Как подобрать диаметр вала: расчёт на кручение

Дано: стальной вал передаёт мощность $P = 15$ кВт при частоте вращения $n = 240$ об/мин; допускаемое касательное напряжение $[\tau] = 25$ МПа, допускаемый относительный угол закручивания $[\theta] = 0{,}5$ град/м, модуль сдвига $G = 8 \cdot 10^4$ МПа, сечение сплошное круглое. Найти: диаметр вала.

Диаметр считают дважды: из условия прочности и из условия жёсткости, а в чертёж идёт больший из двух, округлённый вверх до стандартного размера. Ответ: по прочности хватило бы 49,5 мм, по жёсткости нужно 54,3 мм, принимаем стандартный диаметр 56 мм. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: обе проверки приведены там к процентам от допускаемого, и сразу видно, что кривая жёсткости упирается в предел раньше кривой прочности.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Крутящий момент на валу. В условии дана не нагрузка, а мощность, поэтому первым делом переходим к моменту через угловую скорость $\omega = \pi n / 30$:

$$T = \frac{P}{\omega} = \frac{30\,000 \cdot P}{\pi n} = \frac{30\,000 \cdot 15}{\pi \cdot 240} \approx 596{,}8\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Здесь мощность подставлена в киловаттах, а числитель $30\,000$ уже учитывает перевод в ватты. Инженерная запись $T = 9550 P / n$ даёт то же самое: $9550 \cdot 15 / 240 = 596{,}9$ Н·м. Дальше все размеры считаем в миллиметрах, поэтому переводим момент в Н·мм: $T = 596\,800$ Н·мм.

Шаг 2. Диаметр из условия прочности. Условие прочности при кручении $\tau_{\max} = T / W_p \le [\tau]$, а полярный момент сопротивления круга $W_p = \pi d^3 / 16$. Подставляем одно в другое и выражаем диаметр:

$$d_{\text{пр}} \ge \sqrt[3]{\frac{16 T}{\pi [\tau]}} = \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 596\,800}{\pi \cdot 25}} = \sqrt[3]{121\,600} \approx 49{,}5\ \text{мм}.$$

Шаг 3. Диаметр из условия жёсткости. Относительный угол закручивания $\theta = T / (G I_p)$ не должен превышать допускаемый, а полярный момент инерции круга $I_p = \pi d^4 / 32$. Допускаемое значение переводим в рад/мм: $[\theta] = 0{,}5 \cdot \pi / 180 / 1000 = 8{,}73 \cdot 10^{-6}$ рад/мм. Отсюда

$$d_{\text{ж}} \ge \sqrt[4]{\frac{32 T}{\pi G [\theta]}} = \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 596\,800}{\pi \cdot 8 \cdot 10^4 \cdot 8{,}73 \cdot 10^{-6}}} \approx \sqrt[4]{8{,}71 \cdot 10^6} \approx 54{,}3\ \text{мм}.$$

Шаг 4. Выбор большего и округление. Расчётным становится больший диаметр: $d = \max(49{,}5;\ 54{,}3) = 54{,}3$ мм. Округляем вверх до ближайшего размера ряда Ra40 по ГОСТ 6636: ближайшие значения 53 и 56 мм, вниз округлять нельзя, значит принимаем $d = 56$ мм.

Шаг 5. Проверка принятого диаметра. Считаем геометрические характеристики сечения диаметром 56 мм:

$$W_p = \frac{\pi d^3}{16} = \frac{\pi \cdot 56^3}{16} \approx 34\,482\ \text{мм}^3, \qquad I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi \cdot 56^4}{32} \approx 965\,500\ \text{мм}^4.$$

Максимальное касательное напряжение и относительный угол закручивания:

$$\tau_{\max} = \frac{596\,800}{34\,482} \approx 17{,}3\ \text{МПа} < 25\ \text{МПа}, \qquad \theta = \frac{596\,800}{8 \cdot 10^4 \cdot 965\,500} \approx 0{,}443\ \text{град/м} < 0{,}5\ \text{град/м}.$$

Оба условия выполнены: прочность загружена на 69 %, жёсткость на 89 %. Для контроля проверим отброшенный размер 53 мм: там $\theta = 0{,}552$ град/м, то есть жёсткость нарушена, и меньший стандартный диаметр действительно не проходит.

