Как найти уравновешивающую силу: рычаг Жуковского

Дано: кривошипно-ползунный механизм. Кривошип $OA = 0{,}12$ м вращается равномерно с угловой скоростью $\omega_1 = 20$ рад/с, шатун $AB = 0{,}48$ м, ползун $B$ массой $m_3 = 10$ кг ходит по направляющей, проходящей через ось $O$. В положении $\varphi = 60^\circ$ к ползуну приложена сила полезного сопротивления $F_{\text{пс}} = 2500$ Н, направленная против его скорости. Массами кривошипа и шатуна пренебрегаем. Найти: уравновешивающую силу $F_{\text{ур}}$, приложенную в точке $A$ перпендикулярно кривошипу.

Задача решается рычагом Жуковского: план скоростей поворачивают на $90^\circ$, переносят в его точки все силы вместе с силами инерции и приравнивают нулю сумму моментов относительно полюса. Ответ: $F_{\text{ур}} \approx 2618$ Н по направлению скорости точки $A$, уравновешивающий момент на валу $M_{\text{ур}} \approx 314$ Н·м. Калькулятор сверху пересчитывает обе величины под любые звенья, нагрузку и положение кривошипа и рисует их за полный оборот.

Решение по шагам

Шаг 1. План скоростей. Скорость пальца кривошипа перпендикулярна $OA$ и равна

$$v_A = \omega_1 \cdot OA = 20 \cdot 0{,}12 = 2{,}40 \ \text{м/с}.$$

Откладываем её из полюса $p$ отрезком $pa = 48$ мм, тогда масштаб плана $\mu_v = 2{,}40/48 = 0{,}05$ (м/с)/мм. Дальше решается векторное уравнение $\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{BA}$: через точку $a$ проводим перпендикуляр к шатуну, через полюс - линию направляющей. Сама процедура разобрана в задаче про построение плана скоростей.

С чертежа снимаем $pb = 46{,}9$ мм и $ab = 24{,}6$ мм, то есть $v_B = 2{,}34$ м/с и $v_{BA} = 1{,}23$ м/с. Аналитическая проверка даёт то же: при $\lambda = OA/AB = 0{,}25$ угол шатуна с направляющей равен $\beta = \arcsin(\lambda \sin\varphi) = 12{,}50^\circ$, и

$$v_B = \omega_1 \cdot OA \left( \sin\varphi + \frac{\lambda \sin\varphi \cos\varphi}{\cos\beta} \right) = 2{,}40 \cdot (0{,}866 + 0{,}111) = 2{,}345 \ \text{м/с}.$$

Шаг 2. Сила инерции ползуна. Механизм разогнан, значит в равновесии он не находится, и статикой пользоваться нельзя, пока к звеньям не добавлены силы инерции. Ускорение ползуна при постоянной угловой скорости кривошипа:

$$a_B = -\omega_1^2 \cdot OA \, (\cos\varphi + \lambda \cos 2\varphi) = -400 \cdot 0{,}12 \cdot (0{,}5 - 0{,}125) = -18{,}0 \ \text{м/с}^2 .$$

Минус означает, что ускорение направлено к оси $O$, то есть туда же, куда идёт ползун: он разгоняется. Сила инерции направлена противоположно ускорению, против скорости ползуна, и потому складывается с сопротивлением:

$$F_{\text{и}3} = m_3 |a_B| = 10 \cdot 18{,}0 = 180 \ \text{Н}.$$

Шаг 3. Поворачиваем план и переносим силы. План скоростей поворачиваем на прямой угол в любую сторону, лишь бы во всех точках одинаково. В точку $b$ повёрнутого плана переносим обе силы, действующие на ползун вдоль направляющей, и его вес $G_3 = m_3 g = 98{,}1$ Н, направленный вниз. В точку $a$ прикладываем искомую $F_{\text{ур}}$ перпендикулярно кривошипу. Направления сил при переносе не меняются, меняется только точка приложения.

