Как рассчитать планетарный редуктор: формула Виллиса

Дано: планетарный ряд типа 2К-h, солнечное колесо $z_1 = 24$, эпицикл $z_3 = 96$, число сателлитов $k = 3$, модуль $m = 3$ мм, эпицикл неподвижен, солнце вращается с частотой $n_1 = 1440$ об/мин. Найти: число зубьев сателлита, передаточное отношение, частоту вращения водила и сателлита, проверку условий подбора зубьев.

Считается это не прямым отношением зубьев, а через обращённый механизм: водилу мысленно сообщают его же угловую скорость с обратным знаком, оно останавливается, и планетарная передача превращается в обычную рядовую. Ответ: $z_2 = 36$, $u = 5$, $n_h = 288$ об/мин, сателлит делает 480 об/мин в обратную сторону, все условия подбора выполнены. Калькулятор сверху пересчитает эти величины под другие зубья, число сателлитов и неподвижное звено, ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Схема 2К-h: центральное солнечное колесо 1 с внешними зубьями, сателлиты 2 на осях водила $h$, неподвижный эпицикл 3 с внутренними зубьями.

Шаг 1. Число зубьев сателлита. Оси солнца и эпицикла совпадают, поэтому радиус сателлита жёстко связан с двумя другими колёсами условием соосности $r_3 = r_1 + 2 r_2$. При одинаковом модуле оно записывается через зубья:

$$z_2 = \frac{z_3 - z_1}{2} = \frac{96 - 24}{2} = 36.$$

Шаг 2. Обращаем механизм. Планетарный ряд нельзя посчитать как рядовую передачу: оси сателлитов сами движутся, и отношение $z_3 / z_1$ ничего не даст напрямую. Сообщим всему механизму дополнительное вращение $-\omega_h$. Водило остановится, оси сателлитов станут неподвижными, а получившаяся передача 1 - 2 - 3 будет обычной двухступенчатой. Её передаточное отношение перемножается по ступеням:

$$u^{(h)}_{13} = u^{(h)}_{12} \cdot u^{(h)}_{23} = \left(-\frac{z_2}{z_1}\right) \cdot \left(+\frac{z_3}{z_2}\right) = -\frac{z_3}{z_1} = -\frac{96}{24} = -4.$$

Минус появился от внешнего зацепления солнца с сателлитом, плюс - от внутреннего зацепления сателлита с эпициклом; зубья сателлита сократились.

Шаг 3. Возвращаемся к реальному механизму. Формула Виллиса связывает угловые скорости всех трёх центральных звеньев:

$$u^{(h)}_{13} = \frac{\omega_1 - \omega_h}{\omega_3 - \omega_h} = -\frac{z_3}{z_1}.$$

Эпицикл неподвижен, значит $\omega_3 = 0$:

$$\frac{\omega_1 - \omega_h}{-\omega_h} = -4 \quad\Longrightarrow\quad \omega_1 - \omega_h = 4\,\omega_h \quad\Longrightarrow\quad u^{(3)}_{1h} = \frac{\omega_1}{\omega_h} = 1 + \frac{z_3}{z_1} = 5.$$

Шаг 4. Частота вращения водила. Передаточное отношение положительное, водило вращается в ту же сторону, что и солнце:

$$n_h = \frac{n_1}{u^{(3)}_{1h}} = \frac{1440}{5} = 288 \ \text{об/мин}.$$

Шаг 5. Частота вращения сателлита. Относительно водила сателлит катится по неподвижному эпициклу, и его скорость находится из той же обращённой схемы:

$$n_2^{(h)} = -\,(n_1 - n_h) \cdot \frac{z_1}{z_2} = -\,(1440 - 288) \cdot \frac{24}{36} = -768 \ \text{об/мин}.$$

В абсолютном движении к этому добавляется переносное вращение вместе с водилом:

$$n_2 = n_h + n_2^{(h)} = 288 - 768 = -480 \ \text{об/мин}.$$

Шаг 6. Проверка условий сборки и соседства. Сателлиты ставятся в одни и те же впадины, поэтому сумма зубьев центральных колёс должна нацело делиться на их число:

$$\frac{z_1 + z_3}{k} = \frac{24 + 96}{3} = 40 \ - \ \text{целое.}$$

Соседние сателлиты не должны задевать друг друга вершинами зубьев:

$$(z_1 + z_2)\sin\frac{180^\circ}{k} = 60 \cdot \sin 60^\circ = 51{,}96 > z_2 + 2 = 38.$$

