Как построить план механизма: план положений по шагам

Дано: плоский кривошипно-ползунный механизм, кривошип $OA = 0{,}15$ м вращается вокруг неподвижной оси $O$, шатун $AB = 0{,}45$ м, ползун $B$ ходит по направляющей, проходящей через точку $O$. Отрезок $OA$ на чертеже принять равным 50 мм, число положений кривошипа - 12. Найти: масштабный коэффициент длин, план положений механизма, крайние положения и ход ползуна.

План положений - это чертёж механизма, вычерченный в одном масштабе для нескольких положений ведущего звена. Всё построение держится на двух вещах: масштабном коэффициенте длин и засечках циркулем. Ответ: $\mu_l = 0{,}003$ м/мм, шатун на чертеже 150 мм, крайние положения при $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 180^\circ$, ход ползуна $H = 0{,}30$ м, то есть 100 мм чертежа. Калькулятор сверху перестраивает план под любые длины звеньев и любое число положений.

Решение по шагам

Шаг 1. Выбираем масштабный коэффициент длин. Механизм должен уместиться на листе, поэтому сначала прикидываем его габарит: наибольшее удаление ползуна от оси равно $OA + AB = 0{,}6$ м. Задаём длину отрезка, которым изобразим кривошип: круглые 50 мм. Отсюда

$$\mu_l = \frac{l_{OA}}{\overline{OA}} = \frac{0{,}15}{50} = 0{,}003 \ \frac{\text{м}}{\text{мм}}.$$

Шаг 2. Переводим длины звеньев в миллиметры чертежа. Каждый реальный размер делим на найденный коэффициент - один и тот же для всех звеньев без исключения:

$$\overline{AB} = \frac{l_{AB}}{\mu_l} = \frac{0{,}45}{0{,}003} = 150 \ \text{мм}.$$

Габарит чертежа получается $50 + 150 = 200$ мм по горизонтали и 100 мм по вертикали, лист формата A4 это выдерживает.

Шаг 3. Наносим стойку и направляющую. Ставим точку $O$ и отмечаем её знаком неподвижного шарнира. Через $O$ проводим горизонтальную прямую - ось направляющей ползуна; механизм центральный, поэтому смещения нет и ось проходит ровно через центр вращения кривошипа. Штриховка под линией показывает стойку.

Шаг 4. Размечаем окружность пальца кривошипа. Из точки $O$ радиусом $\overline{OA} = 50$ мм проводим окружность: по ней движется точка $A$. Делим её на 12 равных частей по $360^\circ/12 = 30^\circ$ и нумеруем засечки $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ в сторону вращения кривошипа. Нулевую точку берут не произвольно: за первое положение принимают крайнее, с него начинается рабочий ход.

Шаг 5. Находим крайние положения. Ползун останавливается и меняет направление тогда, когда кривошип и шатун лежат на одной прямой. Вытянуты в линию - ползун максимально удалён, сложены - максимально приближен:

$$\overline{OB}_{\max} = \overline{OA} + \overline{AB} = 200 \ \text{мм}, \qquad \overline{OB}_{\min} = \overline{AB} - \overline{OA} = 100 \ \text{мм}.$$

У центрального механизма это углы $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 180^\circ$, то есть положения 1 и 7 разметки.

Шаг 6. Строим звенья во всех положениях. Берём раствор циркуля 150 мм, ставим иглу в точку $A_1$ и делаем засечку на направляющей - получаем $B_1$. Соединяем $O$ с $A_1$ и $A_1$ с $B_1$: это механизм в первом положении. Повторяем для остальных одиннадцати точек. Раствор циркуля не меняется ни разу: длина шатуна постоянна, и любое расхождение здесь - ошибка построения, а не свойство механизма.

