Как рассчитать зубчатую передачу: геометрия и прочность

Дано: прямозубая цилиндрическая передача без смещения, модуль $m = 3$ мм, числа зубьев $z_1 = 25$ и $z_2 = 75$, ширина зубчатого венца $b = 50$ мм, крутящий момент на шестерне $T_1 = 120$ Н·м, колёса стальные улучшенные, допускаемое контактное напряжение $[\sigma_H] = 500$ МПа, коэффициент нагрузки $K_H = 1{,}1$. Найти: делительные диаметры, диаметры вершин и впадин, межосевое расстояние, силы в зацеплении и проверить передачу на контактную прочность.

Вся геометрия цилиндрической передачи вырастает из модуля: делительный диаметр равен $d = mz$, межосевое расстояние - полусумме делительных диаметров. Прочность считают отдельно, по контактным напряжениям в полюсе зацепления. Ответ: $d_1 = 75$ мм, $d_2 = 225$ мм, $a_w = 150$ мм, $\sigma_H = 473$ МПа против допускаемых 500 МПа, недогрузка 5,4 %. Калькулятор сверху пересчитает всё это под другой модуль, числа зубьев и момент, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Сводим исходные данные в таблицу.

Шаг 1. Передаточное число. Отношение чисел зубьев показывает, во сколько раз колесо крупнее шестерни:

$$u = \frac{z_2}{z_1} = \frac{75}{25} = 3.$$

Дальше оно понадобится только в формуле контактного напряжения: обороты и момент на выходном валу считают отдельно, это разобрано в задаче про передаточное число редуктора.

Шаг 2. Делительные диаметры. Делительная окружность - та, по которой модуль отмеряет шаг зубьев, поэтому её диаметр равен модулю на число зубьев:

$$d_1 = m z_1 = 3 \cdot 25 = 75 \ \text{мм}, \qquad d_2 = m z_2 = 3 \cdot 75 = 225 \ \text{мм}.$$

Шаг 3. Межосевое расстояние. Делительные окружности пары касаются, значит расстояние между осями равно полусумме диаметров:

$$a_w = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{m (z_1 + z_2)}{2} = \frac{3 \cdot 100}{2} = 150 \ \text{мм}.$$

Шаг 4. Диаметры вершин и впадин. Головка зуба выступает над делительной окружностью на один модуль, ножка уходит внутрь на 1,25 модуля:

$$\begin{aligned} d_{a1} &= d_1 + 2m = 75 + 6 = 81 \ \text{мм}, & d_{a2} &= 225 + 6 = 231 \ \text{мм}, \\ d_{f1} &= d_1 - 2{,}5m = 75 - 7{,}5 = 67{,}5 \ \text{мм}, & d_{f2} &= 225 - 7{,}5 = 217{,}5 \ \text{мм}. \end{aligned}$$

Высота зуба $h = 2{,}25m = 6{,}75$ мм, шаг по делительной окружности $p = \pi m = 9{,}42$ мм.

Шаг 5. Силы в зацеплении. Окружная сила равна моменту, делённому на радиус делительной окружности, радиальная получается из угла профиля:

$$F_t = \frac{2 T_1}{d_1} = \frac{2 \cdot 120000}{75} = 3200 \ \text{Н},$$ $$F_r = F_t \operatorname{tg} \alpha = 3200 \cdot 0{,}364 = 1165 \ \text{Н}, \qquad F_n = \frac{F_t}{\cos \alpha} = 3405 \ \text{Н}.$$

Момент здесь переведён в ньютон-миллиметры, иначе сила выйдет в тысячу раз меньше.

Шаг 6. Коэффициент торцового перекрытия. Он показывает, сколько пар зубьев в среднем зацеплено одновременно, и входит в расчёт через $Z_\varepsilon$:

$$\varepsilon_\alpha = 1{,}88 - 3{,}2 \left( \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} \right) = 1{,}88 - 3{,}2 \cdot 0{,}0533 = 1{,}71,$$ $$Z_\varepsilon = \sqrt{\frac{4 - \varepsilon_\alpha}{3}} = \sqrt{\frac{2{,}29}{3}} = 0{,}874.$$

Шаг 7. Контактное напряжение. Подставляем всё в проверочную формулу для прямозубой передачи:

$$\sigma_H = Z_M Z_H Z_\varepsilon \sqrt{\frac{F_t K_H (u + 1)}{d_1 b u}} = 275 \cdot 1{,}76 \cdot 0{,}874 \sqrt{\frac{3200 \cdot 1{,}1 \cdot 4}{75 \cdot 50 \cdot 3}}.$$

По частям: множитель перед корнем $275 \cdot 1{,}76 \cdot 0{,}874 = 423$, подкоренное выражение $14080 / 11250 = 1{,}252$, корень из него $1{,}119$. Итого:

$$\sigma_H = 423 \cdot 1{,}119 = 473 \ \text{МПа}.$$

Шаг 8. Сравнение с допускаемым. Условие прочности выполняется:

$$\sigma_H = 473 \ \text{МПа} \le [\sigma_H] = 500 \ \text{МПа}, \qquad \frac{500 - 473}{500} = 5{,}4 \ \%.$$

Недогрузка 5,4 % нормальна: передачу принимают, если напряжение ниже допускаемого не более чем на 10-15 % и выше не более чем на 5 %. Слишком большой запас означает, что колёса вышли тяжелее нужного.

