Нормальные напряжения при растяжении стержня

Растяжение стержня - одна из простейших задач сопротивления материалов, но именно здесь закладывается понятие нормального напряжения, которое потом используется повсюду: в кручении, изгибе, устойчивости. Если не понять этот случай досконально, дальнейший курс сопромата превратится в набор магических формул без смысла. Введём понятие постепенно - от силы к сечению, от сечения к напряжению.

Что такое нормальное напряжение

Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения площадью $A$. К его торцам приложены равные и противоположные осевые силы $F$. Проведём мысленно плоскость, перпендикулярную оси стержня, и рассмотрим равновесие отсечённой части.

Сумма всех внутренних сил в плоскости сечения должна уравновешивать внешнюю силу $F$. Эту равнодействующую внутренних сил называют продольной (нормальной) силой $N$:

$N = F$

Для простого растяжения одной осевой силой $N = F$ по всей длине стержня. Напряжение - это интенсивность внутренних сил, то есть сила, приходящаяся на единицу площади. Нормальное напряжение в поперечном сечении:

$\sigma = \frac{N}{A}$

где $\sigma$ - нормальное напряжение (Па, МПа), $N$ - продольная сила (Н, кН), $A$ - площадь поперечного сечения (м², см²). Удобный перевод: $1\,\text{кН/см}^2 = 10\,\text{МПа}$.

При растяжении $\sigma > 0$ (растягивающее), при сжатии $\sigma < 0$ (сжимающее) - знак определяется принятым правилом: продольная сила $N$ считается положительной, если она направлена от сечения (растягивает).

Гипотеза плоских сечений и равномерное распределение

Почему напряжение одинаково по всему сечению? Это следует из гипотезы Бернулли (гипотеза плоских сечений): плоские сечения, перпендикулярные оси стержня до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными после нагружения.

Из гипотезы следует: все волокна стержня растягиваются на одинаковую величину, а значит, имеют одинаковую деформацию и, по закону Гука, одинаковое напряжение. Это делает задачу статически определимой: не нужно знать закон деформирования, чтобы найти $N$, и достаточно знать только модуль упругости $E$ для расчёта деформаций.

Гипотеза точно выполняется только вдали от мест приложения сил и концентраторов напряжений - это утверждение носит название принципа Сен-Венана: напряжения, вызванные локально приложенной силой, на расстоянии порядка наибольшего линейного размера сечения практически не отличаются от напряжений от статически эквивалентной нагрузки.

Рассчитать для своей задачи

Построение эпюры продольных сил

На практике к стержню могут быть приложены несколько сосредоточенных сил. В этом случае $N$ меняется скачком в точке приложения силы, и для наглядности строят эпюру продольных сил.

Алгоритм построения:

1. Пронумеровать участки стержня (участок ограничен соседними точками приложения сил).
2. Для каждого участка написать уравнение равновесия отсечённой части: $\sum F_x = 0$, $N_i = ?$.
3. Перенести значения $N_i$ на ось стержня с соответствующими знаками - это и есть эпюра.

Пример: стержень нагружен силами $F_1 = 30$ кН (слева, сжатие) и $F_2 = 50$ кН (справа, растяжение). На левом участке $N_1 = -30$ кН, на правом $N_2 = +20$ кН (уравновешивается реакцией заделки).

Правило знаков: отсечём левую часть. Если равнодействующая внешних сил слева направлена вправо (тянет стержень) - $N > 0$ (растяжение). Если влево (толкает) - $N < 0$ (сжатие).

Рассчитать для своей задачи

Условие прочности при растяжении

Материал стержня безопасно работает, пока напряжение не превышает допускаемое $[\sigma]$:

$\sigma = \frac{N}{A} \leq [\sigma]$

Допускаемое напряжение - это предельное напряжение (предел текучести $\sigma_T$ для пластичных или временное сопротивление $\sigma_B$ для хрупких материалов), делённое на коэффициент запаса $n > 1$:

$[\sigma] = \frac{\sigma_T}{n} \quad \text{или} \quad [\sigma] = \frac{\sigma_B}{n}$

Типичные значения для распространённых материалов: Ст3 - $160$ МПа, Сталь 45 - $240$ МПа, алюминий АД31 - $100$ МПа, чугун СЧ20 - $80$ МПа.

Три задачи из условия прочности:

• Проверочный расчёт: задано $N$, $A$, материал - нужно проверить $\sigma \leq [\sigma]$.
• Подбор сечения: задано $N$, $[\sigma]$ - найти $A \geq N / [\sigma]$.
• Определение нагрузки: задано $A$, $[\sigma]$ - найти $N_{\max} = [\sigma] \cdot A$.