Шаг 7. Снимаем ход ползуна. Ход - расстояние между крайними положениями точки $B$. С чертежа снимаем $200 - 100 = 100$ мм и переводим в метры тем же коэффициентом:

$$H = \mu_l \cdot \overline{H} = 0{,}003 \cdot 100 = 0{,}30 \ \text{м} = 2\,l_{OA}.$$

Ответ. $\mu_l = 0{,}003$ м/мм, $\overline{AB} = 150$ мм, крайние положения при $0^\circ$ и $180^\circ$, ход ползуна $H = 0{,}30$ м.

Координаты ползуна по положениям снимаются с того же чертежа; ниже - числа, к которым должно привести аккуратное построение:

Вторая половина оборота повторяет первую зеркально, поэтому положения 8-12 дают те же координаты в обратном порядке.

Масштабный коэффициент длин: смысл и выбор

Масштабный коэффициент длин $\mu_l$ показывает, сколько метров натуры приходится на один миллиметр чертежа, и измеряется в м/мм. Это не «масштаб 1:100» из черчения: там пишут безразмерное отношение, здесь - именованную величину, через которую любой снятый линейкой отрезок переводится в метры умножением. Обратный переход - деление реального размера на $\mu_l$.

Выбирают коэффициент по самому крупному звену и по формату листа. Удобно назначать круглое число отрезку известного звена: 30, 40, 50 или 100 мм. При $\overline{OA} = 50$ мм у нас получилось ровное $\mu_l = 0{,}003$ м/мм, и длина шатуна вышла целыми 150 мм - на таком чертеже засечки ставятся без округлений. Попробуй в калькуляторе сверху переключить отрезок на 30 мм: коэффициент станет $0{,}005$ м/мм, а шатун - 90 мм, чертёж ужмётся почти вдвое.

Аналогичные коэффициенты появятся дальше во всех графических расчётах курса: свой масштаб у плана скоростей, свой у плана ускорений, свой у диаграмм. Величина у каждого своя, а правило одно: внутри одного чертежа коэффициент не меняется.

Крайние положения и что из них следует

Крайние положения механизма определяют не на глаз, а засечками. Из точки $O$ проводят две дуги радиусами $\overline{AB} + \overline{OA}$ и $\overline{AB} - \overline{OA}$: пересечения с направляющей и дают крайние положения ползуна. У центрального механизма кривошип в эти моменты лежит вдоль направляющей, и ход равен удвоенной длине кривошипа независимо от шатуна - $H = 2\,l_{OA} = 0{,}30$ м. Длина шатуна на ход не влияет вовсе, она задаёт только характер движения между крайними точками.

Этот характер виден в таблице: за первую четверть оборота ползун проходит 58,6 мм из 100, то есть почти 59 процентов хода, а за вторую - оставшиеся 41. Симметрию ломает конечная длина шатуна: чем он короче относительно кривошипа, тем сильнее перекос. Переключи режим калькулятора на график перемещения - кривая заметно несимметрична относительно середины оборота.

План положений - не самоцель, а заготовка. По нему строят план скоростей для выбранного положения, затем план ускорений, а потом переходят к силовому расчёту с приведённой силой. Само же деление механизма на звенья и пары, с которого начинается лист курсового проекта, разбирается в задаче про класс механизма.

Если механизм дезаксиальный

Смещение направляющей относительно оси кривошипа на величину $e$ (эксцентриситет) меняет картину. Крайние положения перестают приходиться на $0^\circ$ и $180^\circ$, а ход считается по теореме Пифагора для двух вытянутых треугольников:

$$H = \sqrt{(l_{AB} + l_{OA})^2 - e^2} - \sqrt{(l_{AB} - l_{OA})^2 - e^2}.$$

При $e = 0{,}06$ м и прежних звеньях получаем $H = 0{,}597 - 0{,}294 = 0{,}303$ м - на 3 мм больше, чем у центрального. Углы крайних положений становятся $5{,}7^\circ$ и $191{,}5^\circ$, между ними появляется угол перекрытия $\theta = 5{,}8^\circ$, а средние скорости прямого и обратного хода расходятся:

$$K = \frac{180^\circ + \theta}{180^\circ - \theta} = \frac{185{,}8}{174{,}2} = 1{,}07.$$