Ответ. $d_1 = 75$ мм и $d_2 = 225$ мм, вершины 81 и 231 мм, впадины 67,5 и 217,5 мм, $a_w = 150$ мм, окружная сила 3200 Н, контактное напряжение $\sigma_H = 473$ МПа при допускаемых 500 МПа - передача проходит.

Формула геометрии: почему всё держится на модуле

Модуль - это шаг зубьев, делённый на число пи: $m = p / \pi$. Определение чисто практическое: шаг по делительной окружности равен $p = \pi d / z$, и если задавать размер зуба шагом, все диаметры выходили бы иррациональными. Деление на пи убирает трансцендентность: $d = mz$.

Модули стандартизованы ГОСТ 9563 (1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6 и далее): под каждый нужен свой режущий инструмент, и нестандартный модуль означает отдельный заказ червячной фрезы. График в калькуляторе сверху построен по этому ряду - межосевое расстояние растёт с модулем линейно, а контактное напряжение падает.

Два колеса входят в зацепление только при одинаковом модуле и угле профиля, поэтому отношение диаметров равно отношению чисел зубьев. Профиль зуба эвольвентный: у эвольвенты окружности нормаль в точке контакта всегда проходит через полюс, и передаточное отношение не колеблется в течение оборота.

Снизу число зубьев ограничено семнадцатью: при меньшем инструмент подрезает ножку зуба, и это обходят смещением исходного контура. В задаче $z_1 = 25$, подрезания нет.

Делительный, начальный и основной диаметры

Три диаметра путают чаще всего, хотя различаются они по смыслу.

Делительный диаметр $d = mz$ - свойство одного колеса: окружность, по которой шаг зубьев равен $\pi m$, а толщина зуба равна ширине впадины.

Начальный диаметр $d_w$ - свойство пары: начальные окружности касаются в полюсе и катятся друг по другу без скольжения. У передачи без смещения они совпадают с делительными: $d_{w1} = d_1 = 75$ мм, $d_{w2} = d_2 = 225$ мм.

Расходятся они, когда межосевое расстояние подгоняют под корпус. Пусть нужно $a_w = 152$ мм вместо расчётных 150:

$$d_{w1} = \frac{2 a_w}{u + 1} = \frac{2 \cdot 152}{4} = 76 \ \text{мм}, \qquad d_{w2} = 228 \ \text{мм},$$

а угол зацепления вырастает с 20 до 22 градусов:

$$\cos \alpha_w = \frac{a \cos \alpha}{a_w} = \frac{150 \cdot 0{,}9397}{152} = 0{,}927.$$

Основной диаметр $d_b = d \cos \alpha$ - окружность, с которой разматывается эвольвента: 70,5 и 211,4 мм. В расчёте размеров она не участвует, но нужна для построения профиля.

Проверка на контактную прочность: что означают коэффициенты

Формула контактного напряжения - теория Герца, приведённая к параметрам зацепления: в полюсе зубья касаются по линии, и напряжение зависит от нагрузки на единицу длины, кривизны профилей и упругости материалов. Вывод исходной формулы разобран в статье про контактные напряжения по Герцу, здесь важен смысл множителей.

$Z_M = 275$ учитывает упругие свойства: он собран из модулей упругости и коэффициентов Пуассона колёс и для стальной пары всегда одинаков. $Z_H = 1{,}76$ - коэффициент формы сопряжённых поверхностей для прямозубой передачи без смещения при угле 20 градусов, у косозубой он меньше. $Z_\varepsilon$ учитывает, что нагрузку делят несколько пар зубьев: чем больше перекрытие, тем ниже напряжение.

Коэффициент нагрузки $K_H$ собирается из двух: $K_{H\beta}$ учитывает перекос зубьев по ширине венца, $K_{Hv}$ - динамическую добавку от погрешностей шага. При симметричных опорах, отношении ширины к диаметру шестерни около 0,6 и окружной скорости до 3 м/с оба берут около 1,05, произведение даёт 1,1. Чем шире венец, тем сильнее перекос, поэтому наращивать ширину бесконечно бессмысленно.

Допускаемое напряжение задаёт термообработка: нормализация до HB 200 - около 450 МПа, улучшение до HB 280 - 500 МПа, закалка ТВЧ - 750 МПа, цементация со шлифовкой - 1000 МПа и выше. Поэтому редуктор с закалёнными колёсами при том же моменте получается заметно компактнее.

