Как найти приведённую силу: пример решения по ТММ

Дано: кривошипно-ползунный механизм. Кривошип $OA = 0{,}25$ м вращается вокруг неподвижной оси $O$ с угловой скоростью $\omega_1 = 12$ рад/с, шатун $AB = 1{,}0$ м имеет массу $m_2 = 12$ кг и центр масс $S$ посередине, ползун $B$ массой $m_3 = 8$ кг ходит по направляющей, проходящей через $O$. Момент инерции кривошипа относительно оси вращения $J_1 = 0{,}15$ кг·м². В положении $\varphi = 60^\circ$ к ползуну приложена сила полезного сопротивления $F_{\text{пс}} = 1200$ Н, направленная против его скорости. Найти: приведённую к пальцу кривошипа силу $F_{\text{пр}}$ и приведённый момент $M_{\text{пр}}$.

Приведение делается по одному правилу: мощность приведённой силы равна сумме мощностей всех заданных сил механизма. Ответ: $F_{\text{пр}} \approx 1202$ Н против скорости точки $A$, что на валу кривошипа даёт $M_{\text{пр}} \approx 300$ Н·м против вращения. Калькулятор сверху пересчитывает обе величины под любые длины звеньев, любую нагрузку и любое положение кривошипа и рисует их за полный оборот.

Решение по шагам

Шаг 1. Выбираем звено и точку приведения. Механизм одноподвижный: положение всех звеньев задаёт одна координата, поэтому всю нагрузку можно свести к одному звену. Приводим к кривошипу, точка приведения - палец $A$, её скорость и есть тот масштаб, на который делится суммарная мощность:

$$v_A = \omega_1 \cdot OA = 12 \cdot 0{,}25 = 3{,}00 \ \text{м/с}.$$

Шаг 2. Скорость ползуна. Сила сопротивления приложена к ползуну, значит нужна скорость точки $B$. Она снимается с плана скоростей или считается аналитически по проекциям контура $OAB$:

$$v_B = \omega_1 \cdot OA \left( \sin\varphi + \frac{OA \sin\varphi \cos\varphi}{\sqrt{AB^2 - OA^2 \sin^2\varphi}} \right).$$

Подкоренное выражение: $\sqrt{1{,}0^2 - 0{,}25^2 \cdot 0{,}866^2} = 0{,}976$ м. Тогда $v_B = 3{,}00 \cdot (0{,}866 + 0{,}111) = 2{,}93$ м/с. Тот же результат даёт чертёж: как он строится, показано в задаче про построение плана скоростей.

Шаг 3. Скорость центра масс шатуна. Тяжесть шатуна тоже совершает работу, поэтому нужна скорость точки $S$. Середина отрезка $AB$ движется со средней скоростью его концов, а поскольку у ползуна вертикальной составляющей нет, вертикальная составляющая скорости точки $S$ равна половине вертикальной составляющей скорости точки $A$:

$$v_{Sy} = \frac{\omega_1 \cdot OA \cos\varphi}{2} = \frac{12 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5}{2} = 0{,}75 \ \text{м/с (вверх)}.$$

Полный модуль скорости центра масс равен $v_S = 2{,}86$ м/с, но для мощности силы тяжести нужна именно вертикальная проекция.

Шаг 4. Мощность каждой заданной силы. Мощность равна произведению модуля силы на модуль скорости точки приложения и на косинус угла между ними:

$$\begin{aligned} P_{\text{пс}} &= -F_{\text{пс}} \cdot v_B = -1200 \cdot 2{,}93 = -3517 \ \text{Вт}, \\ P_{G2} &= -m_2 g \cdot v_{Sy} = -12 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}75 = -88{,}3 \ \text{Вт}, \\ P_{G3} &= m_3 g \cdot v_B \cos 90^\circ = 0. \end{aligned}$$

Сила сопротивления направлена против скорости ползуна, поэтому её мощность отрицательна. Центр масс шатуна в этом положении поднимается, и тяжесть тоже тормозит механизм. Вес ползуна перпендикулярен его скорости, и косинус прямого угла обнуляет слагаемое. Сумма мощностей $\sum P = -3517 - 88{,}3 = -3605$ Вт.

Шаг 5. Приведённая сила. Приведённая сила по определению даёт ту же мощность, будучи приложенной в точке приведения вдоль её скорости:

$$F_{\text{пр}} = \frac{\sum P}{v_A} = \frac{-3605}{3{,}00} = -1202 \ \text{Н}.$$

Минус означает, что сила направлена против скорости точки $A$, то есть это приведённая сила сопротивления.

