Как найти допускаемую нагрузку: расчёт по прочности

Дано: стальной стержень круглого сечения, диаметр $d = 20$ мм, осевое растяжение, предел текучести материала $\sigma_{\text{т}} = 240$ МПа, требуемый коэффициент запаса $n = 1{,}5$. Найти: допускаемую нагрузку $[F]$.

Допускаемую нагрузку ищут в два хода: предельное напряжение материала делят на коэффициент запаса и получают допускаемое напряжение, а затем умножают его на геометрическую характеристику сечения. Ответ: $[\sigma] = 160$ МПа, $A = 314{,}16$ мм$^2$, $[F] \approx 50{,}3$ кН. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: кривая показывает, как быстро допускаемая нагрузка падает с ростом запаса, а вертикаль отмечает принятый $n = 1{,}5$.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу, чтобы ничего не потерялось при подстановке.

Шаг 1. Допускаемое напряжение. Материал нельзя доводить до предельного состояния: между рабочим напряжением и опасным оставляют запас. Для пластичной стали опасным считают предел текучести, потому что с его достижением начинаются остаточные деформации, и деталь теряет форму задолго до разрыва.

$$[\sigma] = \frac{\sigma_{\text{т}}}{n} = \frac{240}{1{,}5} = 160\ \text{МПа}.$$

Если в условии допускаемое напряжение дано сразу (а в задачах на изгиб чаще всего так и есть), этот шаг пропускается: делить второй раз не нужно.

Шаг 2. Площадь поперечного сечения. Мегапаскаль равен ньютону на квадратный миллиметр, поэтому площадь удобнее сразу считать в квадратных миллиметрах.

$$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 20^2}{4} = 314{,}16\ \text{мм}^2.$$

Шаг 3. Условие прочности разворачиваем относительно силы. При осевом растяжении напряжение распределено по сечению равномерно, поэтому условие прочности записывается одной дробью, а нагрузка из него выражается умножением.

$$\sigma = \frac{N}{A} \le [\sigma] \quad \Longrightarrow \quad N \le [\sigma] \, A = [F].$$ $$[F] = 160 \cdot 314{,}16 = 50\,265\ \text{Н} = 50{,}27\ \text{кН} \approx 50{,}3\ \text{кН}.$$

Шаг 4. Проверка. Подставим найденную силу обратно и посмотрим, что получится с напряжением и с фактическим запасом:

$$\sigma = \frac{50\,265}{314{,}16} = 160{,}0\ \text{МПа}, \qquad n_{\text{факт}} = \frac{240}{160{,}0} = 1{,}5.$$

Сошлось: при нагрузке $[F]$ стержень работает ровно на пределе допускаемого напряжения, а до текучести остаётся полуторакратный запас. Ответ: $[F] \approx 50{,}3$ кН. В курсе сопромата это третья из трёх типовых задач на растяжение: проверка прочности, подбор сечения и определение допускаемой нагрузки решаются одним и тем же неравенством, просто относительно разной неизвестной.

Формула и откуда она берётся

Нормальное напряжение при осевом растяжении одинаково во всех точках сечения: волокна удлиняются на одну и ту же величину, а значит, и напряжены одинаково. Отсюда простая связь $\sigma = N/A$, подробный вывод которой разобран в статье про нормальные напряжения при растяжении стержня.

Предельное напряжение $\sigma_{\text{пред}}$ - это свойство материала, а не конструкции: его берут из справочника или из диаграммы растяжения. Коэффициент запаса, наоборот, относится к условиям работы: он покрывает разброс свойств металла, неточность расчётной схемы, случайные перегрузки и износ. Разделив одно на другое, получают величину, с которой уже можно сравнивать рабочее напряжение.