Шаг 7. Геометрия. Делительные диаметры $d = m z$: $d_1 = 72$ мм, $d_2 = 108$ мм, $d_3 = 288$ мм. Межосевое расстояние в обоих зацеплениях обязано совпасть, и это независимая проверка шага 1:

$$a_w = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{72 + 108}{2} = 90 \ \text{мм}, \qquad a_w = \frac{d_3 - d_2}{2} = \frac{288 - 108}{2} = 90 \ \text{мм}.$$

Ответ. $z_2 = 36$; $u^{(3)}_{1h} = 5$; $n_h = 288$ об/мин в сторону вращения солнца; сателлит вращается со скоростью 480 об/мин в противоположную сторону; условия соосности, сборки и соседства выполнены, межосевое расстояние 90 мм.

Формула Виллиса и откуда берётся обращение механизма

Подвижность планетарного ряда с двумя свободными центральными колёсами равна двум: задав скорость только одного звена, остальные найти нельзя. Именно поэтому в дифференциале одно колесо может стоять, пока два других крутятся. Когда одно из центральных звеньев закрепляют, подвижность падает до единицы, и механизм становится редуктором с одним определённым передаточным отношением. Формально подвижность считается по формуле Чебышева, как и для любой плоской схемы, и этот шаг разбирается в задаче про класс механизма.

Метод обращения опирается на то, что добавление одинакового вращения всем звеньям не меняет их относительных скоростей. Прибавив $-\omega_h$, мы получаем механизм с неподвижными осями, где работают обычные правила рядовой передачи, а скорости в нём - это относительные скорости звеньев исходной схемы. Отсюда и запись $u^{(h)}_{13}$: верхний индекс в скобках говорит, какое звено остановлено мысленно, нижние - от какого звена к какому считается отношение.

Практический вывод простой. Для одинарного ряда 2К-h достаточно помнить одну связку: обращённое отношение равно $-z_3 / z_1$, а реальное получается из него по правилу $u_{1h} = 1 - u^{(h)}_{13}$. Отсюда знакомые формулы: при неподвижном эпицикле $u = 1 + z_3 / z_1$, при неподвижном солнце $u = 1 + z_1 / z_3$. Знаки не декоративны: отрицательное передаточное отношение означает, что ведомое звено крутится в обратную сторону.

Три условия подбора чисел зубьев

Числа зубьев планетарного ряда нельзя назначать произвольно, как в рядовой передаче. Они должны одновременно удовлетворять трём условиям, и именно на этом чаще всего проваливаются курсовые расчёты.

Соосность. Оси солнца, водила и эпицикла лежат на одной линии, поэтому $z_3 = z_1 + 2 z_2$. Отсюда следует незаметное требование: $z_1$ и $z_3$ должны быть одной чётности, иначе число зубьев сателлита получится дробным. В нашем примере 24 и 96 оба чётные, и сателлит вышел целым.

Сборка. Сателлиты расставлены по окружности равномерно, через угол $360^\circ / k$, и каждый должен попасть зубьями в свою впадину. Это даёт условие целого числа $(z_1 + z_3) / k$. Если оно не выполняется, механизм соберётся только с двумя сателлитами из трёх, а третий придётся ставить с натягом.

Соседство. Между соседними сателлитами должен оставаться зазор: окружности вершин не должны пересекаться. Условие $(z_1 + z_2)\sin(180^\circ / k) > z_2 + 2 h_a^*$ при стандартном $h_a^* = 1$ фактически ограничивает сверху число сателлитов для данной схемы. Чем больше передаточное отношение и крупнее сателлит, тем меньше их поместится.

К этим трём обычно добавляют проверку на подрезание ножки зуба ($z_1 \geqslant 17$ для прямозубых колёс без смещения) и на интерференцию во внутреннем зацеплении ($z_3 - z_2 \geqslant 8$). Модуль при этом остаётся свободным параметром: он задаёт габарит, а не кинематику, и подбирается отдельно по прочности, как в разборе расчёта зубчатой передачи и подбора модуля.

Что меняется, если остановить другое звено

Одна и та же схема даёт разные передаточные отношения в зависимости от того, какое звено закреплено, а какое ведущее. Переключи чипы в калькуляторе сверху и сравни с таблицей для наших зубьев.