Шаг 6. Приведённый момент. Умножаем приведённую силу на плечо - радиус кривошипа, потому что $F_{\text{пр}} \perp OA$:

$$M_{\text{пр}} = F_{\text{пр}} \cdot OA = -1202 \cdot 0{,}25 = -300{,}4 \ \text{Н} \cdot \text{м}, \qquad M_{\text{пр}} = \frac{\sum P}{\omega_1} = \frac{-3605}{12} = -300{,}4 \ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Ответ. $F_{\text{пр}} = 1202$ Н, направлена против скорости точки $A$; $M_{\text{пр}} = 300{,}4$ Н·м, направлен против вращения кривошипа.

Формула и откуда она берётся

Механизм с одной степенью подвижности - это преобразователь: сколько мощности вошло, столько и вышло, если не считать потерь. Отсюда и определение. Приведённая сила - это условная сила, приложенная в выбранной точке звена приведения вдоль её скорости, мощность которой равна сумме мощностей всех заданных сил и моментов механизма:

$$F_{\text{пр}} \cdot v_A = \sum_{i} F_i v_i \cos\alpha_i + \sum_{i} M_i \omega_i .$$

В левой части один множитель, в правой - вся нагрузка: силы полезного сопротивления, тяжести звеньев, силы трения, моменты на валах. Угол $\alpha_i$ отсчитывается между вектором силы и вектором скорости точки её приложения, и именно он расставляет знаки: острый угол даёт движущую составляющую, тупой - сопротивление, прямой обнуляет вклад.

В знаменателе стоит скорость точки приведения, а не точки приложения силы: приведённая сила замещает не отдельную силу, а всю нагрузку сразу. Отсюда и зависимость от положения механизма: отношение $v_B / v_A$ меняется от нуля в мёртвых точках до величины больше единицы в середине хода.

Полезное свойство: от угловой скорости кривошипа приведённая сила не зависит - и числитель, и знаменатель пропорциональны $\omega_1$, в дробь входят только отношения скоростей. Подвигайте ползунок угловой скорости в калькуляторе сверху: мощности меняются, а приведённая сила стоит на месте. Нарушится это лишь при нагрузке, зависящей от скорости.

Формально приведённая сила - частный случай обобщённой силы для системы с одной степенью свободы, и считается она тем же способом, через мощность или через работу на возможном перемещении. Общая техника с примерами разобрана в статье про обобщённые координаты и обобщённые силы.

Приведённая сила или приведённый момент

Обе величины несут одну и ту же информацию и отличаются множителем - плечом. Если звено приведения вращается, удобнее момент: $M_{\text{пр}} = \sum P / \omega_1$. Если звено приведения движется поступательно, естественнее сила. Связь между ними та же, что и в статике: момент равен произведению силы на плечо силы, а в нашем случае плечо равно длине кривошипа, потому что приведённая сила ему перпендикулярна.

Обратите внимание на единицы: приведённая сила измеряется в ньютонах, приведённый момент - в ньютон-метрах, и путать их в ответе нельзя. Численно они совпадут только при $OA = 1$ м.

Дальше приведённый момент используют в уравнении движения машины: строят диаграмму $M_{\text{пр}}(\varphi)$ за оборот, интегрированием получают диаграмму работ, а по неравномерности хода подбирают маховик. График в калькуляторе сверху - это и есть первая из этих диаграмм. Средняя за оборот величина нужна и для выбора двигателя: как это делается по нагрузочной диаграмме, показано в разборе про выбор мощности двигателя.

Приведение масс: приведённый момент инерции

Массы приводятся к тому же звену и по той же логике, только равенство пишется не для мощностей, а для кинетических энергий. Приведённый момент инерции - это момент инерции условного тела на звене приведения, кинетическая энергия которого равна сумме энергий всех звеньев:

$$\frac{I_{\text{пр}} \omega_1^2}{2} = \sum_i \left( \frac{m_i v_{Si}^2}{2} + \frac{J_{Si} \omega_i^2}{2} \right), \qquad I_{\text{пр}} = \sum_i \left[ m_i \left( \frac{v_{Si}}{\omega_1} \right)^2 + J_{Si} \left( \frac{\omega_i}{\omega_1} \right)^2 \right].$$

Для нашего механизма нужны ещё две величины: собственный момент инерции шатуна $J_{S2} = m_2 AB^2 / 12 = 1{,}0$ кг·м² и его угловая скорость $\omega_2 = v_{BA} / AB = 1{,}54$ рад/с, где $v_{BA} = 1{,}54$ м/с - относительная скорость точки $B$ вокруг полюса $A$.

