Момент сопротивления сечения при изгибе: формула и расчёт

Момент сопротивления сечения при изгибе - это геометрическая характеристика, которая показывает, насколько форма и размеры сечения сопротивляются изгибу. Именно через него связаны изгибающий момент и наибольшее нормальное напряжение в балке: чем больше момент сопротивления, тем меньше напряжение при той же нагрузке. В сопромате эта величина появляется в каждой задаче на прочность при изгибе, при подборе балок и валов, при сравнении профилей. Ниже разберём, что такое момент сопротивления, как он связан с моментом инерции, какие формулы у прямоугольника, круга и кольца, как через него считать напряжение и подбирать размеры. Чтобы сразу увидеть, как форма сечения меняет результат, покрути калькулятор ниже: он считает момент инерции, момент сопротивления и напряжение и рисует эпюру напряжений по высоте сечения.

Что такое момент сопротивления сечения

При изгибе балки её волокна с одной стороны растягиваются, с другой сжимаются, а посередине проходит нейтральный слой, где напряжения равны нулю. Нормальное напряжение растёт линейно от нейтральной оси к краям сечения и достигает максимума в самом удалённом волокне. Эта закономерность описывается формулой:

$\sigma(y) = \frac{M \, y}{I},$

где $M$ - изгибающий момент в сечении, $I$ - осевой момент инерции относительно нейтральной оси, $y$ - расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна. Максимальное напряжение возникает при $y = y_{max}$, то есть в крайнем волокне:

$\sigma_{max} = \frac{M \, y_{max}}{I} = \frac{M}{W}, \qquad W = \frac{I}{y_{max}}.$

Величина $W = I / y_{max}$ и называется осевым моментом сопротивления сечения при изгибе. Она объединяет в одном числе и момент инерции, и удалённость крайнего волокна, поэтому пользоваться ей удобнее, чем парой $I$ и $y_{max}$ по отдельности. Размерность момента сопротивления - единица длины в кубе (мм³ или см³).

Формула момента сопротивления при изгибе

Основная рабочая формула предельно проста: момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние до крайнего волокна.

$W = \frac{I}{y_{max}}.$

Через неё наибольшее нормальное напряжение в балке считается одной строкой:

Рассчитать для своей задачи

$\sigma_{max} = \frac{M}{W}.$

Из этого же соотношения вытекает условие прочности при изгибе: $\sigma_{max} = M / W \le [\sigma]$, где $[\sigma]$ - допускаемое напряжение материала. Отсюда получают требуемый момент сопротивления $W \ge M / [\sigma]$, а уже по нему подбирают размеры сечения или стандартный профиль. Обратите внимание: момент сопротивления зависит только от формы и размеров сечения, а не от материала и не от нагрузки. Это чисто геометрическая характеристика, которую можно посчитать заранее и занести в таблицу профилей.

Момент сопротивления прямоугольного сечения

Для прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ осевой момент инерции относительно горизонтальной центральной оси равен $I = b h^3 / 12$, а расстояние до крайнего волокна $y_{max} = h/2$. Подставив в формулу, получаем:

$W = \frac{I}{y_{max}} = \frac{b h^3 / 12}{h / 2} = \frac{b h^2}{6}.$

Главное здесь - высота входит в квадрате, а ширина только в первой степени. Поэтому одна и та же доска, поставленная на ребро, сопротивляется изгибу в разы лучше, чем положенная плашмя. Например, для сечения $b = 40$ мм и $h = 120$ мм момент сопротивления равен $W = 40 \cdot 120^2 / 6 = 96000$ мм³ $= 96$ см³, а если ту же балку положить плашмя, поменяв $b$ и $h$ местами, получится всего $W = 120 \cdot 40^2 / 6 = 32000$ мм³ - втрое меньше при том же расходе материала.

