Как рассчитать заклёпочное соединение: срез и смятие

Дано: два листа шириной $b = 200$ мм и толщиной $\delta = 10$ мм соединены внахлёстку заклёпками диаметром $d = 16$ мм, растягивающая сила $N = 180$ кН, допускаемое напряжение на срез $[\tau_{\text{ср}}] = 100$ МПа, на смятие $[\sigma_{\text{см}}] = 240$ МПа, на растяжение листа $[\sigma_{\text{р}}] = 160$ МПа. Найти: необходимое число заклёпок и проверить лист по ослабленному сечению.

Заклёпочное соединение считают по двум независимым условиям прочности: на срез стержня заклёпки и на смятие стенок отверстия. Числа получаются разные, и в работу берут большее из них. Ответ: по срезу нужно 9 заклёпок, по смятию хватает 5, принимаем 9 штук в три ряда по три; лист по ослабленному сечению нагружен на 118,4 МПа против допускаемых 160 МПа, соединение проходит. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: подвинь диаметр заклёпки, и видно, в какой момент решать начинает уже не срез, а смятие.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу:

Найти: число заклёпок $n$ и напряжение в листе по ослабленному сечению.

Шаг 1. Число заклёпок из условия прочности на срез. Сила переходит с листа на лист через стержни заклёпок. При нахлёстке каждый стержень перерезается по одной плоскости, то есть соединение односрезное и $i = 1$. Расчёт ведут по среднему касательному напряжению, считая, что сила делится между заклёпками поровну, а по сечению стержня распределяется равномерно. Площадь среза одной заклёпки:

$$A_1 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 16^2}{4} = 201{,}1\ \text{мм}^2$$

Условие прочности $\tau = N / (n i A_1) \le [\tau_{\text{ср}}]$ разворачиваем относительно числа заклёпок:

$$n_{\text{ср}} \ge \frac{N}{i A_1 [\tau_{\text{ср}}]} = \frac{180 \cdot 10^3}{1 \cdot 201{,}1 \cdot 100} = 8{,}95$$

Дробное число заклёпок округляют только вверх: $n_{\text{ср}} = 9$.

Шаг 2. Число заклёпок из условия прочности на смятие. Стержень давит на стенку отверстия, и стенка может смяться раньше, чем стержень перережется. Реальная площадка контакта криволинейна, поэтому в расчёте её заменяют проекцией на диаметральную плоскость: прямоугольником $d \times \delta$. Толщина берётся наименьшая из тех, что сминаются в одном направлении, здесь оба листа по 10 мм.

$$n_{\text{см}} \ge \frac{N}{d \delta [\sigma_{\text{см}}]} = \frac{180 \cdot 10^3}{16 \cdot 10 \cdot 240} = 4{,}69$$

Округляем вверх: $n_{\text{см}} = 5$.

Шаг 3. Принимаем большее число и размещаем заклёпки. Соединение должно выдержать оба вида разрушения, поэтому $n = \max(9;\ 5) = 9$. Проверим, что при девяти заклёпках фактические напряжения лежат в допускаемых:

$$\tau = \frac{180 \cdot 10^3}{9 \cdot 201{,}1} = 99{,}5\ \text{МПа} < 100\ \text{МПа}, \qquad \sigma_{\text{см}} = \frac{180 \cdot 10^3}{9 \cdot 16 \cdot 10} = 125\ \text{МПа} < 240\ \text{МПа}$$

Девять заклёпок укладываем в три поперечных ряда по три штуки. По ширине 200 мм это даёт шаг 60 мм и расстояние до кромки 40 мм: оба размера с запасом проходят конструктивные ограничения (шаг не меньше $3d = 48$ мм, отступ от края поперёк силы не меньше $1{,}5d = 24$ мм).

