Как рассчитать маховик: пример расчёта по ТММ

Дано: вал машинного агрегата вращается с частотой $n = 300$ об/мин, наибольшая избыточная работа за цикл установившегося движения $\Delta A_{\max} = 880$ Дж, допустимый коэффициент неравномерности хода $\delta = 1/30$, приведённый момент инерции остальных звеньев $J_{\text{пр}} = 0{,}75$ кг·м². Маховик делают чугунным колесом со средним диаметром обода $D = 1{,}0$ м и шириной обода $b = 100$ мм. Найти: момент инерции маховика и размеры его обода.

Маховик считают по одной формуле: нужный момент инерции маховых масс равен избыточной работе, делённой на произведение коэффициента неравномерности и квадрата средней угловой скорости. Ответ: $J_{\text{м}} \approx 26{,}0$ кг·м², обод весит 104 кг, его сечение 46 см² (100 на 46 мм), окружная скорость 15,7 м/с - чугун такую выдерживает. Калькулятор сверху пересчитывает и момент инерции, и размеры под любые обороты, работу и неравномерность.

Решение по шагам

Шаг 1. Средняя угловая скорость вала. Частоту вращения переводим в угловую скорость:

$$\omega_{\text{ср}} = \frac{\pi n}{30} = \frac{3{,}1416 \cdot 300}{30} = 31{,}42 \ \text{рад/с}.$$

Именно эта величина входит в формулу маховика в квадрате, поэтому ошибка в переводе оборотов сразу удваивается в ответе.

Шаг 2. Суммарный момент инерции маховых масс. Подставляем избыточную работу и неравномерность:

$$J_{\Sigma} = \frac{\Delta A_{\max}}{\delta \, \omega_{\text{ср}}^2} = \frac{880}{\frac{1}{30} \cdot 31{,}42^2} = \frac{880}{\frac{986{,}96}{30}} = \frac{880}{32{,}90} = 26{,}75 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2.$$

Это то, сколько маховых масс должно быть на валу в сумме, а не масса отдельной детали.

Шаг 3. Момент инерции собственно маховика. Звенья механизма тоже запасают кинетическую энергию, и их вклад уже учтён приведённым моментом инерции. Вычитаем его:

$$J_{\text{м}} = J_{\Sigma} - J_{\text{пр}} = 26{,}75 - 0{,}75 = 26{,}0 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2.$$

В учебных задачах $J_{\text{пр}}$ часто в десятки раз меньше $J_{\Sigma}$, и его иногда отбрасывают. Отбрасывать можно только тогда, когда это прямо разрешено условием: при тихоходных валах вклад звеньев доходит до десятой доли и перестаёт быть погрешностью.

Шаг 4. Масса обода. Основную часть момента инерции маховика даёт обод, а спицы и ступица сидят близко к оси и почти не работают. Поэтому в первом приближении всю массу считают сосредоточенной на среднем диаметре обода:

$$J_{\text{м}} \approx m \left(\frac{D}{2}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{4 J_{\text{м}}}{D^2} = \frac{4 \cdot 26{,}0}{1{,}0^2} = 104 \ \text{кг}.$$

Шаг 5. Сечение обода. Обод - это кольцо, его объём равен длине средней окружности, умноженной на площадь сечения. Отсюда площадь:

$$A = \frac{m}{\rho \pi D} = \frac{104}{7200 \cdot 3{,}1416 \cdot 1{,}0} = 0{,}0046 \ \text{м}^2 = 46{,}0 \ \text{см}^2.$$

При заданной ширине $b = 100$ мм толщина обода в радиальном направлении

$$h = \frac{A}{b} = \frac{0{,}0046}{0{,}1} = 0{,}046 \ \text{м} = 46 \ \text{мм}.$$

Шаг 6. Проверка по окружной скорости. Обод рвут центробежные силы, поэтому диаметр ограничен сверху:

$$v = \frac{\omega_{\text{ср}} D}{2} = \frac{31{,}42 \cdot 1{,}0}{2} = 15{,}7 \ \text{м/с}.$$

Для литого чугуна допускают порядка 25–30 м/с, для стального сварного обода вдвое больше. Запас есть. Заодно видно, в каких пределах будет гулять вал: $n_{\max} = 305$ об/мин и $n_{\min} = 295$ об/мин, то есть ровно 10 об/мин размаха.