Рассчитать для своей задачи

Момент сопротивления круглого и кольцевого сечения

Для сплошного круга диаметром $d$ момент инерции $I = \pi d^4 / 64$, а $y_{max} = d / 2$, поэтому:

$W = \frac{\pi d^4 / 64}{d / 2} = \frac{\pi d^3}{32} \approx 0{,}1 \, d^3.$

Момент сопротивления круга растёт как куб диаметра - небольшое увеличение диаметра заметно поднимает несущую способность. Для кольцевого (трубчатого) сечения с наружным диаметром $D$ и внутренним $d$ момент инерции считается как разность, а крайнее волокно отстоит на $D/2$:

$W = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{32 \, D}.$

Трубчатое сечение особенно выгодно: материал у внутренних слоёв почти не работает, поскольку там напряжения малы, а основную нагрузку несут наружные волокна. Поэтому труба при том же моменте сопротивления заметно легче сплошного вала. Сравнить все три формы при одинаковом моменте удобно прямо в калькуляторе выше: переключите форму сечения и следите, как меняются момент сопротивления и эпюра напряжений.

Подбор размеров сечения из условия прочности

Типичная инженерная задача обратная: известны изгибающий момент и материал, нужно подобрать сечение. Алгоритм такой. Сначала из условия прочности находят требуемый момент сопротивления:

$W_{тр} = \frac{M_{max}}{[\sigma]}.$

Затем по формуле момента сопротивления для выбранной формы выражают размер. Для круглого вала $\pi d^3 / 32 \ge W_{тр}$, откуда диаметр:

$d \ge \sqrt[3]{\frac{32 \, M_{max}}{\pi \, [\sigma]}}.$

Для прокатного профиля (двутавр, швеллер) поступают иначе: по найденному $W_{тр}$ выбирают из сортамента ближайший профиль с моментом сопротивления не меньше требуемого. Именно поэтому в таблицах ГОСТ для каждого профиля указан осевой момент сопротивления - он позволяет подобрать балку без пересчёта момента инерции. После подбора всегда делают проверочный расчёт: подставляют фактический момент сопротивления и убеждаются, что реальное напряжение не превышает допускаемого.

Частые ошибки

• Путаница момента сопротивления с моментом инерции. $I$ имеет размерность длины в четвёртой степени (мм⁴), $W = I / y_{max}$ - в третьей (мм³). В формулу напряжения $\sigma = M / W$ подставляют именно момент сопротивления, а не инерции.
• Неверная ось для прямоугольника. При изгибе на ребро высота $h$ должна стоять в кубе в моменте инерции и в квадрате в моменте сопротивления. Если перепутать $b$ и $h$, ответ занижается в разы.
• Несогласованные единицы. Момент часто задают в кН·м, а размеры в мм. Переводите момент в Н·мм ($1$ кН·м $= 10^6$ Н·мм), тогда напряжение получится в МПа.
• Полярный момент вместо осевого. Для кручения используют полярный момент сопротивления $W_p$, для изгиба - осевой $W$. У круга $W_p = \pi d^3 / 16$ ровно вдвое больше осевого, их легко перепутать.
• Игнорирование положения нейтральной оси. Для несимметричных сечений нейтральная ось не делит высоту пополам, и $y_{max}$ сверху и снизу разные - момент сопротивления считают по большему из них.

FAQ

Чем момент сопротивления отличается от момента инерции? Момент инерции $I$ характеризует распределение площади относительно оси и входит в расчёт прогибов, его размерность - мм⁴. Момент сопротивления $W = I / y_{max}$ получается делением на расстояние до крайнего волокна, имеет размерность мм³ и нужен для расчёта максимального напряжения по формуле $\sigma = M / W$.

Как найти момент сопротивления прямоугольного сечения? По формуле $W = b h^2 / 6$, где $b$ - ширина, $h$ - высота сечения при изгибе на ребро. Высота входит в квадрате, поэтому она сильнее влияет на прочность, чем ширина.

Почему труба прочнее сплошного вала той же массы? При изгибе напряжения максимальны у наружных волокон и почти нулевые у оси. В трубе материал убран как раз из малонагруженной зоны у центра, поэтому при равной массе её момент сопротивления и момент инерции больше, чем у сплошного круга.

Коротко

Момент сопротивления сечения при изгибе $W = I / y_{max}$ - геометрическая характеристика, через которую наибольшее нормальное напряжение в балке считается как $\sigma_{max} = M / W$. Для прямоугольника $W = b h^2 / 6$, для круга $W = \pi d^3 / 32$, для кольца $W = \pi (D^4 - d^4) / (32 D)$. Из условия прочности $\sigma \le [\sigma]$ находят требуемый момент сопротивления $W_{тр} = M / [\sigma]$ и по нему подбирают размеры сечения или стандартный профиль.