Что делать, если передача не прошла проверку

Допустим, колёса решили только нормализовать: $[\sigma_H] = 450$ МПа. Тогда 473 МПа дают перегрузку 5,1 %, и передачу надо переделывать. Рычагов три.

Ширина венца. Напряжение убывает как корень из ширины: нужно $b' = b (473/450)^2 = 55{,}3$ мм, округляем до 56 мм и получаем 447 МПа. Способ дешёвый, но отношение ширины к диаметру шестерни растёт до 0,75, а с ним и перекос $K_{H\beta}$.

Модуль. При том же числе зубьев переход с модуля 3 на 4 поднимает делительный диаметр шестерни до 100 мм, а межосевое расстояние до 200 мм. Напряжение падает до 355 МПа: диаметр входит в знаменатель дважды, через окружную силу и через длину контактной линии. Плата - габариты и масса передачи.

Термообработка. Закалка ТВЧ вместо улучшения поднимает допускаемое напряжение с 450 до 750 МПа, не меняя ни одного размера. Дороже в изготовлении, зато передача остаётся компактной.

Проверка на контакт не единственная: зуб может выкрошиться от контактных напряжений, а может сломаться у основания от изгиба - это независимый расчёт по $\sigma_F$. У закрытых передач с твёрдостью до HB 350 определяющим обычно оказывается контакт, у открытых и закалённых - изгиб. Силы $F_t$ и $F_r$ дальше идут в расчёт валов и опор, как в разборе подбора диаметра вала.

Прежде чем считать геометрию, полезно понять строение самого механизма: степень подвижности и группы Ассура разобраны в задаче про класс механизма.

Частые ошибки

• Считают модуль диаметром или складывают его с числом зубьев. Модуль - миллиметры на один зуб: при $m = 3$ и $z = 25$ диаметр 75 мм, а не 28 и не 3.
• Берут для межосевого расстояния диаметры вершин. В формулу $a_w = (d_1 + d_2)/2$ идут делительные диаметры, иначе расстояние выйдет на два модуля больше.
• Забывают перевести момент в ньютон-миллиметры. $F_t = 2T_1/d_1$ при $T_1$ в ньютон-метрах и $d_1$ в миллиметрах даёт силу в тысячу раз меньше настоящей.
• Подставляют в проверку диаметр колеса вместо шестерни. В знаменателе стоит $d_1$: за оборот шестерня нагружается чаще и изнашивается быстрее.
• Задают колёсам разные модули. У шестерни и колеса модуль одинаков всегда, иначе зубья не войдут в зацепление.
• Округляют межосевое расстояние, не трогая модуль и зубья. Подгонка $a_w$ под ряд превращает передачу в передачу со смещением: начальные диаметры перестают совпадать с делительными.

FAQ

Чем модуль отличается от шага зацепления? Шаг $p$ - расстояние между одноимёнными профилями соседних зубьев по делительной окружности; он иррационален. Модуль равен $p / \pi$ и введён так, чтобы диаметры выходили круглыми: $d = mz$. При $m = 3$ мм шаг равен 9,42 мм.

Как определить модуль готового колеса? Померить диаметр вершин штангенциркулем и посчитать зубья: $m = d_a / (z + 2)$. Для колеса на 75 зубьев с вершинами 231 мм выходит $231 / 77 = 3$ мм. Результат округляют до стандартного ряда: обмер всегда с погрешностью.

Что делать, если задано межосевое расстояние, а не модуль? Из $a_w = m(z_1 + z_2)/2$ выражают сумму зубьев: $z_1 + z_2 = 2 a_w / m$. Задаются модулем из ряда, разбивают сумму по передаточному числу, округляют до целых и проверяют, сошлось ли межосевое расстояние.

Чем расчёт косозубой передачи отличается от прямозубой? Появляется угол наклона зуба, и делительный диаметр считают по нормальному модулю: $d = m_n z / \cos \beta$. Из-за наклона возникает третья, осевая сила на подшипники, зато перекрытие растёт, шум падает, а допускаемая нагрузка при тех же габаритах выше.

Коротко

1. Вся геометрия строится от модуля: делительный диаметр $d = mz$, в примере 75 и 225 мм, вершины $d + 2m$, впадины $d - 2{,}5m$.
2. Межосевое расстояние равно полусумме делительных диаметров: $a_w = m(z_1 + z_2)/2 = 150$ мм.
3. Делительный диаметр принадлежит колесу, начальный - паре: они совпадают только при передаче без смещения, когда $a_w = a$.
4. Силы в зацеплении: $F_t = 2T_1/d_1 = 3200$ Н, $F_r = F_t \operatorname{tg} \alpha = 1165$ Н; момент подставляют в ньютон-миллиметрах.
5. Проверка на контакт: $\sigma_H = Z_M Z_H Z_\varepsilon \sqrt{F_t K_H (u+1)/(d_1 b u)} = 473$ МПа при допускаемых 500 МПа, недогрузка 5,4 % - передача проходит.