Как найти коэффициент смещения: решение по шагам

Дано: прямозубое цилиндрическое колесо, число зубьев $z = 14$, модуль $m = 5$ мм, исходный контур нормальный по ГОСТ 13755: угол профиля $\alpha = 20^\circ$, коэффициент высоты головки $h_a^* = 1$, коэффициент радиального зазора $c^* = 0{,}25$. Найти: минимальный коэффициент смещения, при котором зуб не подрезается, и размеры колеса при принятом смещении.

Коэффициент смещения нельзя измерить штангенциркулем и нельзя взять из таблицы: его назначают, и отправная точка всегда одна - число зубьев. Пока зубьев больше семнадцати, смещение не нужно вовсе; как только их меньше, инструмент начинает срезать ножку зуба, и смещение считают как долю недостающих зубьев. Ответ: $x_{\min} = 0{,}181$, принимаем $x = 0{,}2$; толщина зуба по делительной окружности растёт с 7,85 до 8,58 мм, диаметр вершин - с 80,0 до 82,0 мм, вершина не заострена. Калькулятор сверху строит рабочий коридор смещений для любого колеса, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Сводим исходные данные и коэффициенты нормального исходного контура в таблицу.

Шаг 1. Минимальное число зубьев без смещения. Колесо нарезают инструментальной рейкой, и подрезание начинается, когда прямолинейная вершина рейки заходит за точку касания линии зацепления с основной окружностью. Отсюда пороговое число зубьев:

$$z_{\min} = \frac{2h_a^*}{\sin^2\alpha} = \frac{2 \cdot 1}{\sin^2 20^\circ} = \frac{2}{0{,}1170} = 17{,}1 \approx 17.$$

У нашего колеса $z = 14 < 17$, значит, без смещения ножка зуба будет подрезана и колесо надо нарезать со смещением.

Шаг 2. Минимальный коэффициент смещения. Инструмент нужно отвести от центра заготовки ровно настолько, чтобы его вершина не переходила опасную точку. Недостающую часть высоты головки и выражает коэффициент смещения:

$$x_{\min} = h_a^* - \frac{z\sin^2\alpha}{2} = 1 - \frac{14 \cdot 0{,}1170}{2} = 1 - 0{,}819 = 0{,}181.$$

Та же величина получается через пороговое число зубьев: $x_{\min} = h_a^*(z_{\min} - z)/z_{\min}$. Если подставить округлённое $z_{\min} = 17$, выйдет 0,176 - на практике обе записи считают равноправными.

Шаг 3. Принимаем рабочее смещение. Считать впритык по минимуму не принято: зуборезная рейка притупляется, наладка станка имеет погрешность, а подрезание проявляется сразу. Округляем вверх и принимаем $x = 0{,}2$.

Шаг 4. Толщина зуба по делительной окружности. Отвод инструмента утолщает зуб у основания ровно на удвоенное смещение по касательной к профилю:

$$s = m\left(\frac{\pi}{2} + 2x\tan\alpha\right) = 5\,(1{,}5708 + 2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}3640) = 5 \cdot 1{,}7164 = 8{,}58\ \text{мм}.$$

У того же колеса без смещения толщина была бы $s_0 = \pi m / 2 = 7{,}85$ мм, то есть зуб потолстел на 0,73 мм, или на 9,3 %.

Шаг 5. Диаметры колеса. Делительный диаметр от смещения не зависит - он задан модулем и числом зубьев, а вот заготовку под смещённое колесо берут крупнее:

$$\begin{aligned} d &= mz = 5 \cdot 14 = 70\ \text{мм},\\ d_a &= m(z + 2h_a^* + 2x) = 5\,(14 + 2 + 0{,}4) = 82{,}0\ \text{мм},\\ d_f &= m(z - 2h_a^* - 2c^* + 2x) = 5\,(14 - 2 - 0{,}5 + 0{,}4) = 59{,}5\ \text{мм}. \end{aligned}$$

Без смещения те же диаметры составили бы 80,0 и 57,5 мм: оба выросли на $2xm = 2$ мм.