Ответ: $J_{\text{м}} = 26{,}0$ кг·м²; чугунный обод среднего диаметра 1,0 м, сечение 100 на 46 мм, масса обода 104 кг (всё колесо со спицами и ступицей - около 125 кг), окружная скорость 15,7 м/с.

Формула и откуда она берётся

Коэффициент неравномерности хода - это относительный размах угловой скорости за цикл:

$$\delta = \frac{\omega_{\max} - \omega_{\min}}{\omega_{\text{ср}}}, \qquad \omega_{\text{ср}} = \frac{\omega_{\max} + \omega_{\min}}{2}.$$

За цикл работа движущих сил равна работе сил сопротивления, но внутри цикла они расходятся: то одна больше, то другая. Разность накопленных работ и есть избыточная работа, и она целиком уходит в изменение кинетической энергии вращающихся масс. Между моментом самой быстрой и моментом самой медленной точки цикла

$$\Delta A_{\max} = \frac{J_{\Sigma} \omega_{\max}^2}{2} - \frac{J_{\Sigma} \omega_{\min}^2}{2} = \frac{J_{\Sigma}}{2}(\omega_{\max} + \omega_{\min})(\omega_{\max} - \omega_{\min}).$$

Заменяем сумму на $2\omega_{\text{ср}}$, а разность на $\delta \omega_{\text{ср}}$ и получаем рабочую формулу $\Delta A_{\max} = J_{\Sigma} \delta \omega_{\text{ср}}^2$, из которой и выражают $J_{\Sigma}$. Никаких упрощений здесь нет: преобразование точное, приближённым является только допущение, что $J_{\Sigma}$ за цикл постоянен.

Само понятие момента инерции и способы его подсчёта для тел разной формы разобраны отдельно, в статье про момент инерции тела относительно оси - здесь оно используется как готовый инструмент.

Как найти наибольшую избыточную работу

В курсовой работе по ТММ число 880 Дж не дают готовым: его снимают с диаграммы. Сначала строят приведённый момент сил сопротивления по положениям механизма - как он считается, показано в разборе про приведённую силу и приведённый момент. Затем интегрируют его по углу и получают диаграмму работ.

Пусть цикл разбит на шесть участков по 60 градусов и приращения избыточной работы на них получились такими:

Сумма приращений за цикл равна нулю - это проверка, что моменты приведены правильно. Дальше ищут не самое большое приращение, а размах накопленной кривой:

$$\Delta A_{\max} = \Delta A^{+}_{\max} - \Delta A^{-}_{\min} = 380 - (-500) = 880 \ \text{Дж}.$$

На графике калькулятора сверху это зелёная полоса между максимумом и минимумом. Максимум кривой отвечает самому быстрому положению вала, минимум - самому медленному, и маховик обязан перекрыть разрыв между ними целиком.

Какой коэффициент неравномерности задавать

Коэффициент $\delta$ не считают, а берут из норм по типу машины: он выражает требование к качеству хода, а не свойство механизма. Ориентиры такие:

Зависимость жёсткая и обратная: если потребовать вдвое более ровный ход, маховик станет вдвое тяжелее. Это хорошо видно на третьем режиме графика в калькуляторе - гипербола круто уходит вверх слева. Отсюда практическое правило: не назначать $\delta$ «с запасом» - каждая лишняя доля точности оплачивается металлом, габаритом и временем разгона машины.

Размеры обода и куда ставить маховик

Формула $J = mD^2/4$ работает в обе стороны, и это главный рычаг конструктора. Момент инерции растёт как квадрат диаметра, поэтому колесо большего диаметра при той же инерции заметно легче: если в нашей задаче взять $D = 1{,}4$ м вместо 1,0 м, масса обода упадёт со 104 до 53 кг. Ограничивают рост только две вещи - габарит машины и допустимая окружная скорость.