Получилось $I_{\text{пр}} = 1{,}33$ кг·м². Переключите калькулятор в режим приведения масс: за оборот эта величина меняется почти в четыре раза, от 0,40 до 1,45 кг·м², причём минимумы приходятся ровно на мёртвые точки, где ползун останавливается и самое тяжёлое слагаемое выпадает из суммы. Именно переменность $I_{\text{пр}}$ и заставляет машину идти неравномерно даже при постоянном моменте двигателя.

Частые ошибки

• Делят на скорость точки приложения силы. В знаменателе всегда стоит скорость точки приведения: $F_{\text{пр}} = \sum P / v_A$, а не $\sum P / v_B$. Здесь скорости точек $A$ и $B$ близки и ошибка почти незаметна, но в мёртвой точке она превращается в деление на ноль.
• Забывают косинус угла. В мощность входит проекция скорости на линию действия силы. Вес ползуна даёт ровно ноль, а вес шатуна входит только вертикальной составляющей скорости центра масс, а не полным модулем 2,86 м/с.
• Теряют знак. Отрицательная приведённая сила - сопротивление, положительная - движущая. Складывать модули нельзя: в мёртвой точке опускающийся шатун разгоняет механизм, и суммарная приведённая сила меняет знак.
• Путают силу и момент. $F_{\text{пр}}$ измеряется в ньютонах и относится к точке приведения, $M_{\text{пр}}$ в ньютон-метрах и относится к звену. Переход между ними - умножение на длину кривошипа.
• Считают приведённую силу постоянной. Это функция положения: за оборот она меняется от нескольких десятков ньютонов в мёртвых точках, где ползун стоит, до максимума по модулю около 1252 Н при $\varphi = 75^\circ$. Ответ без указания положения механизма неполон.
• В приведённом моменте инерции берут $\omega_2 = \omega_1$. Шатун вращается со своей угловой скоростью, здесь она почти в восемь раз меньше кривошипной, поэтому его вращательный вклад мал, а поступательный велик.

FAQ

Чем приведённая сила отличается от обобщённой? Ничем принципиально: для механизма с одной степенью подвижности обобщённая сила по координате $\varphi$ и есть приведённый момент. Термин «приведение» пришёл из ТММ, «обобщённая сила» - из аналитической механики, техника подсчёта через мощность одна и та же.

К какому звену приводить? Обычно к начальному, то есть к кривошипу или валу двигателя: именно там потом решается уравнение движения машины и ставится маховик. Формально приводить можно к любому звену, но численный ответ будет другим, поэтому в записи ответа звено и точку приведения указывают обязательно.

Нужно ли учитывать силы инерции звеньев? В приведённую силу они не входят. Приведение сводит заданные внешние силы, а инерция звеньев учитывается отдельно, через приведённый момент инерции в левой части уравнения движения. Если инерционные силы включить в оба места, они удвоятся.

Как приводить нагрузку через редуктор? Через передаточное отношение: момент делится на передаточное число и на КПД передачи, а момент инерции - на квадрат передаточного числа. Это тот же расчёт мощностей, записанный для вращательных звеньев, и он опирается на передаточное число редуктора.

Коротко

1. Выбрать звено и точку приведения и найти скорость этой точки: $v_A = \omega_1 \cdot OA = 3{,}00$ м/с.
2. Найти скорости точек приложения всех заданных сил: $v_B = 2{,}93$ м/с, вертикальная составляющая скорости центра масс шатуна 0,75 м/с.
3. Посчитать мощность каждой силы с учётом косинуса угла: $-3517$ Вт у силы сопротивления, $-88{,}3$ Вт у тяжести шатуна, ноль у тяжести ползуна.
4. Разделить сумму мощностей на скорость точки приведения: $F_{\text{пр}} = -3605 / 3{,}00 = -1202$ Н, знак минус означает сопротивление.
5. Перейти к моменту умножением на радиус кривошипа: $M_{\text{пр}} = -300{,}4$ Н·м; массы приводятся отдельно и дают $I_{\text{пр}} = 1{,}33$ кг·м².