Шаг 4. Проверка листа на разрыв по ослабленному сечению. Отверстия вырезают часть сечения листа, и опасным становится первый поперечный ряд: до него дошла вся сила $N$, а металла осталось меньше всего. В сечении три отверстия:

$$A_{\text{нетто}} = (b - m d)\,\delta = (200 - 3 \cdot 16) \cdot 10 = 1520\ \text{мм}^2$$ $$\sigma = \frac{N}{A_{\text{нетто}}} = \frac{180 \cdot 10^3}{1520} = 118{,}4\ \text{МПа} < [\sigma_{\text{р}}] = 160\ \text{МПа}$$

Для сравнения, целое сечение листа нагружено всего на 90 МПа: отверстия подняли напряжение почти на треть.

Ответ. Принимаем 9 заклёпок диаметром 16 мм, размещённых в три ряда по три; фактические напряжения $\tau = 99{,}5$ МПа и $\sigma_{\text{см}} = 125$ МПа, лист по ослабленному сечению нагружен на $118{,}4$ МПа при допускаемых 160 МПа. Все три проверки выполнены.

Формула и откуда она берётся

Обе рабочие формулы вырастают из одного допущения: сила делится между заклёпками поровну. Строго это неверно, крайние заклёпки в длинном ряду нагружены сильнее средних, но пластичная сталь выравнивает усилия за счёт местных деформаций, и учебный расчёт этим пользуется. Отсюда сила на одну заклёпку равна $N / n$, а дальше остаётся приравнять её к несущей способности одного стержня.

Срез стержня описывает условие $\tau = Q / A \le [\tau_{\text{ср}}]$: касательная сила делится на площадь среза. Само напряжённое состояние стержня заклёпки близко к чистому сдвигу, оно разобрано в статье про чистый сдвиг и закон Гука при сдвиге. Если плоскостей среза несколько, площадь умножают на их число $i$, потому что каждая плоскость несёт свою долю силы.

Смятие описывает то же деление силы на площадь, только площадь условная. Давление между стержнем и стенкой отверстия распределено по полуцилиндру неравномерно, максимум приходится на середину дуги. Точный расчёт контакта в сопромате не ведут, вместо этого силу делят на площадь проекции $d\delta$ и сравнивают с повышенным допускаемым напряжением: $[\sigma_{\text{см}}]$ обычно берут в 2 раза больше $[\sigma_{\text{р}}]$, а к $[\tau_{\text{ср}}]$ оно относится примерно как 2,4 к 1. Из-за такой разницы в допускаемых напряжениях смятие в односрезном соединении почти всегда оказывается менее опасным, и число заклёпок диктует срез.

Ослабление листа оценивают коэффициентом прочности соединения: $\varphi = A_{\text{нетто}} / A_{\text{брутто}} = 1520 / 2000 = 0{,}76$. Это доля прочности целого листа, которая осталась после сверления отверстий. Чем меньше заклёпок в одном ряду, тем выше $\varphi$, поэтому девять заклёпок и разносят по трём рядам, а не ставят в один ряд поперёк.

Двухсрезное соединение: когда заклёпок нужно вдвое меньше

Замени нахлёстку стыком с двумя накладками, и каждая заклёпка станет двухсрезной: $i = 2$. Условие среза сразу даёт вдвое меньшее число, $n_{\text{ср}} \ge 4{,}48$, то есть 5 заклёпок с каждой стороны стыка. А вот условие смятия не изменилось: стержень по-прежнему давит на стенку отверстия основного листа толщиной 10 мм, и $n_{\text{см}} = 4{,}69$, снова 5. Здесь оба условия сошлись, и решает уже смятие, а не срез.

Это общее правило: чем больше плоскостей среза, тем раньше расчёт переключается на смятие. Для условий задачи граница проходит около $d \approx 15$ мм при двух плоскостях среза и около 31 мм при одной. Ползунок диаметра в калькуляторе сверху показывает эту точку как пересечение двух кривых.

При стыке с накладками смятие проверяют по наименьшей суммарной толщине: либо толщина основного листа, либо сумма толщин двух накладок. Накладки поэтому и делают толщиной не меньше $0{,}6\delta$ каждая, иначе сминаться начнут они. Если по числу заклёпок соединение не вписывается в ширину листа, его обычно заменяют сварным; расчёт углового шва на срез разобран отдельно в разборе сварного шва.