Шаг 6. Проверка вершины на заострение. Утолщая зуб у основания, смещение утончает его на вершине, поэтому расчёт всегда заканчивают проверкой. Основной диаметр $d_b = d\cos\alpha = 70 \cdot 0{,}9397 = 65{,}78$ мм, угол профиля в точке вершины $\alpha_a = \arccos(d_b / d_a) = \arccos 0{,}8022 = 36{,}66^\circ$, и через эвольвентную функцию $\mathrm{inv}\,\alpha = \tan\alpha - \alpha$:

$$s_a = d_a\left(\frac{s}{d} + \mathrm{inv}\,\alpha - \mathrm{inv}\,\alpha_a\right) = 82{,}0\,(0{,}1226 + 0{,}0149 - 0{,}1045) = 2{,}71\ \text{мм}.$$

Это 0,54 модуля при допустимом минимуме 0,25 модуля, то есть 1,25 мм. Запас двукратный, заострения нет.

Ответ: $x_{\min} = 0{,}181$, принято $x = 0{,}2$; толщина зуба по делительной окружности 8,58 мм, диаметры вершин и впадин 82,0 и 59,5 мм, толщина на вершине 2,71 мм - подрезания и заострения нет.

Формула и откуда она берётся

Смещение исходного контура - это сдвиг зуборезной рейки относительно делительной окружности заготовки, измеренный в модулях. Величину сдвига в миллиметрах обозначают $xm$; само число $x$ и называют коэффициентом смещения. Положительным считают сдвиг от центра колеса, отрицательным - к центру.

Нарезание эвольвентного зуба - это обкатка: рейка катится по делительной окружности, и её прямолинейный профиль обводит эвольвенту окружности. Эвольвента существует только вне основной окружности, поэтому рабочий профиль зуба обрывается на ней. Если вершина рейки при обкатке заходит внутрь этой границы, она срезает уже нарезанный материал у корня зуба - это и есть подрезание.

Условие отсутствия подрезания записывают через высоту головки рейки: она не должна превышать расстояние от делительной прямой до точки касания линии зацепления с основной окружностью, а оно равно $z m \sin^2\alpha / 2$. Приравняв обе величины, получают $z_{\min} = 2h_a^*/\sin^2\alpha$, а разность высот, выраженная в модулях, даёт формулу шага 2. Из неё же видно, почему у стандартного контура порогом служит именно 17 зубьев: число зависит только от угла профиля и высоты головки. Увеличьте $\alpha$ до 25 градусов - и порог упадёт до 11 зубьев, возьмите укороченный зуб с $h_a^* = 0{,}8$ - и до 14. Оба приёма проверяются чипами в калькуляторе сверху.

Чем платят за смещение

Смещение не бесплатно: выигрыш у корня зуба оборачивается проигрышем у вершины. Толщина зуба по делительной окружности растёт линейно, а по окружности вершин - падает, и при достаточно большом $x$ профили сходятся в точку. Заострённая вершина не держит закалку, выкрашивается и портит соседний зуб, поэтому в расчёте держат ограничение $s_a \geq 0{,}25m$ для улучшенных колёс и $s_a \geq 0{,}4m$ для цементованных.

Эти два условия и задают рабочий коридор смещения. Для нашего колеса нижняя граница - 0,181 по подрезанию, верхняя - около 0,63 по заострению; принятое значение 0,2 стоит у самого левого края коридора, что для шестерни нормально. На графике в калькуляторе коридор затенён, и видно, как он сужается с уменьшением числа зубьев: у восьмизубой шестерни выбирать почти не из чего.

Есть и третий эффект, о котором на курсовой обычно забывают. При положительном смещении зуб работает более удалённым участком эвольвенты, где профиль менее изогнут, а радиусы кривизны больше. Контактные напряжения от этого падают, и передача со смещением при тех же габаритах выдерживает больший момент. Ровно поэтому смещение назначают и там, где подрезания нет: чтобы выровнять прочность шестерни и колеса или вписать передачу в заданное межосевое расстояние.

Смещение у передачи, а не у колеса

В паре колёс работают два смещения, $x_1$ и $x_2$, и важна прежде всего их сумма $x_\Sigma = x_1 + x_2$. Она определяет, на сколько разойдутся оси и каким станет угол зацепления. Возможны три случая.