Второй рычаг - вал, на котором стоит маховик. В формулу входит квадрат угловой скорости, поэтому на быстроходном валу тот же эффект даёт многократно меньший маховик. Маховик почти всегда сажают на самый быстрый вал агрегата, чаще прямо на вал двигателя, а если в схеме есть передача - учитывают передаточное число при приведении.

Отношение ширины к толщине обода берут в пределах от 1,5 до 3; наша пропорция 100 на 46 мм укладывается в этот диапазон. Масса спиц и ступицы в расчёт момента инерции не входит, но в массу изделия входит и добавляет примерно 15–20 процентов. Проверить, как реальные ускорения звеньев соотносятся с выровненным ходом вала, помогает план ускорений механизма, а подобранный маховик заодно облегчает выбор мощности двигателя: пик нагрузки срезается, и по нагреву проходит машина меньшего номинала.

Частые ошибки

• Берут максимальное приращение работы вместо размаха накопленной кривой. В таблице выше самое большое по модулю приращение равно 620 Дж, а правильный ответ 880 Дж. Работать нужно с интегральной кривой, а не с отдельными участками.
• Забывают перевести обороты в рад/с. Подстановка 300 вместо 31,42 занижает момент инерции в сто раз, и маховик получается размером с кулак.
• Путают $\delta$ и $1/\delta$. В условии почти всегда стоит дробь 1/30, и в формулу идёт именно 0,0333, а не 30.
• Не вычитают приведённый момент инерции звеньев. Ошибка небольшая, но в курсовой её снимают всегда: маховик должен добирать недостающее, а не дублировать уже имеющееся.
• Считают момент инерции обода как для сплошного диска ($mR^2/2$). Обод - кольцо, вся его масса лежит на радиусе $R$, и делить на два нельзя: маховик окажется вдвое слабее нужного.
• Не проверяют окружную скорость. Соблазн увеличить диаметр и сэкономить металл упирается в прочность: чугунный обод при 30 м/с уже на пределе.

FAQ

Можно ли не разбивать цикл на участки, если дана только мощность? Нет. Избыточная работа - величина внутрицикловая, средняя мощность о ней ничего не говорит. Если диаграммы нет, в задачах обычно задают долю: избыточная работа принимается равной некоторому проценту от работы движущих сил за цикл.

Чем отличается расчёт маховика для пресса от расчёта для двигателя? Только числами. У пресса избыточная работа огромна (весь рабочий ход идёт за долю оборота), зато $\delta$ допускают крупным; у двигателя наоборот. Формула одна и та же.

Что будет, если маховик сделать тяжелее расчётного? Ход станет ровнее, но машина будет дольше разгоняться и останавливаться, вырастут нагрузки на подшипники и фундамент, а при частых пусках увеличится расход энергии. Поэтому маховик подбирают по норме, а не «побольше».

Почему в ответе масса обода и масса маховика разные? В момент инерции считается только обод: спицы и ступица лежат близко к оси и вкладывают единицы процентов. А в массу изделия они входят полностью, поэтому колесо на 104 кг обода весит около 125 кг.

Коротко

1. Перевести обороты в среднюю угловую скорость: $\omega_{\text{ср}} = \pi n / 30 = 31{,}42$ рад/с.
2. Снять с диаграммы работ размах накопленной избыточной работы: $\Delta A_{\max} = 380 - (-500) = 880$ Дж.
3. Найти суммарный момент инерции маховых масс: $J_{\Sigma} = \Delta A_{\max} / (\delta \omega_{\text{ср}}^2) = 26{,}75$ кг·м².
4. Вычесть приведённый момент инерции звеньев: $J_{\text{м}} = 26{,}75 - 0{,}75 = 26{,}0$ кг·м².
5. Перейти к размерам: $m = 4 J_{\text{м}} / D^2 = 104$ кг, сечение обода 46 см² (100 на 46 мм), окружная скорость 15,7 м/с - в допуске для чугуна.