Как определить класс механизма: пример решения по ТММ

Дано: плоский шестизвенный кулисный механизм поперечно-строгального станка. Подвижные звенья: 1 - кривошип $OA$, 2 - камень кулисы, 3 - кулиса $BC$, 4 - шатун $CD$, 5 - ползун $D$ с резцедержателем; 0 - стойка. Все семь кинематических пар низшие, пятого класса, высших пар нет. Найти: степень подвижности, разложение на группы Ассура, класс и порядок групп, формулу строения и класс механизма.

Класс механизма определяет не число звеньев и не их названия, а строение: цепь разбирают на структурные группы Ассура и берут наивысший класс группы. Ответ: $W = 1$, механизм раскладывается на две двухповодковые группы, формула строения $I(0;1) \to II_2(2;3) \to II_2(4;5)$, класс механизма - второй. Калькулятор сверху пересчитывает подвижность, формулу строения и класс под любой набор звеньев, пар и групп.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем звенья и кинематические пары. Стойка подвижным звеном не считается, поэтому $n = 5$: кривошип, камень, кулиса, шатун и ползун. Дальше выписываем соединения - по одной строке на каждое место контакта, обязательно с номерами звеньев, которые в нём сходятся:

Итого $p_5 = 7$, высших пар нет: $p_4 = 0$. Главная тонкость - точки $A$ и $D$: геометрически это одно место, но пар в каждой по две, потому что там встречаются три звена. Считать такое соединение за одну пару - самая частая потеря в структурном анализе.

Шаг 2. Степень подвижности по формуле Чебышёва. Подставляем посчитанное:

$$W = 3n - 2p_5 - p_4 = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 - 0 = 15 - 14 = 1.$$

Механизм одноподвижный: достаточно задать один угол поворота кривошипа, и положение всех остальных звеньев определится однозначно. Значит, ведущее звено ровно одно, и разложение должно оставить в остатке именно его.

Шаг 3. Отделяем первую группу. Группы снимают с конца кинематической цепи - начиная со звеньев, самых удалённых от ведущего. Берём шатун 4 и ползун 5. Внутренняя пара у них одна, вращательная $D$ между звеньями 4 и 5; наружу группа смотрит двумя парами: $C$ со звеном 3 и поступательной $D$ со стойкой. Проверяем подвижность отделённой цепи:

$$W_{\text{гр}} = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0.$$

Ноль - это и есть признак группы Ассура: сама по себе она неподвижна и превращается в жёсткую ферму, если приложить её поводки к стойке. Два звена, три пары, два поводка - группа второго класса второго порядка.

Шаг 4. Отделяем вторую группу. Осталась цепь 0–1–2–3. Снимаем камень 2 и кулису 3. Внутренняя пара - поступательная $A$ между камнем и кулисой, внешние - вращательная $A$ со звеном 1 и вращательная $B$ со стойкой. Снова $3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$, снова два поводка: вторая группа тоже второго класса и второго порядка. Отличается она только расположением поступательной пары - та стоит внутри группы, а не с краю.

Шаг 5. Что осталось. После двух снятий в цепи остались стойка и кривошип: $W = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1$. Это начальный механизм первого класса - ведущее звено, к которому и присоединяются группы.

Шаг 6. Формула строения и класс. Записываем разложение в обратном порядке, от ведущего звена к последней снятой группе:

$$I(0;1) \to II_2(2;3) \to II_2(4;5).$$

Проверка баланса: звеньев $1 + 2 + 2 = 5$ - сходится с $n$; пар $1 + 3 + 3 = 7$ - сходится с $p_5$. Ответ: $W = 1$; механизм состоит из ведущего звена и двух групп Ассура второго класса второго порядка; класс механизма - второй.

Формула Чебышёва и откуда она берётся

Свободное звено на плоскости имеет три степени свободы: два перемещения и поворот. Значит, $n$ разрозненных звеньев дают $3n$ степеней свободы. Каждая пара пятого класса (вращательная или поступательная) оставляет звеньям одно относительное движение и отнимает две степени свободы, каждая высшая пара четвёртого класса отнимает одну. Отсюда и вычитания $2p_5$ и $p_4$.

Стойка в $n$ не входит именно потому, что формула считает подвижности относительно неё: она принята за неподвижную систему отсчёта. Если механизм пространственный, работает формула Сомова - Малышева с шестью степенями свободы на звено; для плоских схем, которые и встречаются в курсовой по ТММ, достаточно версии Чебышёва.

Нулевое или отрицательное $W$ означает не механизм, а ферму. Получив такой результат, пересчитай пары в точках, где сходятся три звена, и проверь, не попала ли стойка в число подвижных звеньев.

Группа Ассура: класс, порядок и вид

Группа Ассура - минимальная кинематическая цепь нулевой подвижности, которую нельзя разделить на более простые цепи с тем же свойством. Из условия $3n_{\text{гр}} - 2p_{\text{гр}} = 0$ сразу следует, что звеньев в группе чётное число, а пар ровно $3n_{\text{гр}}/2$:

Класс группы определяют по наибольшему числу пар, которыми обладает одно её звено, а для групп с замкнутым изменяемым контуром - по числу пар этого контура. У двухповодковой группы каждое звено входит в две пары, поэтому класс второй. Если в группе есть базисное звено с тремя парами - класс третий. Замкнутый четырёхсторонний контур даёт четвёртый класс.

