоскости. Это и есть нулевой объём параллелепипеда из предыдущего раздела.

Заметьте, что порядок проверки в каждом случае разный, а вывод один и тот же: зависимость означает, что система «живёт» в подпространстве меньшей размерности, чем могла бы. Отсюда полезное правило: система, содержащая нулевой вектор, зависима всегда. Достаточно взять коэффициент 1 при нулевом векторе и нули при остальных - нетривиальная комбинация готова. По той же причине зависима любая система, в которой есть два одинаковых или два пропорциональных вектора.

Разбор примера: три вектора в пространстве

Проверим тройку $a_1 = (2;\ 0;\ 1)$, $a_2 = (0;\ 2;\ 1)$, $a_3 = (4;\ 2;\ 3)$. Составим определитель из координат:

$\det A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2\,(2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 0\,(0 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 1\,(0 \cdot 2 - 2 \cdot 4) = 8 - 0 - 8 = 0.$

Определитель нулевой, значит векторы линейно зависимы. Найдём саму комбинацию: вычтем из третьей строки удвоенную первую, получим $(0;\ 2;\ 1)$, а это в точности вторая строка. Вычитаем и её - остаётся нулевая строка. Проделанные преобразования и есть искомое соотношение:

$a_3 - 2a_1 - a_2 = 0, \qquad \text{то есть} \qquad a_3 = 2a_1 + a_2.$

Проверяем подстановкой: $2 \cdot (2;\ 0;\ 1) + (0;\ 2;\ 1) = (4;\ 2;\ 3)$ - совпало. Первые два вектора при этом независимы (их координаты не пропорциональны), поэтому ранг системы равен 2, а линейная оболочка тройки - плоскость, а не всё пространство.

Теперь изменим одну координату: пусть $a_3 = (4;\ 2;\ 5)$. Тогда $\det A = 2 \cdot 8 - 0 - 8 = 8 \ne 0$, ранг равен 3, и векторы независимы. Высота третьего вектора над плоскостью первых двух равна $h = 8 / \sqrt{24} \approx 1{,}63$. Подставьте обе тройки в калькулятор выше: он покажет тот же определитель, тот же ранг и ту же комбинацию $2a_1 + a_2 - a_3 = 0$ для первого случая.

Линейная зависимость, базис и размерность

Максимальная линейно независимая подсистема и называется базисом линейной оболочки, а число векторов в ней - её размерностью. В нашем примере базисом оболочки служит пара $\{a_1, a_2\}$, размерность равна 2, и третий вектор добавляет к оболочке ровно ничего.

Рассчитать для своей задачи

Из этого следует важное ограничение: в $n$-мерном пространстве любые $k > n$ векторов линейно зависимы. Три независимых вектора в $\mathbb{R}^3$ уже образуют базис, значит любой четвёртый раскладывается по ним однозначно: $w = \alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3$. Перенеся всё в одну сторону, получаем нетривиальную комбинацию четырёх векторов с коэффициентом $-1$ при $w$. Именно однозначность разложения по базису и требует независимости: как только базисные векторы окажутся зависимыми, координаты вектора в таком «базисе» перестанут определяться однозначно, а матрица перехода станет вырожденной и необратимой.

Частые ошибки

• Попарную неколлинеарность принимают за независимость. Три вектора могут быть попарно непропорциональны и всё равно лежать в одной плоскости, как в разобранном примере. Попарная проверка ловит зависимость только для двух векторов.
• Считают определитель для неквадратной системы. Для четырёх векторов в $\mathbb{R}^3$ или трёх в $\mathbb{R}^4$ определителя нет, работает только ранг.
• Забывают про нулевой вектор. Любая система с нулевым вектором зависима, даже если остальные векторы «выглядят независимыми».
• Требуют, чтобы через остальные выражался каждый вектор. Достаточно одного - того, у которого коэффициент в нетривиальной комбинации отличен от нуля.
• Путают зависимость системы с равенством векторов нулю. Обращается в нуль комбинация, а не сами векторы; все они могут быть ненулевыми.

FAQ

Чем линейная зависимость отличается от коллинеарности? Коллинеарность - частный случай зависимости, относящийся ровно к двум векторам. Для трёх векторов аналог коллинеарности - компланарность, а для произвольного числа векторов общего геометрического названия нет, и работает только критерий ранга.

Как проверить зависимость, если векторов больше, чем координат? Определитель не подойдёт: матрица неквадратная. Составляем матрицу из координат и находим ранг. Если ранг меньше числа векторов, система зависима, а разность между числом векторов и рангом показывает, сколько независимых соотношений между ними существует.

Могут ли зависимые векторы быть все ненулевыми и попарно различными? Да, и это типичная ситуация. В примере $a_1 = (2;\ 0;\ 1)$, $a_2 = (0;\ 2;\ 1)$, $a_3 = (4;\ 2;\ 3)$ все три вектора ненулевые, попарно непропорциональные, но система зависима, потому что $a_3 = 2a_1 + a_2$.

Коротко

Линейная зависимость векторов означает существование нетривиальной комбинации, равной нулевому вектору, и равносильна тому, что хотя бы один вектор системы выражается через остальные. Когда векторов столько же, сколько измерений, зависимость проверяется определителем: $\det A = 0$ и геометрически означает нулевой объём параллелепипеда, то есть компланарность. В общем случае работает ранг: система из $k$ векторов зависима, когда ранг матрицы координат меньше $k$. Максимальная независимая подсистема образует базис оболочки, её размер равен рангу, а любые $k > n$ векторов в $n$-мерном пространстве зависимы всегда.