Как найти главные напряжения: формулы и пример расчёта

Дано: плоское напряжённое состояние в точке детали, $\sigma_x = 100$ МПа, $\sigma_y = 20$ МПа, $\tau_{xy} = 30$ МПа, третья грань свободна от нагрузки. Найти: главные напряжения, угол наклона главных площадок и наибольшие касательные напряжения.

Главные напряжения - это экстремальные нормальные напряжения на тех площадках, где касательные обращаются в ноль. Находят их как центр круга Мора плюс-минус его радиус, а угол поворота - из условия $\tau_\alpha = 0$. Ответ: $\sigma_1 = 110$ МПа, $\sigma_2 = 10$ МПа, $\sigma_3 = 0$, главные площадки наклонены под $\alpha_0 = 18{,}43^\circ$, наибольшее касательное напряжение в плоскости 50 МПа, абсолютное 55 МПа. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: синяя кривая показывает, как меняется нормальное напряжение при повороте площадки, оранжевая - касательное, а их пересечения с нулём и дают главные площадки.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Центр и радиус круга Мора. Весь ответ держится на двух числах - полусумме нормальных напряжений и величине, которая играет роль радиуса:

$$\sigma_c = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 20}{2} = 60\ \text{МПа},$$ $$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50\ \text{МПа}.$$

Полуразность здесь равна 40 МПа, касательное напряжение 30 МПа, и вместе они дают прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 - корень извлекается нацело. В задачах такое подбирают специально, поэтому некруглый радиус почти всегда означает арифметическую ошибку на этом шаге.

Шаг 2. Главные напряжения в плоскости. Дальше остаётся отложить радиус в обе стороны от центра:

$$\sigma_{\text{max,min}} = \sigma_c \pm R = 60 \pm 50 \quad \Rightarrow \quad \sigma_{\text{max}} = 110\ \text{МПа}, \qquad \sigma_{\text{min}} = 10\ \text{МПа}.$$

Оба значения положительны: точка растянута по обоим направлениям, просто по одному сильнее. Заметь, что наибольшее главное напряжение 110 МПа больше любого из заданных на гранях - поворот элемента не перераспределяет нагрузку поровну, а концентрирует её на одной паре площадок.

Шаг 3. Третья площадка и расстановка индексов. Главных напряжений всегда три, даже когда состояние плоское: третья площадка - свободная поверхность детали, на ней $\sigma_z = 0$. Индексы раздают строго по убыванию с учётом знака, и здесь ноль оказывается самым маленьким:

$$\sigma_1 = 110\ \text{МПа}, \qquad \sigma_2 = 10\ \text{МПа}, \qquad \sigma_3 = 0.$$

Если бы корни вышли разных знаков, ноль встал бы в середину и стал $\sigma_2$ - именно так получается в разборе эквивалентного напряжения, где $\sigma_y$ отрицательное. Порядок индексов не косметика: от него зависит и проверка прочности, и величина наибольшего касательного напряжения.

Шаг 4. Угол наклона главных площадок. Положение площадок ищут из условия, что касательное напряжение на них равно нулю:

$$\operatorname{tg} 2\alpha_0 = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} = \frac{2 \cdot 30}{100 - 20} = \frac{60}{80} = 0{,}75.$$

Отсюда $2\alpha_0 = 36{,}87^\circ$ и $\alpha_0 = 18{,}43^\circ$. Вторая главная площадка перпендикулярна первой, её угол $18{,}43 + 90 = 108{,}43^\circ$. Проверим подстановкой в формулу поворота: $\sigma_\alpha = 60 + 40\cos 36{,}87^\circ + 30\sin 36{,}87^\circ = 60 + 32 + 18 = 110$ МПа, а $\tau_\alpha = -40\sin 36{,}87^\circ + 30\cos 36{,}87^\circ = -24 + 24 = 0$. Угол найден верно, и на этой площадке действует именно $\sigma_{\text{max}}$.

Шаг 5. Наибольшие касательные напряжения. В плоскости они равны радиусу круга и действуют на площадках, повёрнутых относительно главных ещё на $45^\circ$:

$$\tau_{\text{max}}^{xy} = R = 50\ \text{МПа} \quad \text{при} \quad \alpha = 18{,}43 + 45 = 63{,}43^\circ.$$

Но опасное касательное напряжение считают по крайним главным с учётом нулевой площадки, и здесь эти величины расходятся:

$$\tau_{\text{max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{110 - 0}{2} = 55\ \text{МПа}.$$

Шаг 6. Проверка по инвариантам. Сумма и произведение главных напряжений не зависят от поворота осей:

$$\sigma_1 + \sigma_2 = 110 + 10 = 120 = \sigma_x + \sigma_y, \qquad \sigma_1 \sigma_2 = 1100 = \sigma_x \sigma_y - \tau_{xy}^2 = 2000 - 900.$$

Ответ: $\sigma_1 = 110$ МПа, $\sigma_2 = 10$ МПа, $\sigma_3 = 0$; главные площадки наклонены под углами $18{,}43^\circ$ и $108{,}43^\circ$; наибольшее касательное напряжение в плоскости 50 МПа, абсолютное 55 МПа.