Ответ: принимаем вал диаметром 56 мм; определяющим оказалось условие жёсткости.

Формула и откуда она берётся

Обе рабочие формулы получаются из одного и того же приёма: берём условие, подставляем в него геометрическую характеристику круга и разрешаем неравенство относительно $d$. Разница только в том, какая характеристика стоит в знаменателе. За напряжение отвечает полярный момент сопротивления $W_p = \pi d^3 / 16$, за деформацию, то есть за угол поворота сечений, отвечает полярный момент инерции $I_p = \pi d^4 / 32$. Вывод самих формул кручения, распределение напряжений по сечению и связь $\tau$ с расстоянием от оси разобраны в статье кручение круглого вала, здесь мы пользуемся результатом.

Практический вывод следует прямо из степеней. Прочность зависит от диаметра в третьей степени, жёсткость в четвёртой, поэтому при увеличении диаметра угол закручивания падает быстрее напряжения, а при уменьшении растёт быстрее. На тихоходных сильно нагруженных валах и на длинных трансмиссионных валах определяющим почти всегда оказывается условие жёсткости, а на быстроходных валах с малым моментом чаще выигрывает прочность. В нашем примере момент велик из-за низких оборотов, поэтому и победила жёсткость.

Отдельно стоит держать в голове размерности. Момент по формуле мощности получается в ньютон-метрах, а диаметр мы ищем в миллиметрах, поэтому момент обязательно переводится в Н·мм умножением на 1000. Допускаемый угол в справочниках дают в градусах на метр, а формула требует радиан на миллиметр: множитель перехода равен $\pi / 180 / 1000$. Обе ошибки дают промах ровно в тысячу раз и видны по абсурдному диаметру.

Почему округляем вверх и до стандартного ряда

Полученные 54,3 мм не число из справочника, а нижняя граница: любой диаметр меньше него нарушает одно из условий. Поэтому округление всегда идёт вверх, и не до красивого числа, а до значения нормального ряда линейных размеров ГОСТ 6636. Ряд Ra40 в интересующем нас диапазоне выглядит так: 45, 48, 50, 53, 56, 60, 63, 67, 71, 75, 80 мм. Именно на эти размеры существует инструмент, калибры и посадки, поэтому вал диаметром 54,5 мм технолог просто не сделает по разумной цене.

Есть и второй фильтр, о котором забывают в учебной задаче. Если участок вала садится в подшипник качения, диаметр обязан совпадать с диаметром отверстия подшипника, а тот кратен пяти: 50, 55, 60 мм. Тогда из ряда берут не 56, а ближайшее подходящее посадочное значение 60 мм. Если на участке есть шпоночный паз, расчётный диаметр дополнительно увеличивают примерно на 5-10 %, потому что паз срезает часть рабочего сечения, а концентрация напряжений у его дна выше средней.

Вариации условия

Полый вал. Кольцевое сечение с отношением внутреннего диаметра к наружному $\alpha = d_0 / D$ вводит в обе характеристики множитель $(1 - \alpha^4)$:

$$W_p = \frac{\pi D^3}{16}\left(1 - \alpha^4\right), \qquad I_p = \frac{\pi D^4}{32}\left(1 - \alpha^4\right).$$

Для наших исходных данных при $\alpha = 0{,}6$ получаем $D_{\text{пр}} = 51{,}9$ мм и $D_{\text{ж}} = 56{,}2$ мм, то есть принимаем $D = 60$ мм при внутреннем диаметре 36 мм. Наружный размер вырос, зато площадь сечения упала с 2463 до 1810 мм², то есть металла ушло на 27 % меньше при выполнении обоих условий. Причина в том, что центральная зона вала почти не работает: напряжение там близко к нулю.

Задан не мощность, а момент. Тогда шаг 1 просто пропускается. Если момент приходит через редуктор, его сначала пересчитывают на нужный вал: момент растёт во столько же раз, во сколько падает частота вращения, а как найти это отношение, разобрано в задаче про передаточное число редуктора.

