Как найти угол зацепления: расчёт по шагам

Дано: прямозубая цилиндрическая передача, модуль $m = 4$ мм, числа зубьев $z_1 = 20$ и $z_2 = 40$, угол профиля исходного контура $\alpha = 20^\circ$, фактическое межосевое расстояние $a_w = 122$ мм. Найти: угол зацепления $\alpha_w$ и суммарный коэффициент смещения $x_\Sigma$.

Угол зацепления не измеряют по зубу и не берут из таблицы: он вычисляется из одного-единственного условия. Основные окружности колёс при раздвижке осей не меняются, поэтому $\cos\alpha_w = a\cos\alpha / a_w$. Ответ: $\alpha_w = 22{,}44^\circ$, то есть $22^\circ 26'$, суммарный коэффициент смещения $x_\Sigma = 0{,}53$. Калькулятор сверху пересчитает то же самое для любой передачи и в обратную сторону, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Шаг 1. Делительное межосевое расстояние. Это то расстояние, на котором оси стояли бы у обычной передачи без смещения:

$$a = \frac{m(z_1 + z_2)}{2} = \frac{4 \cdot (20 + 40)}{2} = 120 \text{ мм}.$$

Фактически оси разведены на 122 мм, то есть на 2 мм дальше. Уже отсюда видно, что передача со смещением и угол зацепления будет больше $20^\circ$.

Шаг 2. Основные окружности. Именно они и есть тот инвариант, на котором держится весь расчёт: эвольвента зуба нарезана от основной окружности, и раздвинуть оси, не изменив эту окружность, можно как угодно.

$$\begin{aligned} d_{b1} &= m z_1 \cos\alpha = 4 \cdot 20 \cdot 0{,}93969 = 75{,}175 \text{ мм}, \\ d_{b2} &= m z_2 \cos\alpha = 4 \cdot 40 \cdot 0{,}93969 = 150{,}351 \text{ мм}. \end{aligned}$$

Шаг 3. Начальные диаметры. Начальные окружности всегда касаются друг друга, значит их сумма равна удвоенному межосевому расстоянию, а делятся они в отношении чисел зубьев:

$$d_{w1} = \frac{2 a_w z_1}{z_1 + z_2} = \frac{2 \cdot 122 \cdot 20}{60} = 81{,}333 \text{ мм}, \qquad d_{w2} = \frac{2 \cdot 122 \cdot 40}{60} = 162{,}667 \text{ мм}.$$

Шаг 4. Угол зацепления. Основная окружность связана с начальной через косинус угла зацепления, $d_b = d_w\cos\alpha_w$. Отсюда прямо:

$$\cos\alpha_w = \frac{d_{b1}}{d_{w1}} = \frac{a\cos\alpha}{a_w} = \frac{120 \cdot 0{,}93969}{122} = \frac{112{,}763}{122} = 0{,}92429.$$ $$\alpha_w = \arccos 0{,}92429 = 22{,}44^\circ = 22^\circ 26'.$$

Шаг 5. Суммарный коэффициент смещения. Толщина зубьев по начальным окружностям должна сложиться в шаг, и это условие даёт связь через эвольвентную функцию $\operatorname{inv}\alpha = \tan\alpha - \alpha$ (угол в радианах):

$$\begin{aligned} \operatorname{inv} 20^\circ &= 0{,}36397 - 0{,}34907 = 0{,}014904, \\ \operatorname{inv} 22{,}44^\circ &= 0{,}41296 - 0{,}39163 = 0{,}021332. \end{aligned}$$ $$x_\Sigma = \frac{(z_1 + z_2)\,(\operatorname{inv}\alpha_w - \operatorname{inv}\alpha)}{2\tan\alpha} = \frac{60 \cdot (0{,}021332 - 0{,}014904)}{2 \cdot 0{,}36397} = \frac{0{,}38568}{0{,}72794} = 0{,}530.$$

Шаг 6. Проверка. Сумма начальных диаметров $81{,}333 + 162{,}667 = 244$ мм ровно вдвое больше межосевого расстояния, как и должно быть. Коэффициент воспринимаемого смещения $y = (a_w - a)/m = 2/4 = 0{,}5$, он меньше суммарного, и разность $\Delta y = x_\Sigma - y = 0{,}03$ и есть коэффициент уравнительного смещения, на который укорачивают головки зубьев.