Ради этого коэффициента дезаксиал и вводят: холостой ход идёт быстрее рабочего. Подвинь ползунок эксцентриситета в калькуляторе - крайние положения разъедутся прямо на чертеже. Для шарнирного четырёхзвенника порядок построения тот же, меняется лишь способ засечки: точка $B$ ищется пересечением дуги радиусом $\overline{AB}$ из $A_i$ с дугой радиусом $\overline{BC}$ из неподвижной точки $C$, и вместо хода ползуна снимают угол размаха коромысла.

Частые ошибки

• Считают $\mu_l$ как безразмерный масштаб. Коэффициент имеет размерность м/мм, и делить на него надо метры, а не миллиметры. Запись «масштаб 1:3» здесь не работает: с ней теряется переход к натуральным размерам.
• Меняют коэффициент по ходу построения. Если шатун не влез, уменьшают $\mu_l$ и перечерчивают весь план заново, а не рисуют одно звено в другом масштабе. Разномасштабный чертёж даёт неверные засечки и неверный ход.
• Отсчитывают положения от произвольной точки. Нумерацию начинают с крайнего положения, иначе номера положений не совпадут с положениями на планах скоростей и на диаграмме перемещения, и весь дальнейший расчёт придётся пересобирать.
• Строят ползун засечкой не той длины. Раствор циркуля равен длине шатуна в миллиметрах чертежа и остаётся неизменным для всех положений. Пересчёт раствора для каждой точки - самая частая причина «гуляющего» хода.
• Считают, что ход зависит от длины шатуна. У центрального механизма $H = 2\,l_{OA}$ всегда. Шатун влияет на угол давления и на несимметричность движения, но не на величину хода.
• Забывают проверить проворачиваемость. Кривошип сделает полный оборот только при $l_{AB} > l_{OA} + e$. Если условие нарушено, засечка на направляющей просто не появится, и калькулятор сверху об этом предупредит.

FAQ

Чем план положений отличается от кинематической схемы? Кинематическая схема показывает строение механизма условными обозначениями и размеров не соблюдает. План положений вычерчен в масштабе и для нескольких положений ведущего звена сразу, поэтому с него можно снимать линейкой длины и перемещения.

Сколько положений строить? В курсовых работах по ТММ стандарт - 12 положений через 30 градусов; для черновой прикидки хватает 6 или 8. Первым всегда берут крайнее положение, к списку обязательно добавляют оба крайних, даже если они не попали в равномерную разметку.

Как выбрать масштабный коэффициент длин? Назначьте круглую длину отрезка самому известному звену, обычно кривошипу: 30, 40 или 50 мм. Разделите реальную длину этого звена в метрах на выбранное число миллиметров и проверьте, что габарит механизма умещается в поле чертежа.

Как найти ход ползуна без чертежа? Для центрального механизма ход равен удвоенной длине кривошипа. Для дезаксиального считайте по формуле с двумя корнями: разность расстояний до крайних положений и есть ход. Чертёж в обоих случаях остаётся проверкой счёта.

Коротко

1. Задайте отрезок кривошипа на чертеже и найдите масштабный коэффициент длин: $\mu_l = 0{,}15/50 = 0{,}003$ м/мм.
2. Переведите остальные звенья тем же коэффициентом: $\overline{AB} = 0{,}45/0{,}003 = 150$ мм.
3. Проведите направляющую через $O$, опишите радиусом $\overline{OA}$ окружность пальца кривошипа и разделите её на 12 частей, начав с крайнего положения.
4. Из каждой точки $A_i$ засечкой раствором 150 мм найдите $B_i$ на направляющей и соедините $O$, $A_i$, $B_i$.
5. Снимите ход как расстояние между крайними положениями: $200 - 100 = 100$ мм, то есть $H = 0{,}30$ м.