Чистый сдвиг и закон Гука при сдвиге: формула и расчёт

Чистый сдвиг - это особое напряжённое состояние, при котором на гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения, а нормальных нет совсем. Именно так нагружены заклёпки и болты в соединениях внахлёст, валы при кручении и стенки балок при поперечном изгибе. В упругой области касательное напряжение и угол перекоса связаны прямой пропорцией - это и есть закон Гука при сдвиге, аналог обычного закона Гука при растяжении. Ниже разберём, что такое касательное напряжение и угол сдвига, как вывести и применять формулу закона Гука при сдвиге, как модуль сдвига связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь модуля сдвига, угла и напряжения, покрути калькулятор ниже: он показывает закон Гука линией и тут же перекашивает квадратный элемент в параллелограмм.

Что такое чистый сдвиг

Представим маленький кубический элемент материала, вырезанный из детали. Если на двух противоположных гранях приложить касательные (направленные вдоль грани) силы, элемент начнёт перекашиваться: прямые углы между гранями изменятся. Чтобы элемент не вращался, на двух других гранях автоматически возникают такие же касательные напряжения - это закон парности касательных напряжений. В итоге со всех четырёх сторон действует одно и то же по величине касательное напряжение $\tau$, а нормальные напряжения на этих площадках равны нулю. Такое состояние и называют чистым сдвигом.

Рассчитать для своей задачи

Мерой деформации при сдвиге служит не удлинение, а изменение угла. Угол сдвига $\gamma$ (его называют также относительным сдвигом или угловой деформацией) - это малый угол, на который отклоняется боковая грань от вертикали. Геометрически он равен отношению сдвига верхней грани $\Delta x$ к высоте элемента $h$:

$\gamma = \frac{\Delta x}{h}.$

Угол $\gamma$ безразмерен и измеряется в радианах; в инженерных задачах он очень мал - тысячные доли радиана (миллирадианы), поэтому тангенс угла можно заменить самим углом.

Закон Гука при сдвиге

Пока материал работает упруго, касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига. Это закон Гука при сдвиге:

$\tau = G\,\gamma,$

где $\tau$ - касательное напряжение, $\gamma$ - угол сдвига, а коэффициент пропорциональности $G$ называется модулем сдвига (модулем упругости второго рода). Он измеряется в тех же единицах, что и напряжение - в паскалях, обычно в гигапаскалях. Формула полностью повторяет привычный закон Гука при растяжении $\sigma = E\,\varepsilon$, только нормальные величины заменены на касательные: напряжение $\sigma \to \tau$, деформация $\varepsilon \to \gamma$, модуль Юнга $E \to$ модуль сдвига $G$.

Касательное напряжение, как и нормальное, определяется через силу и площадь, но сила направлена вдоль площадки:

$\tau = \frac{F}{A}.$

График закона Гука при сдвиге - прямая через начало координат с наклоном $G$. Чем больше модуль сдвига, тем круче прямая и тем меньше материал перекашивается при том же напряжении. В калькуляторе выше синяя точка движется именно по этой прямой: задавая угол, вы сразу видите напряжение, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Модуль сдвига и связь с модулем Юнга

Модуль сдвига $G$ не является независимой характеристикой материала: для изотропного тела он однозначно выражается через модуль Юнга $E$ и коэффициент Пуассона $\nu$:

$G = \frac{E}{2\,(1 + \nu)}.$

Из трёх упругих констант $E$, $G$ и $\nu$ независимы только две - третья находится по этой формуле. Для стали $E \approx 200$ ГПа и $\nu \approx 0{,}3$, откуда $G \approx 77$ ГПа; в расчётах часто округляют до $G = 80$ ГПа. Поскольку $\nu$ для металлов лежит в пределах 0,25-0,35, модуль сдвига всегда заметно меньше модуля Юнга - примерно в 2,6 раза. В калькуляторе ползунок коэффициента Пуассона пересчитывает $E$ по обратной формуле $E = 2G(1+\nu)$, чтобы было видно, как связаны все три константы.

Главные напряжения и почему вал лопается по спирали

Хотя на гранях элемента нет нормальных напряжений, чистый сдвиг эквивалентен растяжению и сжатию по диагональным площадкам. Если повернуть элемент на 45 градусов, окажется, что по одной диагонали материал растянут, а по другой сжат, причём главные напряжения по величине равны касательному:

$\sigma_1 = +\tau, \qquad \sigma_3 = -\tau.$

Этот факт объясняет характер разрушения. Пластичный материал (мягкая сталь) при кручении рвётся по сечению, перпендикулярному оси, - там максимальны касательные напряжения. А хрупкий материал (чугун, мел) лопается по винтовой поверхности под 45 градусов: его губит растягивающее главное напряжение $\sigma_1$, действующее именно по этой наклонной площадке.

