Как рассчитать сварной шов: пример расчёта на срез

Дано: полоса 200×10 мм приварена внахлёстку к листу лобовым швом длиной 200 мм и двумя фланговыми по 120 мм, катет всех швов $k = 8$ мм, сварка ручная, растягивающая сила $N = 250$ кН, допускаемое напряжение на срез в шве $[\tau_{\text{ср}}] = 110$ МПа. Найти: напряжение в швах и сделать вывод о прочности.

Угловой шов при любом направлении нагрузки рассчитывают на срез по биссекторному сечению высотой $0{,}7k$, поэтому вся задача сводится к делению силы на площадь этого сечения. Ответ: $\tau \approx 101{,}5$ МПа против допускаемых 110 МПа, прочность обеспечена, шов загружен на 92 процента. Калькулятор сверху пересчитает соединение под твои числа, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу:

Шаг 1. Расчётная высота шва. Опасное сечение углового шва проходит не по катету, а по биссектрисе прямого угла - это самое узкое место наплавленного металла. Его высота меньше катета в $\beta_f$ раз, и при ручной сварке $\beta_f = 0{,}7$:

$$h_f = \beta_f k = 0{,}7 \cdot 8 = 5{,}6\ \text{мм}.$$

Шаг 2. Суммарная расчётная длина швов. Складываем все швы, работающие в соединении: один лобовой и два фланговых.

$$\sum l_w = l_{\text{л}} + 2 l_{\text{ф}} = 200 + 2 \cdot 120 = 440\ \text{мм}.$$

Шаг 3. Площадь опасного сечения. Умножаем высоту на суммарную длину:

$$A_w = h_f \sum l_w = 5{,}6 \cdot 440 = 2464\ \text{мм}^2.$$

Шаг 4. Напряжение среза в шве. Переводим силу в ньютоны и делим на площадь; так как длины в миллиметрах, результат сразу получается в мегапаскалях.

$$\tau = \frac{N}{A_w} = \frac{250 \cdot 10^3}{2464} = 101{,}5\ \text{МПа} < [\tau_{\text{ср}}] = 110\ \text{МПа}.$$

Коэффициент использования допускаемого напряжения равен $101{,}5 / 110 = 0{,}92$, то есть запас около 8 процентов.

Шаг 5. Проверка конструктивных ограничений. Катет не должен превышать $1{,}2\delta_{\min} = 1{,}2 \cdot 10 = 12$ мм, а фланговый шов работает как расчётный только при длине от $4k = 32$ мм до $60k = 480$ мм. Наши 8 мм и 120 мм в эти границы попадают, значит расчёт корректен.

Шаг 6. Проверка самой полосы. Соединение не может быть прочнее того, что оно соединяет. Нормальное напряжение в полосе:

$$\sigma = \frac{N}{b \delta} = \frac{250 \cdot 10^3}{200 \cdot 10} = 125\ \text{МПа} \le [\sigma] = 160\ \text{МПа}.$$

Подробный разбор этого расчёта есть в статье про нормальные напряжения при растяжении стержня.

Ответ. $\tau \approx 101{,}5$ МПа $< 110$ МПа - прочность сварного соединения обеспечена; полоса тоже проходит, напряжение в ней 125 МПа.

Формула и откуда она берётся

Основная формула расчёта углового шва выглядит так:

$$\tau = \frac{N}{\beta_f k \sum l_w} \le [\tau_{\text{ср}}],$$

где $N$ - усилие, передаваемое соединением, $k$ - катет шва (сторона вписанного в сечение прямоугольного треугольника), $\beta_f$ - коэффициент глубины проплавления, $\sum l_w$ - суммарная расчётная длина всех швов, $[\tau_{\text{ср}}]$ - допускаемое напряжение на срез в металле шва.

Ключевой момент - выбор опасного сечения. В поперечном сечении угловой шов близок к прямоугольному треугольнику с катетами $k$. Разрушение идёт по самой узкой площадке, а это высота, опущенная на гипотенузу: для равнобедренного треугольника она равна $k / \sqrt{2} \approx 0{,}707k$. Отсюда и знаменитый множитель 0,7. При механизированной и автоматической сварке дуга проплавляет металл глубже, сечение получается полнее, и коэффициент растёт: $\beta_f = 0{,}8$ для механизированной сварки и до 0,9 и выше для автоматической.

Второй важный момент: угловой шов всегда считают на срез, даже если внешняя нагрузка растягивающая. По биссекторной площадке действуют и нормальные, и касательные напряжения, но нормировать их по отдельности неудобно, поэтому в инженерной практике принята условная схема - всё усилие относят к касательным напряжениям, а сложность напряжённого состояния учтена пониженным допускаемым значением. Обычно принимают $[\tau_{\text{ср}}] \approx 0{,}6 [\sigma]$ для основного металла: при $[\sigma] = 160$ МПа получаются те самые 110 МПа условия.

Лобовой и фланговый швы отличаются только направлением относительно силы: лобовой перпендикулярен ей, фланговый параллелен. Напряжения в них распределяются по-разному, но в учебном расчёте эту разницу не учитывают и обе разновидности считают по одной формуле - через суммарную длину.

Обратная задача: подобрать длину швов

Чаще в контрольной просят не проверить готовое соединение, а назначить длину швов. Формулу разворачивают относительно $\sum l_w$:

$$\sum l_w \ge \frac{N}{\beta_f k [\tau_{\text{ср}}]} = \frac{250 \cdot 10^3}{0{,}7 \cdot 8 \cdot 110} = 405{,}8\ \text{мм}.$$

У нас есть лобовой шов на всю ширину полосы, его длина фиксирована и равна 200 мм. На фланговые остаётся $405{,}8 - 200 = 205{,}8$ мм, то есть по 103 мм на каждый. Принятые в условии 120 мм этот минимум перекрывают - тот же вывод, что и в проверочном расчёте.