Вал не только крутится, но и изгибается. Реальный вал редуктора нагружен ещё и силами в зацеплении, поэтому по нему строят эпюру изгибающих моментов, находят опасное сечение и считают диаметр по эквивалентному моменту $M_{\text{экв}} = \sqrt{M^2 + T^2}$ через осевой момент сопротивления сечения, а не по одному кручению. Чистое кручение, как в нашей задаче, это первое приближение и типовая учебная постановка.

Частые ошибки

• Момент оставлен в Н·м. Если диаметр ищут в миллиметрах, момент должен быть в Н·мм. Пропущенное умножение на 1000 уменьшает подкоренное выражение в тысячу раз и даёт диаметр около 5 мм вместо 50.
• Допускаемый угол не переведён в радианы на миллиметр. Подстановка 0,5 прямо в формулу вместо $8{,}73 \cdot 10^{-6}$ рад/мм занижает требуемый диаметр в несколько раз, и жёсткость проваливается.
• Перепутаны $W_p$ и $I_p$. Момент сопротивления с третьей степенью идёт в условие прочности, момент инерции с четвёртой в условие жёсткости. Подстановка одного вместо другого сразу ломает размерность.
• Взят меньший из двух диаметров. Условия проверяются оба, и удовлетворять надо обоим, поэтому в ответ идёт максимум, а не первый посчитанный или более удобный результат.
• Округление вниз до соседнего размера ряда. Разница между 53 и 56 мм кажется мелочью, но в нашем примере именно она превращает выполненное условие жёсткости в нарушенное.
• Забыт пересчёт частоты. В формулу подставляют обороты того вала, для которого ищут диаметр, а не обороты двигателя: на тихоходном валу момент в разы больше.

FAQ

Какое условие проверять первым, прочность или жёсткость? Порядок не важен, важно посчитать оба и взять больший диаметр. На практике удобнее начинать с прочности: формула короче, а полученное число сразу показывает масштаб задачи. Если после этого жёсткость даёт заметно больший диаметр, значит вал тихоходный или длинный, и решает именно деформация.

Откуда брать допускаемые значения, если их нет в условии? Для валов общего назначения из конструкционной стали в учебных расчётах принимают $[\tau] = 20 \dots 40$ МПа, а допускаемый относительный угол закручивания $[\theta] = 0{,}25 \dots 1$ град/м в зависимости от назначения вала. Заниженные значения $[\tau]$ по сравнению с пределом текучести при сдвиге взяты не случайно: так неявно учитывают изгиб, концентрацию напряжений у шпоночного паза и переменный характер нагрузки.

Нужно ли считать угол закручивания всего вала? В подборе диаметра работает относительный угол, то есть угол на метр длины, потому что допускаемое значение задано именно так. Полный угол считают отдельно по формуле $\varphi = T l / (G I_p)$, когда нужно оценить точность привода. Для принятого вала диаметром 56 мм на длине 1,2 м это $\varphi \approx 0{,}53^\circ$.

Почему при одинаковом моменте вал из чугуна получается толще? Из-за модуля сдвига: у чугуна $G$ примерно вдвое ниже, чем у стали, поэтому при том же сечении он закручивается вдвое сильнее. Диаметр в условии жёсткости зависит от $G$ в степени $1/4$, так что двукратное падение модуля увеличивает требуемый диаметр примерно на 19 %. Переключение материала в калькуляторе сверху показывает это сразу.

Коротко

1. Переведи мощность в крутящий момент: $T = 30\,000 P / (\pi n)$, для 15 кВт при 240 об/мин это 596,8 Н·м, или 596 800 Н·мм.
2. Посчитай диаметр из условия прочности $d \ge \sqrt[3]{16 T / (\pi [\tau])}$: получается 49,5 мм.
3. Посчитай диаметр из условия жёсткости $d \ge \sqrt[4]{32 T / (\pi G [\theta])}$, переведя $[\theta]$ в рад/мм: получается 54,3 мм.
4. Возьми больший из двух и округли вверх по ГОСТ 6636: 54,3 мм превращаются в стандартные 56 мм.
5. Проверь принятый диаметр по обоим условиям: $\tau_{\max} = 17{,}3$ МПа против 25 МПа и $\theta = 0{,}443$ град/м против 0,5 град/м. Ответ: вал диаметром 56 мм.