Шаг 4. Сумма моментов относительно полюса. Скорость ползуна горизонтальна, поэтому после поворота отрезок $pb$ встал вертикально. Горизонтальные $F_{\text{пс}}$ и $F_{\text{и}3}$ ему перпендикулярны, и плечо силы для них равно всей длине отрезка, то есть 46,9 мм. Вертикальный вес ползуна лёг вдоль $pb$, его линия действия проходит через полюс, и момента он не даёт - это тот же результат, что и в энергетическом расчёте, где вес ползуна не совершает работы. Отрезок $pa$ после поворота лёг на линию кривошипа, а $F_{\text{ур}}$ к ней перпендикулярна, так что её плечо равно $pa$. Условие равновесия рычага:

$$\sum M_p = 0: \qquad F_{\text{ур}} \cdot pa = (F_{\text{пс}} + F_{\text{и}3}) \cdot pb .$$ $$F_{\text{ур}} = \frac{(2500 + 180) \cdot 46{,}9}{48} = \frac{2680 \cdot 46{,}9}{48} = 2618 \ \text{Н}.$$

Шаг 5. Момент и мощность. Уравновешивающая сила перпендикулярна кривошипу, поэтому её плечо относительно оси вращения равно длине $OA$:

$$M_{\text{ур}} = F_{\text{ур}} \cdot OA = 2618 \cdot 0{,}12 = 314{,}2 \ \text{Н} \cdot \text{м}, \qquad N = M_{\text{ур}} \, \omega_1 = 314{,}2 \cdot 20 = 6283 \ \text{Вт}.$$

Ответ. $F_{\text{ур}} = 2618$ Н, направлена по скорости точки $A$; $M_{\text{ур}} = 314{,}2$ Н·м, действует по вращению кривошипа; мгновенная мощность на валу 6,28 кВт.

Формула и откуда она берётся

Теорема Жуковского формулируется так: если повёрнутый на $90^\circ$ план скоростей рассматривать как жёсткий рычаг с опорой в полюсе и приложить в его точках все силы, действующие на одноимённые точки механизма, то механизм уравновешен тогда и только тогда, когда уравновешен этот рычаг. Вся процедура сводится к одному уравнению моментов.

Доказательство короткое. Момент перенесённой силы относительно полюса равен произведению силы на плечо, а поворот на прямой угол превращает угол между силой и скоростью в дополнительный к нему, поэтому

$$M_p(\vec F_i) = F_i \, h_i = F_i \cdot \frac{v_i \cos\alpha_i}{\mu_v} = \frac{P_i}{\mu_v},$$

где $\alpha_i$ - угол между силой и истинной скоростью точки её приложения. Момент на рычаге - это мощность силы, делённая на масштаб плана. Значит равенство нулю суммы моментов есть равенство нулю суммы мощностей, а масштаб $\mu_v$ сокращается и в ответ не входит: плечи можно мерить прямо в миллиметрах чертежа.

Отсюда два следствия. Реакции в кинематических парах в уравнение не попадают, поэтому разбивать механизм на группы Ассура не нужно - сила получается сразу. И любая сила, перпендикулярная скорости своей точки, выпадает из расчёта сама: её линия действия проходит через полюс.

Силы инерции в этой схеме обязательны. Метод опирается на принцип Даламбера: если к каждому звену добавить силу инерции $\vec F_{\text{и}} = -m \vec a_S$ и момент пары $M_{\text{и}} = -J_S \varepsilon$, движущаяся система становится условно равновесной, и к ней применимы уравнения статики. Сам принцип разобран в статье про принцип Даламбера.

Проверка через мощности

Тот же ответ получается без чертежа. Сумма мощностей всех сил механизма с одной степенью подвижности равна нулю: сопротивление и инерция ползуна мощность забирают, уравновешивающая сила её вносит.

$$F_{\text{ур}} v_A - (F_{\text{пс}} + F_{\text{и}3}) v_B = 0, \qquad F_{\text{ур}} = \frac{2680 \cdot 2{,}345}{2{,}40} = 2618 \ \text{Н}.$$

Совпадение до единиц - признак того, что план построен верно. Заодно видно родство двух величин: уравновешивающая сила равна по модулю приведённой силе сопротивления и противоположна ей по направлению, потому что приведение заменяет всю нагрузку одной силой, а уравновешивание эту силу гасит. Если приведённый момент уже посчитан, отдельно искать уравновешивающий не нужно.

Полезно сравнить ответ с чисто статическим. Убери силу инерции - останется 2442 Н, на 7 % меньше. Инерция растёт как квадрат угловой скорости: вклад 176 Н при 20 рад/с превращается в 704 Н при 40 рад/с и в 1583 Н при 60 рад/с, тогда как статическая часть ответа от оборотов не зависит вовсе. Переключи ползунок угловой скорости в калькуляторе сверху и посмотри, как расходятся сплошная и пунктирная линии.

Если учитывать массы звеньев

В курсовом проекте массами шатуна и кривошипа не пренебрегают, но схема расчёта не меняется - добавляются новые слагаемые в то же уравнение моментов.