Ответ: угол зацепления $\alpha_w = 22{,}44^\circ$ ($22^\circ 26'$), суммарный коэффициент смещения $x_\Sigma = 0{,}53$.

Формула и откуда она берётся

Зубья эвольвентного колеса касаются друг друга только на одной прямой, общей касательной к двум основным окружностям. Эта прямая и называется линией зацепления, а угол между ней и общей касательной к начальным окружностям в полюсе есть угол зацепления $\alpha_w$. Линия зацепления неподвижна, поэтому направление силы между зубьями в прямозубой передаче не меняется за весь период контакта.

Из прямоугольного треугольника, где гипотенуза идёт от центра колеса в полюс зацепления, а катет равен радиусу основной окружности, сразу следует $r_b = r_w\cos\alpha_w$. Радиус основной окружности зависит только от модуля, числа зубьев и угла профиля инструмента, то есть от того, чем колесо нарезано, а радиус начальной окружности задаётся тем, на сколько разведены оси. Подставив $r_b = r\cos\alpha$ и $r_w = r\,a_w/a$, получаем рабочую формулу:

$$\cos\alpha_w = \frac{a\cos\alpha}{a_w}.$$

Формула объясняет и тонкость терминологии, на которой спотыкаются в курсовом проекте. Угол профиля $\alpha$ принадлежит колесу поодиночке, это параметр режущего инструмента. Угол зацепления $\alpha_w$ принадлежит паре колёс и зависит от того, как их поставили. У нулевой передачи, где оси стоят на делительном расстоянии, обе величины совпадают, и потому в учебных задачах их так легко перепутать. Геометрия самой эвольвенты, из которой всё это выводится, разобрана отдельно в статье про эвольвенту окружности.

Обратная задача: угол по суммарному смещению

Чаще задают не межосевое расстояние, а коэффициенты смещения колёс $x_1$ и $x_2$. Тогда порядок обратный: сначала эвольвентная функция угла зацепления, потом сам угол, потом расстояние.

$$\operatorname{inv}\alpha_w = \operatorname{inv}\alpha + \frac{2 x_\Sigma \tan\alpha}{z_1 + z_2}, \qquad a_w = \frac{a\cos\alpha}{\cos\alpha_w}.$$

Проверим на своих числах: $\operatorname{inv}\alpha_w = 0{,}014904 + 2\cdot 0{,}53\cdot 0{,}36397/60 = 0{,}021334$, и это ровно то значение, что получилось в шаге 5. Беда в том, что $\operatorname{inv}\alpha_w$ обратить аналитически нельзя: уравнение $\tan\alpha_w - \alpha_w = C$ трансцендентное. В учебниках по ТММ для этого есть таблицы эвольвентной функции, в калькуляторе сверху угол ищется половинным делением.

Пользоваться таблицей просто: посчитал $\operatorname{inv}\alpha_w$, нашёл два соседних значения и проинтерполировал. Наши 0,021332 лежат между $22^\circ$ и $23^\circ$ ближе к нижней границе, что и даёт $22^\circ 26'$.

Почему угол профиля стандартный, а зацепления плавающий

Угол профиля исходного контура в отечественных передачах равен $20^\circ$ по ГОСТ 13755, и это компромисс. Минимальное число зубьев без подрезания ножки равно $z_{\min} = 2 h_a^* / \sin^2\alpha$: при $20^\circ$ выходит 17 зубьев, при старом дюймовом $14{,}5^\circ$ уже 32, а при усиленном $25^\circ$ всего 11. Чем угол больше, тем компактнее шестерня и прочнее зуб на изгиб, но тем сильнее радиальная сила, распирающая опоры.