Формула и откуда она берётся

Мысленно рассечём выделенный элемент наклонной плоскостью под углом $\alpha$ и запишем равновесие отсечённой треугольной призмы. Проекции заданных напряжений на нормаль и на саму площадку дают пару формул поворота:

$$\begin{aligned} \sigma_\alpha &= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos 2\alpha + \tau_{xy}\sin 2\alpha, \\ \tau_\alpha &= -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha. \end{aligned}$$

Обе зависимости - синусоиды двойного угла с одной и той же амплитудой $R$, сдвинутые друг относительно друга на четверть периода. Ровно их и рисует калькулятор сверху. Из вида этих кривых сразу следуют три вещи. Нормальное напряжение колеблется вокруг постоянного уровня $\sigma_c$, поэтому его экстремумы равны $\sigma_c \pm R$. Касательное колеблется вокруг нуля, значит существуют площадки, где его нет вовсе. И максимум одной кривой приходится на ноль другой, то есть главные площадки - это одновременно площадки без сдвига.

Формулу для угла получают, приравняв $\tau_\alpha$ к нулю: из $-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha = 0$ прямо следует $\operatorname{tg} 2\alpha_0 = 2\tau_{xy}/(\sigma_x - \sigma_y)$. Тангенс имеет период $180^\circ$, поэтому корней для $2\alpha_0$ два, а для $\alpha_0$ - два угла, отличающихся на $90^\circ$. Это и есть две взаимно перпендикулярные главные площадки.

Частные случаи формул полезно держать в голове как проверку. При $\tau_{xy} = 0$ радиус равен полуразности, и главными оказываются сами исходные грани - так устроено растяжение стержня, где поперечных касательных нет. При $\sigma_x = \sigma_y = 0$ остаётся чистый сдвиг: центр в нуле, а главные напряжения равны $\pm\tau$.

Какой угол какому напряжению отвечает

Самая скользкая часть задачи - не посчитать $\alpha_0$, а понять, к какой из двух площадок он ведёт. Формула тангенса сама по себе этого не говорит: она одинаково описывает и площадку $\sigma_{\text{max}}$, и площадку $\sigma_{\text{min}}$.

Рабочее правило такое: если брать $2\alpha_0$ в той четверти, куда указывают знаки числителя $2\tau_{xy}$ и знаменателя $\sigma_x - \sigma_y$, угол ведёт к площадке наибольшего напряжения. У нас оба числа положительны, четверть первая, $2\alpha_0 = 36{,}87^\circ$ - и подстановка на шаге 4 это подтвердила. Если же $\sigma_x < \sigma_y$, калькулятор обычного тангенса вернёт отрицательный угол, и к $\sigma_{\text{max}}$ придётся добавить $90^\circ$.

Угол отсчитывают от оси x против часовой стрелки, положительное значение - поворот против часовой. Но запоминать знаковые соглашения не обязательно: надёжнее подставить найденный угол в формулу для $\sigma_\alpha$ и посмотреть, что получилось - 110 или 10 МПа. Эта проверка занимает одну строку и снимает вопрос окончательно.

Круг Мора: проверка чертежом

Круг Мора - графическая запись тех же формул: каждой площадке отвечает точка круга с координатами $(\sigma_\alpha,\ \tau_\alpha)$. Строится он по двум точкам, которые лежат на концах диаметра: $(\sigma_x,\ \tau_{xy}) = (100;\ 30)$ и $(\sigma_y,\ -\tau_{xy}) = (20;\ -30)$. Середина диаметра попадает на ось абсцисс в точку 60 МПа, а его половина и есть радиус 50 МПа.

Дальше чертёж читается сам. Точки пересечения круга с осью $\sigma$ - это места, где касательное напряжение равно нулю, то есть главные напряжения 10 и 110 МПа. Верхняя точка круга поднята над осью ровно на радиус: наибольшее касательное в плоскости равно 50 МПа, и абсцисса у неё 60 МПа, то есть на площадках максимального сдвига нормальное напряжение равно центру круга. Углы на круге откладываются удвоенными, поэтому дуга от точки $(\sigma_x,\ \tau_{xy})$ до правой точки пересечения равна $2\alpha_0 = 36{,}87^\circ$, а на элементе это $18{,}43^\circ$.