Видно главное свойство планетарной схемы: наибольшее замедление даёт вариант с неподвижным эпициклом, а закреплённое водило превращает механизм в обычный реверсивный редуктор с наружным и внутренним зацеплением. Если ни одно звено не закреплено, мы имеем дифференциал: задаются две скорости, третья считается по той же формуле Виллиса. Например, при $n_1 = 1440$ об/мин и $n_3 = -300$ об/мин подстановка в $(\omega_1 - \omega_h) / (\omega_3 - \omega_h) = -4$ даёт $n_h = 48$ об/мин.

Сравнение с обычной схемой полезно держать в голове при выборе привода: чтобы получить $u = 5$ на цилиндрическом редукторе, нужна пара 20 и 100 зубьев с разнесёнными осями, и считается она отношением зубьев напрямую, как в разборе передаточного числа редуктора. Планетарный ряд даёт то же отношение соосно и делит нагрузку между тремя сателлитами, поэтому он компактнее при равном моменте.

Частые ошибки

• Считают отношение как $z_3 / z_1$ напрямую. Получается 4 вместо 5. Отношение зубьев верно только для обращённого механизма, в реальном к нему добавляется единица от переносного движения водила.
• Теряют знак внутреннего зацепления. Пара солнце - сателлит даёт минус, пара сателлит - эпицикл плюс. Если поставить два минуса, обращённое отношение выйдет $+4$, и водило поедет не в ту сторону.
• Забывают, что $z_2$ в формулу не входит. Число зубьев сателлита сокращается и на передаточное отношение не влияет вообще: оно нужно только для геометрии и для проверки условий. Менять $z_2$ ради нужного $u$ бессмысленно.
• Не проверяют условие сборки. Соосность может сойтись, а сборка нет: при $z_1 = 24$ и $z_3 = 94$ сателлит получается целым ($z_2 = 35$), но $(24 + 94)/3 = 39{,}33$, и три сателлита в одинаковые впадины уже не встанут. Проверки идут по порядку: соосность, сборка, соседство.
• Путают абсолютную и относительную скорость сателлита. Для расчёта подшипника сателлита нужна относительная частота 768 об/мин, а не абсолютная 480 об/мин: обойма вращается вместе с водилом.
• Берут разные модули в двух зацеплениях. Условие соосности в форме $z_3 = z_1 + 2 z_2$ верно только при одинаковом модуле; иначе складывать надо радиусы, а не зубья.

FAQ

Чем передаточное отношение отличается от передаточного числа? Передаточное число $u$ в машиностроительных расчётах берут по модулю и как отношение большего к меньшему, а передаточное отношение сохраняет знак и направление отсчёта. В планетарных механизмах знак принципиален, поэтому здесь пользуются именно отношением с индексами: $u^{(3)}_{1h} = 5$ и $u^{(3)}_{h1} = 0{,}2$ описывают одну схему в разных направлениях.

Почему нельзя просто поделить зубья эпицикла на зубья солнца? Потому что оси сателлитов движутся, и передача не является рядовой. Деление зубьев даёт отношение только в системе отсчёта, связанной с водилом, то есть для обращённого механизма. Переход к неподвижному корпусу и добавляет ту самую единицу.

Сколько сателлитов ставить? Обычно три: этого хватает для симметричной нагрузки на центральные колёса, и условие сборки при трёх выполняется чаще всего. Четыре и больше ставят, когда надо разгрузить зубья, но тогда условие соседства начинает срезать допустимые комбинации зубьев.

Какое максимальное передаточное отношение даёт одинарный ряд? Практический предел для схемы с неподвижным эпициклом около 8 - 9: дальше эпицикл разрастается, а сателлиты становятся такими мелкими, что нарушается условие соседства и подрезание. Большие отношения получают двухрядными схемами или последовательным соединением ступеней.

Коротко

1. Найди зубья сателлита из соосности: $z_2 = (z_3 - z_1)/2 = 36$.
2. Обрати механизм, остановив водило, и посчитай рядовое отношение $u^{(h)}_{13} = -z_3 / z_1 = -4$.
3. Подставь неподвижное звено в формулу Виллиса и получи реальное отношение $u^{(3)}_{1h} = 1 + z_3/z_1 = 5$.
4. Раздели обороты: $n_h = 1440 / 5 = 288$ об/мин; сателлит даёт 768 об/мин относительно водила и 480 об/мин в обратную сторону в абсолютном движении.
5. Проверь три условия: соосность, сборка $(z_1 + z_3)/k = 40$ целое, соседство $51{,}96 > 38$. Ответ засчитывается только с этими проверками.