Деформации при растяжении и закон Гука

Стержень под осевой нагрузкой удлиняется в направлении силы и одновременно сужается в поперечном направлении. Абсолютное удлинение стержня длиной $l$:

$\Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot A}$

где $E$ - модуль упругости (модуль Юнга). Для стали $E \approx 200\,000$ МПа = 200 ГПа. Относительная деформация (относительное удлинение):

$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E}$

Это и есть закон Гука в осевом направлении. Поперечная деформация описывается через коэффициент Пуассона $\nu$: относительное сужение поперечного размера равно $\varepsilon' = -\nu \varepsilon$. Для стали $\nu \approx 0.25-0.30$.

Величину $EA$ называют жёсткостью поперечного сечения при растяжении-сжатии. Чем больше жёсткость, тем меньше деформация при той же нагрузке.

Ступенчатый стержень и несколько участков

Реальные конструктивные элементы часто имеют переменное сечение или несут несколько нагрузок. Для ступенчатого стержня с участками $i = 1, 2, \ldots, k$ полное удлинение:

$\Delta l = \sum_{i=1}^{k} \frac{N_i \cdot l_i}{E_i \cdot A_i}$

На каждом участке $N_i$ и $A_i$ постоянны; условие прочности проверяется на каждом участке отдельно. Опасный (наиболее нагруженный) участок - тот, где $\sigma_i = N_i / A_i$ максимально по модулю.

Концентрация напряжений

Формула $\sigma = N/A$ даёт номинальное напряжение. Вблизи отверстий, выточек, резких переходов сечения реальное напряжение может в несколько раз превышать номинальное. Отношение максимального напряжения к номинальному называется теоретическим коэффициентом концентрации $K_t$:

$\sigma_{\max} = K_t \cdot \sigma_{\text{ном}}$

Для круглого отверстия в широкой пластине $K_t = 3$. При расчёте на усталостную прочность коэффициент концентрации играет решающую роль - большинство усталостных разрушений начинается именно в концентраторах.

В рамках базового курса сопромата концентрацией напряжений при статических нагрузках пренебрегают для пластичных материалов (перераспределение напряжений при местном течении).

Частые ошибки

• Перепутать единицы. Если сила в кН и площадь в мм², результат будет в кН/мм² = ГПа - в 1000 раз больше ожидаемого. Переводите: $1\,\text{кН/см}^2 = 10\,\text{МПа}$, $1\,\text{Н/мм}^2 = 1\,\text{МПа}$.
• Забыть знак N. При сжатии $N < 0$, напряжение $\sigma < 0$. Условие прочности - по модулю: $|\sigma| \leq [\sigma]$.
• Не учесть метод сечений. $N$ - это равнодействующая всех внешних сил по ОДНУ сторону от сечения, а не одна приложенная сила.
• Перепутать сечение. $A$ в формуле - это площадь поперечного (перпендикулярного оси) сечения, не площадь поверхности стержня и не продольный разрез.
• Нарушить принцип Сен-Венана. Применять $\sigma = N/A$ непосредственно у места заделки или в зоне приложения силы нельзя - там поле напряжений неравномерное.

FAQ

Почему напряжение одинаково по всему сечению при растяжении? Из гипотезы плоских сечений: все волокна удлиняются одинаково, деформации равны, по закону Гука напряжения тоже равны. Это верно вдали от мест приложения сил и концентраторов (принцип Сен-Венана).

Что такое допускаемое напряжение и как его выбрать? Допускаемое напряжение $[\sigma] = \sigma_{\text{пред}} / n$, где $\sigma_{\text{пред}}$ - предел текучести (пластичные материалы) или временное сопротивление (хрупкие), $n$ - коэффициент запаса (обычно $n = 1.5-2.5$ для статики). Значения берут из нормативных документов (ГОСТ, СНиП) или учебных таблиц.

Как строить эпюру N при нескольких силах? Методом сечений: на каждом участке отсечь одну из частей стержня, записать сумму проекций всех внешних сил на ось - это $N$ на данном участке. При переходе через точку приложения силы $F$ значение $N$ скачет на $F$. Рисовать эпюру со знаком: выше оси - растяжение, ниже - сжатие (или наоборот, по соглашению).

Коротко

Нормальное напряжение при растяжении стержня $\sigma = N/A$ равно отношению продольной силы к площади поперечного сечения. Распределение напряжений по сечению равномерно (гипотеза плоских сечений). Условие прочности $\sigma \leq [\sigma]$ позволяет проверить стержень, подобрать сечение или найти допустимую нагрузку. Эпюра продольных сил строится методом сечений по участкам, а напряжения на каждом участке вычисляются делением $N_i$ на $A_i$.