Порядок группы - это число внешних пар, которыми она присоединяется к остальному механизму. У двухповодковой группы их две, поэтому в записи и стоит индекс 2. Вид группы уточняет, где именно стоят поступательные пары: у группы $(4;5)$ поступательная крайняя (сочетание ВВП), у группы $(2;3)$ - средняя (ВПВ). Класс и порядок в формулу строения входят обязательно, вид - уточнение; его нумерация в учебниках расходится, поэтому расположение пар надёжнее описывать буквами.

Высшая пара, ролик и группа третьего класса

Если в схеме есть высшая пара, перед разложением делают её замену: одну пару четвёртого класса меняют на дополнительное звено с двумя низшими парами. Подвижность при этом не меняется, потому что $3(n+1) - 2(p_5+2) - (p_4-1)$ сворачивается в исходное выражение, зато схема становится чисто рычажной и разбирается на группы Ассура обычным способом.

Отдельно вычитают местные подвижности. Классический пример - кулачковый механизм с роликовым толкателем: $n = 3$, $p_5 = 3$, $p_4 = 1$, формула даёт $W = 9 - 6 - 1 = 2$. Вторая подвижность - вращение ролика вокруг своей оси, на закон движения толкателя оно не влияет. Вычитаем её и получаем $W = 1$. В калькуляторе для этого есть отдельный ползунок.

Важно понимать, что подвижность и класс - независимые характеристики. Поставь в калькуляторе те же $n = 5$ и $p_5 = 7$, но замени две группы второго класса на одну группу третьего: подвижность останется единицей, а формула строения превратится в $I(0;1) \to III_3(2;3;4;5)$, и механизм станет механизмом третьего класса. Разница принципиальна для дальнейшего расчёта: группы второго класса решаются по готовым формулам, а для третьего нужны особые точки Ассура или численный метод. Именно в порядке формулы строения потом ведут кинематику: строят план скоростей группа за группой и только затем переходят к силовому расчёту, где нагрузка сводится к приведённой силе.

Структурный анализ отвечает на вопрос «как устроен механизм», а не «какие в нём размеры». Геометрию зацепления считают отдельно - см. расчёт зубчатой передачи.

Частые ошибки

• Стойку считают подвижным звеном и берут $n = 6$ вместо 5. Тогда $W = 4$, и разложение не сходится ни с чем.
• В точке, где сходятся три звена, засчитывают одну пару вместо двух. Каждое соединение двух звеньев - отдельная пара, даже если геометрически это один шарнир.
• Поступательную пару считают высшей. Ползун в направляющих соприкасается по поверхности, а не по линии, - это пара пятого класса.
• Группы снимают с начала цепи, от кривошипа. Так первая же отделённая цепь окажется не группой Ассура, а куском с ненулевой подвижностью.
• Класс механизма определяют по числу звеньев: шесть звеньев не делают механизм шестого класса. Класс берут по наивысшему классу группы в разложении.
• Не вычитают местную подвижность ролика и получают $W = 2$ у кулачкового механизма с одним кулачком.

FAQ

Может ли один и тот же механизм иметь разный класс? Да. Класс зависит от того, какое звено принято ведущим: при другом выборе цепь разбирается иначе, и группа третьего класса может распасться на две группы второго. Поэтому ведущее звено всегда указывают в формуле строения.

Что делать, если групп получается несколько вариантов? Правильным считают разложение на группы наименьшего класса: оно даёт самый простой расчёт. Если такой вариант существует, класс механизма определяют именно по нему.

Зачем нужен порядок группы, если есть класс? Порядок говорит, сколькими поводками группа цепляется к уже собранной части механизма, то есть сколько точек с известными скоростями нужно для её расчёта. У группы второго порядка их две.

Как проверить разложение, не рисуя схему? Сложи звенья и пары всех структурных единиц: сумма звеньев должна дать $n$, сумма пар - $p_5$, а число ведущих звеньев - совпасть с $W$. В калькуляторе сверху эта проверка выведена отдельными показателями.

Коротко

1. Посчитай подвижные звенья без стойки и все кинематические пары, помня про сдвоенные шарниры: здесь $n = 5$, $p_5 = 7$, $p_4 = 0$.
2. Найди степень подвижности по формуле Чебышёва $W = 3n - 2p_5 - p_4$; при высших парах сделай их замену, при роликах вычти местные подвижности. Получилось $W = 1$.
3. Отделяй группы Ассура с конца цепи, проверяя каждую условием $3n_{\text{гр}} = 2p_{\text{гр}}$; в остатке должно оказаться ровно $W$ ведущих звеньев.
4. Для каждой группы укажи класс (по наибольшему числу пар у звена) и порядок (по числу поводков): обе группы здесь второго класса второго порядка.
5. Запиши формулу строения $I(0;1) \to II_2(2;3) \to II_2(4;5)$ и назови класс механизма по наивысшему классу группы - второй.