Шаг заклёпок и расстояние до края

Число заклёпок само по себе ответа не даёт: их ещё надо разместить так, чтобы металл между отверстиями не вырвался. Нормы простые и одинаковы для большинства курсовых:

Отсюда следует и предел на число заклёпок в одном поперечном ряду: при шаге $3d$ и двух краевых отступах по $1{,}5d$ ширины хватает примерно на $b / (3d)$ штук, у нас это 4. Поставить в ряд больше нельзя физически, значит, лишние заклёпки уходят в следующие ряды, а ослабленное сечение считается всё по тем же трём отверстиям.

Соединяемые заклёпками элементы сами должны выдержать нагрузку: как подобрать сечение балки по условию прочности при изгибе, разобрано отдельно.

Частые ошибки

• Берут меньшее из двух чисел. Соединение обязано выдержать оба вида разрушения, поэтому в ответ идёт максимум, а не минимум и не среднее.
• Округляют дробное число вниз. 8,95 заклёпки это 9 штук, а не 8: при восьми фактическое напряжение среза будет 112 МПа против допускаемых 100.
• Площадь смятия считают как площадь круга. В формулу смятия идёт прямоугольник $d\delta$, а не $\pi d^2/4$ и не половина боковой поверхности цилиндра.
• Теряют число плоскостей среза. В стыке с двумя накладками каждая заклёпка работает на два среза, и площадь удваивается; забытый множитель $i$ ровно вдвое завышает число заклёпок.
• Не проверяют лист. Заклёпки могут пройти обе проверки, а лист порваться по ряду отверстий: расчёт неполон без сечения нетто.
• Ослабленное сечение считают по всем отверстиям сразу. В сечение входят только отверстия одного поперечного ряда, а не все девять заклёпок соединения.

FAQ

Какой диаметр заклёпки брать, если он не задан? Ориентируйся на толщину соединяемых листов: $d \approx 2\delta$, с округлением до стандартного ряда. Слишком мелкие заклёпки дают большое их число и длинное соединение, слишком крупные сильно ослабляют лист отверстиями.

Считать по диаметру стержня или по диаметру отверстия? При горячей клёпке стержень осаживается и заполняет отверстие целиком, поэтому в расчёт идёт диаметр поставленной заклёпки, то есть диаметр отверстия (обычно на 1 мм больше диаметра заготовки). В учебных задачах диаметр задают один и различий не делают.

Учитывать ли силу трения между листами? В классическом расчёте нет. Горячая заклёпка при остывании стягивает пакет и часть силы действительно передаётся трением, но это идёт в скрытый запас прочности. Учитывают трение только во фрикционных соединениях на высокопрочных болтах, где расчёт ведут именно по силе натяжения.

Что делать, если по срезу и по смятию получились сильно разные числа? Это нормально и означает, что соединение работает не в оптимуме. Уменьшить разрыв можно, увеличив диаметр заклёпки (число по срезу падает быстрее, как $1/d^2$) или перейдя на двухсрезную схему со стыковыми накладками.

Коротко

1. Посчитай площадь среза одной заклёпки $A_1 = \pi d^2 / 4 = 201{,}1$ мм² и число заклёпок по срезу: $n_{\text{ср}} = N / (i A_1 [\tau_{\text{ср}}]) = 8{,}95 \to 9$.
2. Посчитай число по смятию через условную площадь $d\delta$: $n_{\text{см}} = N / (d \delta [\sigma_{\text{см}}]) = 4{,}69 \to 5$.
3. В ответ идёт большее из двух чисел, дробь всегда округляется вверх: принимаем 9 заклёпок, три ряда по три.
4. Проверь лист по ослабленному сечению первого ряда: $\sigma = N / ((b - md)\delta) = 118{,}4$ МПа против допускаемых 160 МПа, коэффициент прочности соединения $\varphi = 0{,}76$.
5. Размести заклёпки с шагом не меньше $3d$ и отступом от края не меньше $1{,}5d$ поперёк силы: 60 и 40 мм соответственно.