Третье главное напряжение добавляет к картине ещё два круга: на диаметрах $\sigma_1 \sigma_3$ и $\sigma_2 \sigma_3$. Самый большой из трёх построен на 110 и 0, его радиус 55 МПа - это и есть абсолютное наибольшее касательное напряжение из шага 5. Когда оба плоских корня одного знака, большой круг всегда выходит за пределы малого, и ограничиться плоской картинкой нельзя.

Частые ошибки

• Забытое третье, нулевое напряжение. При плоском состоянии индексы раздают только двум найденным корням, а свободную площадку теряют. Здесь это стоило бы 5 МПа в наибольшем касательном: 50 вместо верных 55.
• Знак под корнем. В формулу радиуса входит квадрат полуразности, поэтому порядок вычитания не важен: $(100-20)/2$ и $(20-100)/2$ дают один и тот же радиус 50 МПа. А вот в формулу угла разность входит в первой степени, и перестановка меняет ответ на $90^\circ$.
• Угол не разделён пополам. Формула даёт тангенс двойного угла. Получив $36{,}87^\circ$, останавливаться нельзя: площадка наклонена на $18{,}43^\circ$.
• Наибольшее касательное принято за радиус без проверки знаков. Радиус круга - это максимум только в плоскости xy. Если $\sigma_1$ и $\sigma_2$ одного знака, опасное значение считают как $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$.
• Главное напряжение сравнивают с допускаемым напрямую. Само по себе $\sigma_1$ прочность не характеризует: для этого его сворачивают с остальными в эквивалентное напряжение по выбранной теории прочности.
• Путаница с главными осями сечения. Главные напряжения и главные центральные оси инерции - разные вещи: первые описывают состояние точки, вторые - геометрию сечения, и углы у них не совпадают.

FAQ

Сколько главных напряжений у плоского состояния? Три, как и у любого другого. Просто одно из них равно нулю, потому что поверхность детали свободна от нагрузки. Ноль обязательно участвует в нумерации и может оказаться на любом из трёх мест в зависимости от знаков корней.

Могут ли главные напряжения быть больше заданных на гранях? Да, и это обычное дело: здесь $\sigma_1 = 110$ МПа против 100 МПа на грани. Рост тем заметнее, чем больше касательные напряжения: при $\tau_{xy} = 0$ прирост нулевой, а при чистом сдвиге на гранях вообще нет нормальных напряжений, но главные равны $\pm\tau$.

Зачем знать угол главных площадок, если нужны сами напряжения? По нему определяют направление возможной трещины: у хрупких материалов разрушение идёт по площадке, перпендикулярной $\sigma_1$. Характерная винтовая трещина на скрученном образце - прямое следствие того, что при кручении главные площадки наклонены на $45^\circ$.

Что делать после того, как главные напряжения найдены? Проверять прочность: свернуть их в эквивалентное напряжение по третьей или четвёртой теории и сравнить с допускаемым, как в разборе про эквивалентное напряжение. Если прочности не хватает, размеры подбирают заново, например диаметр вала.

Коротко

1. Посчитай центр $\sigma_c = (\sigma_x + \sigma_y)/2$ и радиус $R = \sqrt{((\sigma_x - \sigma_y)/2)^2 + \tau_{xy}^2}$: здесь 60 и 50 МПа.
2. Главные напряжения в плоскости: $\sigma_{\text{max,min}} = \sigma_c \pm R = 110$ и 10 МПа.
3. Добавь нулевое напряжение свободной площадки и расставь индексы по убыванию: $\sigma_1 = 110$, $\sigma_2 = 10$, $\sigma_3 = 0$ МПа.
4. Угол найди из $\operatorname{tg} 2\alpha_0 = 2\tau_{xy}/(\sigma_x - \sigma_y) = 0{,}75$, то есть $\alpha_0 = 18{,}43^\circ$, и подставь его обратно в формулу $\sigma_\alpha$, чтобы убедиться, что попал на $\sigma_{\text{max}}$.
5. Наибольшее касательное в плоскости равно радиусу, 50 МПа, абсолютное - $(\sigma_1 - \sigma_3)/2 = 55$ МПа; проверь ответ инвариантами: сумма 120 МПа и произведение 1100 совпали с исходными данными.