Полученную длину округляют вверх до целых пяти или десяти миллиметров и часто добавляют по 10 мм на каждый шов: начало и конец шва проварены хуже из-за непровара и кратера. С такой добавкой фланговый шов принимают 115 мм. В калькуляторе сверху эту логику видно на графике: кривая напряжения падает с ростом длины флангового шва и пересекает пунктир допускаемого напряжения ровно в точке минимально необходимой длины.

Стыковой шов и шов, нагруженный моментом

Стыковой шов считают проще: его расчётное сечение - это прямоугольник во всю толщину тонкого листа, и работает он на растяжение, а не на срез.

$$\sigma = \frac{N}{\delta l_w} \le [\sigma_{\text{р}}].$$

Для листов 12 мм шириной 250 мм при силе 400 кН получаем $\sigma = 400 \cdot 10^3 / (12 \cdot 250) = 133$ МПа, что меньше допускаемых 150 МПа. Усиление шва (валик, выступающий над поверхностью) в площадь не включают - его при расчёте срезают, так же как не учитывают краевые участки, если шов выведен на подкладку.

Если соединение нагружено ещё и моментом, к напряжению от силы добавляют напряжение от момента. Для двух вертикальных швов длиной $l$ момент сопротивления расчётного сечения равен $W_w = \beta_f k l^2 / 3$, напряжение от момента $\tau_M = M / W_w$, а полное напряжение находят геометрическим сложением составляющих:

$$\tau_{\Sigma} = \sqrt{\tau_N^2 + \tau_M^2} \le [\tau_{\text{ср}}].$$

Логика та же, что при сложном сопротивлении в задачах на определение реакций опор: сначала находят внутренние усилия в сечении, потом напряжения от каждого из них.

Частые ошибки

• Делят силу на площадь по катету, а не по $0{,}7k$. Получается $250 \cdot 10^3 / (8 \cdot 440) = 71$ МПа вместо 101,5 МПа: несущая способность завышена почти в полтора раза, и соединение уходит в проект недогруженным по расчёту, но перегруженным на деле.
• Забывают, что фланговых швов два. Полоса приварена с двух сторон, поэтому в сумму входит $2 l_{\text{ф}}$. Потерянный множитель ровно вдвое завышает напряжение и заставляет назначать лишний металл.
• Сравнивают с допускаемым напряжением на растяжение. Для шва берут именно $[\tau_{\text{ср}}]$, оно примерно на 40 процентов ниже $[\sigma]$ основного металла. Подстановка 160 МПа вместо 110 МПа делает проверку бессмысленной.
• Путают единицы. Сила в килоньютонах, длины в миллиметрах: $250$ кН нужно превратить в $250 \cdot 10^3$ Н, тогда $\text{Н}/\text{мм}^2$ сразу даст мегапаскали. Пропущенная тысяча даёт ответ 0,1 МПа и ложный вывод об огромном запасе.
• Не проверяют конструктивные ограничения. Катет больше $1{,}2\delta$ прожигает тонкий лист, фланговый шов длиннее $60k$ в расчёт целиком не идёт: нагрузка по его длине распределяется неравномерно, и середина шва почти не работает.
• Проверяют только шов. Полоса и лист тоже должны пройти по нормальным напряжениям, а при нахлёстке - ещё и на смятие под заклёпками или болтами, если соединение комбинированное.

FAQ

Почему угловой шов считают на срез, если нагрузка растягивающая? Потому что опасное сечение расположено под углом 45 градусов к линии действия силы, а на наклонной площадке возникают преимущественно касательные напряжения. Инженерная методика сводит сложное напряжённое состояние к одному условному напряжению среза и компенсирует упрощение пониженным допускаемым значением.

Откуда берётся коэффициент 0,7 и когда он другой? Это отношение высоты равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету, $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$. Для механизированной сварки берут 0,8, для автоматической под флюсом - 0,9 и выше: там больше глубина проплавления, а значит и расчётное сечение.

Какой катет шва можно назначить? Верхняя граница - $1{,}2\delta_{\min}$ по толщине тонкой из свариваемых деталей, нижняя зависит от толщины толстой детали и способа сварки (для листа 10 мм это 4-5 мм). Увеличивать катет бесконечно невыгодно: объём наплавленного металла растёт как квадрат катета, а прочность - линейно, поэтому дешевле удлинить шов.

Нужно ли вычитать по 10 мм на непровар и кратер? В машиностроительных методиках расчётную длину флангового шва берут на 10 мм меньше конструктивной, поэтому шов назначают с этим запасом. В строительных нормах вычет заменён требованием выводить шов за пределы расчётной длины. Как считать, определяет методичка курса - главное, применять правило последовательно.

Коротко

1. Расчётная высота углового шва равна $\beta_f k$: 0,7 катета при ручной сварке, 0,8 при механизированной, 0,9 при автоматической.
2. Расчётная площадь - высота, умноженная на суммарную длину всех швов соединения: $A_w = \beta_f k \sum l_w$.
3. Условие прочности одно для лобовых и фланговых швов: $\tau = N / A_w \le [\tau_{\text{ср}}]$, где $[\tau_{\text{ср}}] \approx 0{,}6[\sigma]$.
4. Для подбора длины формулу разворачивают: $\sum l_w \ge N / (\beta_f k [\tau_{\text{ср}}])$, затем проверяют границы $4k \le l_{\text{ф}} \le 60k$ и $k \le 1{,}2\delta_{\min}$.
5. В разобранном примере $A_w = 5{,}6 \cdot 440 = 2464$ мм², $\tau = 101{,}5$ МПа при допускаемых 110 МПа - прочность обеспечена, запас 8 процентов.