Общая логика расчёта не зависит от вида нагружения и записывается так:

$$[\text{нагрузка}] = \frac{[\sigma] \cdot (\text{геометрическая характеристика сечения})}{\text{коэффициент расчётной схемы}}.$$

Меняется только то, что подставлять. При растяжении и сжатии это площадь $A$, при изгибе - осевой момент сопротивления $W_x$, при кручении - полярный момент сопротивления $W_p$, при срезе - площадь среза. Коэффициент схемы появляется там, где нагрузка и внутреннее усилие связаны не напрямую: у балки с пролётом, у рычага, у консоли.

Коэффициент запаса: откуда берут число

Запас не выдумывают, его назначают по нормам и по характеру работы детали. Ориентиры для учебных задач такие.

Важна не только величина, но и то, к какому пределу её относят. Для той же стали с $\sigma_{\text{т}} = 240$ МПа и $\sigma_{\text{в}} = 400$ МПа деление предела прочности на 1,5 дало бы $[\sigma] = 267$ МПа, то есть заведомо выше текучести. Такой стержень «пройдёт» расчёт и вытянется в работе.

Для хрупкого материала логика обратная: текучести у него нет, разрушение наступает сразу, поэтому опорной величиной служит предел прочности, а запас берут больше. Чугунный стержень сечением $40 \times 40$ мм при $\sigma_{\text{в}} = 600$ МПа и $n = 3$ даёт $[\sigma] = 200$ МПа и $[F] = 200 \cdot 1600 = 320$ кН.

Изгиб: та же схема, другая характеристика сечения

Пусть балка на двух шарнирных опорах пролётом $L = 4$ м сделана из двутавра №20 с моментом сопротивления $W_x = 184$ см$^3$, допускаемое напряжение $[\sigma] = 160$ МПа. Сначала находим допускаемый изгибающий момент - это прямой аналог допускаемой силы при растяжении:

$$[M] = [\sigma] \, W_x = 160 \cdot 184 \cdot 10^3 = 29{,}44 \cdot 10^6\ \text{Н}\cdot\text{мм} = 29{,}44\ \text{кН}\cdot\text{м}.$$

Дальше вступает расчётная схема. Для равномерно распределённой нагрузки наибольший момент равен $qL^2/8$, откуда

$$[q] = \frac{8 [M]}{L^2} = \frac{8 \cdot 29{,}44}{4^2} = 14{,}72\ \text{кН/м}.$$

Если та же балка нагружена одной силой посередине, момент считается как $FL/4$, и допускаемая сила выходит $[F] = 4 [M] / L = 29{,}44$ кН. Один и тот же профиль, одно и то же допускаемое напряжение - а ответы разные, потому что разные схемы по-разному превращают нагрузку во внутренний момент. Именно на этом шаге чаще всего и теряют решение: находят $[M]$ и останавливаются.

Обратная задача - когда нагрузка известна, а подобрать нужно профиль - разобрана в подборе сечения балки; распределение напряжений по высоте сечения показано в расчёте напряжений при изгибе. Для соединений приём тот же, только вместо площади сечения берут площадь среза или смятия: так считают сварной шов и заклёпочное соединение.

Ослабленное сечение и сжатый стержень

Допускаемую нагрузку считают по самому слабому сечению, а не по номинальному. Полоса $60 \times 8$ мм имеет площадь брутто 480 мм$^2$ и выдержала бы $160 \cdot 480 = 76{,}8$ кН. Но отверстие диаметром 12 мм под болт срезает часть материала: площадь нетто равна $(60 - 12) \cdot 8 = 384$ мм$^2$, и допускаемая сила падает до $160 \cdot 384 = 61{,}4$ кН, то есть на пятую часть.

То же самое делает резьба. У нашего стержня диаметром 20 мм гладкая часть даёт 314,16 мм$^2$, а нарезанная резьба М20 - расчётную площадь 245 мм$^2$. Допускаемая нагрузка становится $160 \cdot 245 = 39{,}2$ кН вместо 50,3 кН: минус 22 % только из-за резьбы.

