Как уравновесить вращающиеся массы: расчёт балансировки

Дано: ротор с тремя неуравновешенными массами: $m_1 = 0{,}8$ кг на радиусе $r_1 = 120$ мм под углом $\alpha_1 = 0^\circ$, $m_2 = 1{,}2$ кг на $r_2 = 80$ мм под $\alpha_2 = 120^\circ$, $m_3 = 0{,}5$ кг на $r_3 = 150$ мм под $\alpha_3 = 240^\circ$. Плоскости масс отстоят от левой плоскости исправления на $z_1 = 100$, $z_2 = 250$ и $z_3 = 400$ мм, база плоскостей исправления $L = 500$ мм, корректирующие грузы ставятся на радиусе $r_{\text{к}} = 100$ мм. Найти: главный вектор дисбалансов, корректирующие массы и углы их установки.

Уравновесить вращающиеся массы значит обнулить сразу две векторные суммы: сумму дисбалансов $m_i r_i$ и сумму их моментов вдоль оси. Ответ: главный вектор 21,0 кг·мм под углом 60,0°, а полная балансировка требует 536 г под 212,2° в плоскости I и 363 г под 16,6° в плоскости II. Калькулятор сверху строит план дисбалансов и показывает, как меняется нагрузка на опоры.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем дисбаланс каждой массы. Дисбаланс - произведение массы на радиус её центра тяжести, $D_i = m_i r_i$. Это вектор: его модуль равен произведению, а направление совпадает с направлением на саму массу, то есть с углом $\alpha_i$ на чертеже торца.

Первые две массы дают одинаковый дисбаланс 96 кг·мм, хотя сами массы различаются в полтора раза: меньшая сидит дальше от оси. Именно поэтому в расчёт всегда идёт произведение $m_i r_i$, а не масса сама по себе.

Шаг 2. Складываем дисбалансы по проекциям. Раскладываем каждый вектор на оси $x$ и $y$ и суммируем:

$$\begin{aligned} D_x &= 96 + 96\cos 120^\circ + 75\cos 240^\circ = 96 - 48 - 37{,}5 = 10{,}5, \\ D_y &= 96\sin 120^\circ + 75\sin 240^\circ = 83{,}14 - 64{,}95 = 18{,}19. \end{aligned}$$

Модуль и угол главного вектора дисбалансов:

$$D_{\Sigma} = \sqrt{10{,}5^2 + 18{,}19^2} = 21{,}0, \qquad \alpha_{\Sigma} = \mathrm{arctg}\,\frac{18{,}19}{10{,}5} = 60{,}0^\circ.$$

Обе проекции положительны, значит угол лежит в первой четверти и поправка к арктангенсу не нужна. Итог: 21,0 кг·мм под $60^\circ$.

Шаг 3. Статическая поправка. Чтобы убрать главный вектор, ставим груз ровно напротив него, под углом $60^\circ + 180^\circ = 240^\circ$:

$$m_{\text{ст}} = \frac{D_{\Sigma}}{r_{\text{к}}} = \frac{21{,}0}{100} = 0{,}21 \ \text{кг}.$$

Это 210 г на радиусе 100 мм под углом $240^\circ$. Ротор перестанет самопроизвольно скатываться в одно положение на ножах, но на ходу по-прежнему будет бить: статика ничего не знает о том, где вдоль вала сидят массы.

Шаг 4. Главный момент дисбалансов. Берём моменты относительно левой плоскости исправления, домножая каждый дисбаланс на его координату $z_i$:

$$\begin{aligned} M_x &= 96 \cdot 100 - 48 \cdot 250 - 37{,}5 \cdot 400 = 9600 - 12\,000 - 15\,000 = -17\,400, \\ M_y &= 83{,}14 \cdot 250 - 64{,}95 \cdot 400 = 20\,785 - 25\,981 = -5196. \end{aligned}$$

Модуль $M = \sqrt{17\,400^2 + 5196^2} = 18\,159$ кг·мм², угол $196{,}6^\circ$ (обе проекции отрицательны, третья четверть). Момент не ноль, и никакой одиночный груз его не снимет.

Шаг 5. Груз в плоскости II. Дисбаланс левой плоскости в уравнение моментов не входит: у него нулевое плечо. Поэтому правая плоскость находится сразу:

$$D_{II,x} = -\frac{M_x}{L} = \frac{17\,400}{500} = 34{,}80, \qquad D_{II,y} = -\frac{M_y}{L} = \frac{5196}{500} = 10{,}39.$$ $$D_{II} = \sqrt{34{,}80^2 + 10{,}39^2} = 36{,}32, \qquad \alpha_{II} = \mathrm{arctg}\,\frac{10{,}39}{34{,}80} = 16{,}6^\circ.$$

Масса: $m_{II} = 36{,}32 / 100 = 0{,}363$ кг, то есть 363 г под углом $16{,}6^\circ$.