Угол зацепления такой свободы не имеет только формально. Раздвигая оси, конструктор меняет его в обе стороны: чтобы вписать передачу в заданное межосевое расстояние редуктора, чтобы убрать подрезание у шестерни с малым числом зубьев или чтобы выровнять прочность колёс. В нашей задаче рост с $20^\circ$ до $22{,}44^\circ$ увеличивает радиальную силу на 13 процентов: $\tan 22{,}44^\circ / \tan 20^\circ = 1{,}135$. Это же отношение придётся учесть при подборе подшипников, и дальше расчёт идёт так, как в разборе зубчатой передачи целиком. Если модуль в условии не дан, а колесо есть в руках, его сначала определяют по обмеру, как в задаче про модуль зубчатого колеса.

Частые ошибки

• Угол зацепления $\alpha_w$ путают с углом профиля $\alpha$ и во всех расчётах подставляют 20 градусов. Они равны только у нулевой передачи, где $a_w = a$.
• В формуле $\cos\alpha_w = d_b/d_w$ вместо начального диаметра берут делительный. Тогда косинус всегда равен $\cos\alpha$, и угол зацепления «получается» ровно 20 градусов при любом межосевом расстоянии.
• Считают, что смещение инструмента меняет основную окружность. Не меняет: $d_b = m z\cos\alpha$, и ни $x_1$, ни $x_2$ в эту формулу не входят, меняется только используемый участок эвольвенты.
• В эвольвентной функции угол оставляют в градусах: $\tan 20^\circ - 20 = -19{,}64$ вместо 0,0149. В $\operatorname{inv}\alpha = \tan\alpha - \alpha$ вычитаемое всегда в радианах.
• Теряют двойку в знаменателе $2\tan\alpha$ и получают вдвое меньший коэффициент смещения.
• Приравнивают $x_\Sigma$ к $y = (a_w - a)/m$. Эти величины близки, но не равны, и их разность $\Delta y$ как раз и определяет укорочение головки зуба.

FAQ

Чему равен угол зацепления в обычной передаче? Двадцати градусам. У передачи без смещения начальные окружности совпадают с делительными, и угол зацепления равен углу профиля исходного контура по ГОСТ 13755. Именно поэтому в справочных формулах сил так часто стоит готовое $\tan 20^\circ = 0{,}364$.

Может ли угол зацепления быть меньше 20 градусов? Может, если оси сближены относительно делительного расстояния, то есть суммарный коэффициент смещения отрицательный. Такие передачи применяют реже: у них хуже контактная прочность и выше риск подрезания зубьев шестерни.

Зачем угол зацепления нужен на практике? Он задаёт направление нормальной силы между зубьями. Через него считают радиальную силу $F_r = F_t\tan\alpha_w$ и нормальную $F_n = F_t/\cos\alpha_w$, а значит нагрузку на валы и подшипники, а также коэффициент в формуле контактных напряжений.

Есть ли предел, до которого можно раздвигать оси? Формальный предел в том, что косинус не бывает больше единицы: при $a_w < a\cos\alpha$ решения нет вовсе. Практический предел наступает раньше, когда коэффициент перекрытия падает ниже 1,2 и зацепление становится прерывистым.

Коротко

1. Считаем делительное межосевое расстояние $a = m(z_1 + z_2)/2$ и сравниваем с фактическим $a_w$.
2. Угол зацепления берём из постоянства основной окружности: $\cos\alpha_w = a\cos\alpha / a_w$.
3. Суммарное смещение находим через эвольвентную функцию: $x_\Sigma = (z_1 + z_2)(\operatorname{inv}\alpha_w - \operatorname{inv}\alpha)/(2\tan\alpha)$.
4. Обратный ход, если дано смещение: сначала $\operatorname{inv}\alpha_w$, потом угол по таблице, потом $a_w = a\cos\alpha/\cos\alpha_w$.
5. Для примера с $m = 4$ мм, $z_1 = 20$, $z_2 = 40$ и $a_w = 122$ мм: $\alpha_w = 22{,}44^\circ$ ($22^\circ 26'$), $x_\Sigma = 0{,}53$.