Сила инерции шатуна $F_{\text{и}2} = -m_2 a_{S2}$ прикладывается в точке $s$ повёрнутого плана. Её находят по правилу подобия, деля отрезок $ab$ в том же отношении, в каком центр масс делит шатун: при центре масс посередине точка $s$ - середина $ab$.

Момент пары сил инерции $M_{\text{и}2} = -J_{S2} \varepsilon_2$ на рычаг переносят иначе: его заменяют парой сил $F = M_{\text{и}2}/AB$, приложенных в точках $A$ и $B$ самого звена перпендикулярно шатуну, и уже эти две силы переносят в точки $a$ и $b$ плана. Вес каждого звена прикладывают в точке его центра масс на плане.

Кривошип при равномерном вращении даёт только центробежную силу инерции, и у уравновешенного кривошипа с центром масс на оси она равна нулю - поэтому его обычно и не учитывают. Ускорения для всех этих сил снимают с плана ускорений, который строят до силового расчёта.

Частые ошибки

• Не поворачивают план скоростей. На неповёрнутом плане момент силы относительно полюса перестаёт быть мощностью, и ответ уходит. Поворачивают что-то одно: либо план, либо все силы на $90^\circ$ в обратную сторону. Двойной поворот возвращает исходную картину.
• Забывают силы инерции. Без них рычаг даёт статический ответ 2442 Н вместо 2618 Н. При росте оборотов ошибка растёт квадратично и быстро перестаёт быть безобидной.
• Переносят силу не в ту точку. Сила действует на точку звена, а переносится в одноимённую точку плана: нагрузка на ползун - в точку $b$, сила инерции шатуна - в точку $s$, найденную по правилу подобия, а не в $a$ или $b$.
• Путают единицы плеч. Плечи в уравнении моментов берутся в миллиметрах плана, а не в метрах механизма: масштаб $\mu_v$ сокращается только при одинаковых единицах в обеих частях.
• Теряют направление ответа. Отрицательный результат не ошибка: он означает, что в этом положении механизм сам разгоняет вал и уравновешивающая сила направлена против скорости точки $A$. Направление и точку приложения в ответе указывают обязательно.
• Считают силу постоянной за оборот. В мёртвых точках она равна нулю, максимум 2637 Н приходится на $\varphi = 66^\circ$, а средний за оборот момент всего 191 Н·м против пиковых 316 Н·м. Двигатель подбирают по среднему, неравномерность хода гасят маховиком.

FAQ

Чем уравновешивающая сила отличается от движущей? Движущая сила задана и реально приложена к звену, а уравновешивающая - искомая: это та сила, которую надо приложить в заданной точке, чтобы механизм с учётом сил инерции оказался в равновесии. В расчётах машин её и принимают за движущую, потому что именно её должен развить двигатель.

Можно ли обойтись без плана скоростей? Да: аналитически через равенство мощностей, как в проверке выше, или кинетостатикой, когда механизм разбивают на группы Ассура и последовательно строят планы сил. Второй путь длиннее, зато попутно даёт реакции в парах, нужные для расчёта пальцев и подшипников. Как раскладывать механизм на группы, показано в разборе про класс механизма.

Куда прикладывать уравновешивающую силу? Туда, где указано условием: обычно в палец кривошипа перпендикулярно ему, иногда задают уравновешивающий момент прямо на валу. От выбора точки модуль меняется, а мощность нет, поэтому в ответе точка и направление обязательны.

Учитывается ли трение? Если силы трения в парах заданы, их переносят на рычаг как любые другие силы. Чаще поступают проще: находят идеальную уравновешивающую силу, а потери учитывают коэффициентом полезного действия, деля на него потребный момент двигателя.

Коротко

1. Построить план скоростей, задать масштаб $\mu_v = v_A/pa$ и снять с него скорости точек приложения сил: здесь $v_A = 2{,}40$ м/с при $pa = 48$ мм и $v_B = 2{,}34$ м/с при $pb = 46{,}9$ мм.
2. Найти ускорения и добавить силы инерции: $a_B = 18{,}0$ м/с², $F_{\text{и}3} = 180$ Н против скорости ползуна.
3. Повернуть план на $90^\circ$ и перенести все силы в одноимённые точки, сохранив их направления.
4. Записать сумму моментов относительно полюса и выразить искомое: $F_{\text{ур}} = 2680 \cdot 46{,}9/48 = 2618$ Н.
5. Перейти к моменту на валу и проверить ответ через мощности: $M_{\text{ур}} = 314{,}2$ Н·м, мощность 6,28 кВт.