Со сжатием есть отдельная оговорка. Короткий стержень считают точно так же, как растянутый, по площади и допускаемому напряжению. Но длинный и тонкий теряет устойчивость раньше, чем материал дойдёт до предела: он просто выгибается вбок. Тогда допускаемую нагрузку уменьшают коэффициентом продольного изгиба, $[F] = \varphi [\sigma] A$, где $\varphi$ зависит от гибкости стержня и может опускаться до 0,2. Как его находят, показано в разборе коэффициента продольного изгиба.

Частые ошибки

• Делят не тот предел. Для пластичной стали опорная величина - предел текучести, для чугуна и бетона - предел прочности. Разделив $\sigma_{\text{в}} = 400$ МПа на 1,5, получают 267 МПа: расчёт формально сойдётся, а деталь вытянется.
• Площадь в сантиметрах. Допускаемое напряжение в МПа - это Н/мм$^2$. Подстановка 3,1416 см$^2$ вместо 314,16 мм$^2$ занижает ответ ровно в сто раз.
• Считают по площади брутто. Отверстие, паз или резьба уменьшают рабочее сечение; нагрузку определяют по ослабленному месту.
• При изгибе подставляют момент инерции. $I_x$ измеряется в см$^4$, $W_x$ - в см$^3$; перепутанные характеристики дают завышенный ответ и неверную размерность.
• Останавливаются на допускаемом моменте. $[M] = 29{,}44$ кН·м - это внутреннее усилие, а не ответ: нагрузку из него достают через формулу расчётной схемы.
• Забывают про устойчивость. Длинный сжатый стержень, посчитанный только на прочность, разрушится при нагрузке заметно меньше найденной.

FAQ

Чем допускаемая нагрузка отличается от предельной? Предельная - та, при которой напряжение доходит до опасного: в нашем примере $240 \cdot 314{,}16 = 75\,398$ Н $= 75{,}4$ кН. Допускаемая меньше в $n$ раз и равна 50,3 кН. Первая показывает, где начнётся текучесть, вторая - какую силу можно прикладывать в эксплуатации.

Что делать, если коэффициент запаса не задан? Проверь условие ещё раз: часто вместо запаса сразу дают $[\sigma]$, и тогда он не нужен. Если не дано ни того ни другого, для стали при статической нагрузке принимают $n = 1{,}5$ по пределу текучести и оговаривают это в решении.

Можно ли нагрузить деталь чуть выше $[F]$? В учебной задаче - нет: ответ считается неверным. Запас не резерв для перегрузки, он уже израсходован на то, чего расчёт не знает: разброс проката, неточность схемы, коррозию.

Как быть, если нагружение сложное? При сочетании растяжения с изгибом или кручением напряжения складывают и переходят к эквивалентному напряжению по выбранной теории прочности, а условие записывают уже для него: $\sigma_{\text{экв}} \le [\sigma]$. Расчёт разобран в задаче про эквивалентное напряжение.

Коротко

1. Возьми предельное напряжение материала: $\sigma_{\text{т}}$ для пластичных, $\sigma_{\text{в}}$ для хрупких.
2. Раздели на коэффициент запаса: $[\sigma] = \sigma_{\text{пред}} / n$. В примере $240 / 1{,}5 = 160$ МПа.
3. Найди геометрическую характеристику: площадь $A$ при растяжении и сжатии, $W_x$ при изгибе, $W_p$ при кручении. Круг $d = 20$ мм даёт $A = 314{,}16$ мм$^2$.
4. Перемножь: $[F] = [\sigma] A = 50{,}3$ кН. При изгибе сначала $[M] = [\sigma] W_x$, а нагрузку получают из формулы схемы: $[q] = 8[M]/L^2$, $[F] = 4[M]/L$.
5. Проверь ответ: сечение брали ослабленное, единицы согласованы (МПа и мм$^2$), для длинного сжатого стержня добавлен расчёт на устойчивость.