Шаг 6. Груз в плоскости I. Теперь уравнение сил: сумма всех дисбалансов вместе с обеими поправками равна нулю.

$$\begin{aligned} D_{I,x} &= -(D_x + D_{II,x}) = -(10{,}5 + 34{,}80) = -45{,}30, \\ D_{I,y} &= -(D_y + D_{II,y}) = -(18{,}19 + 10{,}39) = -28{,}58. \end{aligned}$$ $$D_{I} = \sqrt{45{,}30^2 + 28{,}58^2} = 53{,}56, \qquad \alpha_{I} = 180^\circ + \mathrm{arctg}\,\frac{28{,}58}{45{,}30} = 212{,}2^\circ.$$

Масса: $m_{I} = 53{,}56 / 100 = 0{,}536$ кг, то есть 536 г под углом $212{,}2^\circ$.

Шаг 7. Проверка. Считаем моменты относительно правой плоскости, где нулевое плечо уже у $D_{II}$. Плечи масс равны $z_i - L$, то есть $-400$, $-250$ и $-100$ мм, и сумма даёт $-22\,650$ и $-14\,289$ кг·мм². Делим на базу: $-45{,}30$ и $-28{,}58$ - ровно проекции $D_I$, найденные из уравнения сил. Расчёт согласован.

Ответ. Главный вектор дисбалансов 21,0 кг·мм под $60{,}0^\circ$; при статической балансировке достаточно 210 г под $240^\circ$, при полной нужны 536 г под $212{,}2^\circ$ в плоскости I и 363 г под $16{,}6^\circ$ в плоскости II (радиус установки 100 мм).

Формула дисбаланса и два условия равновесия

Каждая неуравновешенная масса при вращении с угловой скоростью $\omega$ создаёт центробежную силу инерции $F_i = m_i r_i \omega^2$. Угловая скорость у всех масс ротора одна и та же, поэтому её выносят за скобку и работают не с силами, а с дисбалансами $D_i = m_i r_i$: картина от оборотов не зависит, а числа становятся мельче. Подробнее природа этой силы разобрана в материале про силу инерции при криволинейном движении.

Условий равновесия ровно два, и оба векторные:

$$\sum_{i} D_i + D_{I} + D_{II} = 0, \qquad \sum_{i} D_i z_i + D_{II} L = 0.$$

Первое обнуляет главный вектор - равнодействующую центробежных сил. Второе обнуляет главный момент - пару сил, которая стремится провернуть ротор вокруг поперечной оси. В проекциях это четыре скалярных уравнения и ровно четыре неизвестных: два модуля и два угла. Задача всегда имеет решение, и оно единственное.

Порядок действий вытекает из формы уравнений. В уравнение моментов входит только $D_{II}$, потому что моменты берут относительно плоскости I и у неё нулевое плечо; значит, правую плоскость находят первой. Затем из уравнения сил получают левую. Менять плоскости местами можно, ответ не изменится.

Почему одного груза не хватает

Статическая балансировка убирает только первое слагаемое. После шага 3 сумма дисбалансов равна нулю, а момент остаётся: если пересчитать его с учётом груза 210 г, поставленного в среднюю плоскость, получится остаточная пара 44,5 кг·мм в каждой плоскости исправления. Две равные противоположно направленные силы - это чистый момент, который никак не проявляется в покое, но на ходу раскачивает опоры.

Переведём в силы при 3000 об/мин. Угловая скорость $\omega = \pi n / 30 = 314{,}2$ рад/с, квадрат - $98\,696$ с$^{-2}$. До балансировки опоры нагружены силами

$$F_A = 53{,}56 \cdot 10^{-3} \cdot 98\,696 = 5286 \ \text{Н}, \qquad F_B = 36{,}32 \cdot 10^{-3} \cdot 98\,696 = 3585 \ \text{Н}.$$

После одного статического груза обе опоры получают по $44{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 98\,696 = 4396$ Н. На левой опоре стало легче, а на правой - тяжелее, чем было: 4,40 кН против 3,58 кН. Именно этот эффект и ловит второй режим калькулятора. Полный ноль даёт только балансировка в двух плоскостях, причём силы растут как квадрат оборотов: вдвое быстрее - вчетверо тяжелее, поэтому у быстроходных роторов допуск на остаточный дисбаланс жёсткий, а у тихоходных дисков хватает статики.