Рассчитать для своей задачи

Энергия упругой деформации при сдвиге

При деформации сдвига в материале накапливается потенциальная энергия упругой деформации. Как и при растяжении, удельная энергия (энергия в единице объёма) равна площади под прямой закона Гука - то есть половине произведения напряжения на деформацию:

$u = \frac{\tau\,\gamma}{2} = \frac{\tau^2}{2G} = \frac{G\,\gamma^2}{2}.$

Все три записи эквивалентны - подставив $\tau = G\gamma$, легко перейти от одной к другой. Эта энергия лежит в основе теории прочности по удельной энергии формоизменения (критерий Мизеса), по которой и рассчитывают валы и оси на кручение. Калькулятор выше выводит $u$ в килоджоулях на кубометр для текущих значений ползунков.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: стальной элемент находится в состоянии чистого сдвига, модуль сдвига $G = 80$ ГПа, измеренный угол сдвига $\gamma = 1$ мрад $= 0{,}001$ рад. Найти касательное напряжение, модуль Юнга при $\nu = 0{,}25$ и удельную энергию деформации.

Сначала по закону Гука при сдвиге находим касательное напряжение:

$\tau = G\,\gamma = 80 \cdot 10^9 \cdot 0{,}001 = 80 \cdot 10^6\ \text{Па} = 80\ \text{МПа}.$

Модуль Юнга получаем из связи упругих констант:

$E = 2\,G\,(1 + \nu) = 2 \cdot 80 \cdot (1 + 0{,}25) = 200\ \text{ГПа}.$

Наконец, удельная энергия упругой деформации:

$u = \frac{\tau\,\gamma}{2} = \frac{80 \cdot 10^6 \cdot 0{,}001}{2} = 40\,000\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = 40\ \frac{\text{кДж}}{\text{м}^3}.$

Проверка: те же числа выдаёт калькулятор при $G = 80$ ГПа, $\gamma = 1$ мрад и $\nu = 0{,}25$. Если ваши значения расходятся, чаще всего дело в неверном переводе миллирадиан в радианы или гигапаскалей в паскали.

Частые ошибки

• Путают деформацию сдвига с линейной. При сдвиге мерой служит угол $\gamma$ (изменение прямого угла), а не относительное удлинение $\varepsilon$. Подставлять $\varepsilon$ в формулу $\tau = G\gamma$ нельзя.
• Берут модуль Юнга вместо модуля сдвига. В законе Гука при сдвиге стоит именно $G$, а не $E$. Для стали $G \approx 80$ ГПа, тогда как $E \approx 200$ ГПа - разница почти в 2,6 раза.
• Забывают перевести единицы. Угол в миллирадианах надо перевести в радианы (разделить на 1000), а модуль в гигапаскалях - в паскали, иначе напряжение получится в тысячу раз больше или меньше.
• Считают, что при чистом сдвиге нет растяжения. Нормальных напряжений нет только на исходных гранях. По площадкам под 45 градусов есть главные напряжения $\sigma_{1,3} = \pm\tau$ - именно они рвут хрупкий материал.
• Делят упругую энергию пополам неверно. Удельная энергия равна $\tau\gamma/2$, а не $\tau\gamma$: множитель 1/2 - это площадь треугольника под прямой Гука.

FAQ

Чем закон Гука при сдвиге отличается от обычного закона Гука? Структура одинаковая - линейная связь напряжения и деформации. Различаются только величины: вместо нормального напряжения $\sigma$ стоит касательное $\tau$, вместо относительного удлинения $\varepsilon$ - угол сдвига $\gamma$, а вместо модуля Юнга $E$ - модуль сдвига $G$. Поэтому $\tau = G\gamma$ - это просто сдвиговый аналог $\sigma = E\varepsilon$.

Как найти модуль сдвига, если известны модуль Юнга и коэффициент Пуассона? По формуле связи упругих констант $G = E / [2(1+\nu)]$. Например, для стали с $E = 200$ ГПа и $\nu = 0{,}25$ получаем $G = 200 / (2 \cdot 1{,}25) = 80$ ГПа. Обратно модуль Юнга находится как $E = 2G(1+\nu)$.

Почему хрупкий вал при кручении ломается под углом 45 градусов? Потому что чистый сдвиг эквивалентен растяжению и сжатию по диагональным площадкам: главные напряжения $\sigma_{1,3} = \pm\tau$ направлены под 45 градусов к оси. Хрупкий материал не выдерживает растягивающего $\sigma_1$ и трескается именно по этой наклонной винтовой поверхности.

Коротко

Чистый сдвиг - напряжённое состояние, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения $\tau$, а мерой деформации служит угол сдвига $\gamma$. В упругой области они связаны законом Гука при сдвиге $\tau = G\gamma$, где модуль сдвига $G = E / [2(1+\nu)]$ для стали равен примерно 80 ГПа. Удельная энергия деформации равна $\tau\gamma/2$, а главные напряжения $\sigma_{1,3} = \pm\tau$ под 45 градусов объясняют, почему хрупкие валы при кручении лопаются по спирали.