Равносмещённая передача - самый частый приём в курсовых: шестерне дают плюс, колесу столько же с минусом, суммарное смещение остаётся нулевым, межосевое расстояние не меняется, а слабый зуб шестерни усиливается за счёт зуба колеса, у которого запас прочности и так больше. Условие применимости простое: у колеса должно хватать зубьев, чтобы принять отрицательное смещение без подрезания, то есть $z_2 \geq z_{\min} + x_1 z_{\min}$.

Если сумма смещений отлична от нуля, межосевое расстояние перестаёт равняться полусумме делительных диаметров, и геометрию передачи считают уже через эвольвентную функцию. Эта связь разобрана в задаче про расчёт зубчатой передачи, а сам модуль, от которого пляшут все размеры, - в разборе, как найти модуль зубчатого колеса по обмеру.

Частые ошибки

• Считают $x_{\min}$ по числу зубьев колеса, а не шестерни. Подрезание грозит малому колесу; у большого $x_{\min}$ получается отрицательным, и формула теряет смысл.
• Путают смещение $x$ и сдвиг в миллиметрах $xm$. На чертеже проставляют миллиметры, в расчёте фигурирует безразмерный коэффициент; при модуле 5 мм смещение 0,2 - это 1 мм.
• Забывают знак у отрицательного смещения при расчёте толщины зуба: в формуле $s = m(\pi/2 + 2x\tan\alpha)$ минус уменьшает толщину, и пропущенный знак завышает её вдвое от поправки.
• Меняют делительный диаметр вслед за смещением. Величина $d = mz$ от $x$ не зависит вообще: растут только диаметры вершин и впадин.
• Останавливаются на подрезании и не проверяют заострение. Для шестерён с числом зубьев меньше 12 и смещением больше 0,8 проверка $s_a \geq 0{,}25m$ обязательна.
• Берут $x = x_{\min}$ без округления вверх. Минимум - это граница, на которой подрезание уже начинается; рабочее значение всегда крупнее.

FAQ

Может ли коэффициент смещения быть отрицательным? Может, и это нормальная ситуация. Отрицательное смещение задают колесу с большим числом зубьев в равносмещённой паре или когда передачу нужно вписать в межосевое расстояние меньше делительного. Ограничение одно: подрезание, то есть $x \geq h_a^* - z\sin^2\alpha/2$, а у колеса с 40 и более зубьями эта граница лежит глубоко в отрицательной области.

Почему минимальное число зубьев именно 17? Потому что так получается для стандартного исходного контура с углом профиля 20 градусов и полной высотой головки: $2/\sin^2 20^\circ = 17{,}1$. Число не универсально - оно целиком определяется контуром инструмента, и при другом угле профиля порог другой.

Что такое суммарный коэффициент смещения и зачем он нужен? Это сумма смещений обоих колёс пары. Именно она, а не отдельные $x_1$ и $x_2$, определяет угол зацепления и межосевое расстояние передачи. Отдельные значения влияют на толщину зубьев и распределение прочности между шестернёй и колесом.

Можно ли обойтись без смещения при 14 зубьях? Можно, если сменить исходный контур: укороченный зуб с $h_a^* = 0{,}8$ снижает порог до 14 зубьев, а увеличенный угол профиля 25 градусов - до 11. Оба варианта нестандартны и требуют специального инструмента, поэтому в учебных расчётах идут по проторенной дороге - через смещение.

Коротко

1. Найди порог подрезания: $z_{\min} = 2h_a^*/\sin^2\alpha$, для стандартного контура это 17 зубьев.
2. Если зубьев меньше, посчитай минимальное смещение $x_{\min} = h_a^* - z\sin^2\alpha/2$; при $z = 14$ это 0,181.
3. Округли вверх и прими рабочее значение: $x = 0{,}2$.
4. Пересчитай размеры: толщина зуба $s = m(\pi/2 + 2x\tan\alpha) = 8{,}58$ мм, диаметры вершин и впадин 82,0 и 59,5 мм, делительный диаметр остался 70 мм.
5. Проверь вершину на заострение: $s_a = 2{,}71$ мм больше допустимых $0{,}25m = 1{,}25$ мм, смещение принято.