Переменная сила частотой вращения - это ещё и источник вынужденных колебаний корпуса, так что вопрос не только в подшипниках.

Как поправку реализуют на детали

Расчётный груз 536 г под $212{,}2^\circ$ на радиусе 100 мм ставят одним из трёх способов. Первый - навесить противовес: болт, сухарь в Т-образном пазу, сварной сектор. Второй - снять металл в противоположной точке, то есть высверлить отверстие под углом $212{,}2^\circ - 180^\circ = 32{,}2^\circ$; масса удалённого металла равна расчётной, а глубину подбирают по плотности. Третий - разложить груз на два соседних, если в нужной точке мешает конструкция: два груза под углами по обе стороны дают ту же векторную сумму.

Радиус установки выбирают свободно, и это удобный рычаг. Произведение $m_{\text{к}} r_{\text{к}}$ зафиксировано расчётом, поэтому груз на радиусе 200 мм будет вдвое легче, чем на 100 мм. Если конструкция не позволяет разнести массу далеко от оси, ползунок радиуса в калькуляторе сразу покажет, насколько тяжелее станет груз.

Плоскости исправления тоже назначают сами: их берут как можно дальше друг от друга и там, где есть металл под обработку. Чем больше база $L$, тем меньше корректирующие дисбалансы - в знаменателе стоит именно она. Кинематику самого механизма при этом не трогают, она разбирается отдельно, например при приведении сил и масс к кривошипу.

Частые ошибки

• Складывают дисбалансы как числа, а не как векторы. Сумма $96 + 96 + 75 = 267$ кг·мм не имеет отношения к делу: здесь векторы почти гасят друг друга и остаётся 21 кг·мм.
• Берут угол через арктангенс без учёта четверти. Для плоскости I обе проекции отрицательны, и голый арктангенс даёт $32{,}2^\circ$ вместо $212{,}2^\circ$ - груз встанет ровно наоборот и удвоит дисбаланс.
• Ставят корректирующую массу туда же, куда смотрит главный вектор. Груз всегда идёт в противофазу: если главный вектор под $60^\circ$, груз под $240^\circ$.
• Забывают домножить дисбаланс на координату плоскости и приравнивают нулю сумму $D_i$ вместо суммы $D_i z_i$. Тогда динамическая часть задачи просто выпадает.
• Считают, что статически уравновешенный ротор уравновешен полностью. Пара сил на весах и на ножах не видна, а на рабочих оборотах даёт тысячи ньютонов.
• Путают массу и дисбаланс в ответе: 53,56 - это кг·мм, а масса получается делением на радиус установки, 0,536 кг.

FAQ

Чем статическая балансировка отличается от динамической? Статическая обнуляет только равнодействующую центробежных сил, и её достаточно для тонкого диска, где все массы лежат практически в одной плоскости. Динамическая обнуляет ещё и момент, для чего нужны два груза в двух разных плоскостях. Признак: если длина ротора сопоставима с диаметром, одной плоскости мало.

Почему в расчёте не фигурирует угловая скорость? Центробежная сила каждой массы пропорциональна $\omega^2$, и множитель у всех масс одинаковый, поэтому в уравнениях равновесия он сокращается. Обороты нужны только чтобы перевести остаточный дисбаланс в ньютоны нагрузки на опоры.

Как выбрать плоскости исправления? Их назначают конструктивно: по торцам ротора, по ступицам колёс, по балансировочным пояскам. Главное - разнести подальше, потому что корректирующие дисбалансы обратно пропорциональны базе $L$.

Что делать, если масс не три, а больше? Ничего не меняется: в обе суммы добавляются новые слагаемые $D_i$ и $D_i z_i$, а число неизвестных остаётся прежним. Таблица просто становится длиннее, схема расчёта та же.

Коротко

1. Посчитай дисбаланс каждой массы $D_i = m_i r_i$ и выпиши её угол и координату вдоль вала.
2. Сложи дисбалансы по проекциям - получишь главный вектор: 10,5 и 18,19 дают 21,0 кг·мм под $60{,}0^\circ$.
3. Сложи моменты $D_i z_i$ относительно левой плоскости: $-17\,400$ и $-5196$ кг·мм².
4. Раздели момент на базу с обратным знаком - это дисбаланс правой плоскости: 36,32 кг·мм под $16{,}6^\circ$, то есть 363 г на радиусе 100 мм.
5. Из уравнения сил найди левую плоскость: 53,56 кг·мм под $212{,}2^\circ$, то есть 536 г, и проверь результат моментами относительно правой плоскости.