Как подобрать сечение балки: расчёт двутавра на изгиб

Дано: стальная балка на двух шарнирных опорах, пролёт $L = 6$ м, равномерно распределённая нагрузка $q = 20$ кН/м по всей длине, допускаемое напряжение $[\sigma] = 160$ МПа, сечение - прокатный двутавр по ГОСТ 8239-89. Найти: номер профиля.

Подбор сечения при изгибе всегда сводится к трём действиям: найти наибольший изгибающий момент, разделить его на допускаемое напряжение и взять из сортамента первый профиль, у которого осевой момент сопротивления не меньше полученного числа. Ответ: $M_{\text{max}} = 90$ кН·м, требуемый момент сопротивления $W_{\text{тр}} = 562{,}5$ см³, принимаем двутавр №33 с $W_x = 597$ см³, фактическое напряжение 150,8 МПа при запасе 5,8 %. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: столбики - моменты сопротивления соседних номеров сортамента, пунктир - требуемое значение, и сразу видно, что №30а до него не дотягивается.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Реакции опор. Нагрузка и схема симметричны, поэтому опоры делят её поровну и вычислять ничего сложного не нужно:

$$V_A = V_B = \frac{qL}{2} = \frac{20 \cdot 6}{2} = 60\ \text{кН}.$$

Если схема несимметрична, реакции ищут из уравнений статики - приём разобран в задаче про реакции опор балки. Реакции нужны не сами по себе: без них не записать поперечную силу и изгибающий момент в сечении.

Шаг 2. Наибольший изгибающий момент. У двухопорной балки с равномерной нагрузкой опасное сечение лежит посередине пролёта: там поперечная сила меняет знак, а момент достигает максимума. Готовая формула для этой схемы:

$$M_{\text{max}} = \frac{qL^2}{8} = \frac{20 \cdot 6^2}{8} = 90\ \text{кН}\cdot\text{м}.$$

Для схем сложнее табличной момент берут с эпюры: строят $Q(x)$ и $M(x)$ по участкам и снимают наибольшее по модулю значение. Как это делается по шагам, показано в разборе построения эпюры моментов; здесь нам достаточно одного числа - 90 кН·м.

Шаг 3. Требуемый момент сопротивления. Условие прочности при изгибе связывает момент, геометрию сечения и материал:

$$\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_x} \le [\sigma] \quad \Longrightarrow \quad W_x \ge \frac{M_{\text{max}}}{[\sigma]}.$$

Здесь важнее всего единицы. Мегапаскаль - это ньютон на квадратный миллиметр, поэтому момент тоже нужно перевести в ньютоны и миллиметры: $90$ кН·м $= 90 \cdot 10^6$ Н·мм. Тогда

$$W_{\text{тр}} = \frac{90 \cdot 10^6}{160} = 562\,500\ \text{мм}^3 = 562{,}5\ \text{см}^3.$$

Шаг 4. Выбор номера по сортаменту. В таблице ГОСТ 8239-89 для каждого двутавра указан осевой момент сопротивления $W_x$. Идём по столбцу сверху вниз и берём первое значение, которое не меньше 562,5 см³.

Двутавр №30а даёт всего 518 см³ и не проходит: напряжение в нём вышло бы $90 \cdot 10^6 / 518\,000 = 173{,}7$ МПа, то есть на 8,6 % выше допускаемого. Следующий номер, №33, подходит.

Шаг 5. Проверка принятого сечения. Подбор без проверки не засчитывают: нужно подставить фактический момент сопротивления и убедиться, что напряжение уложилось в допускаемое.

$$\sigma_{\text{max}} = \frac{90 \cdot 10^6}{597 \cdot 10^3} = 150{,}8\ \text{МПа} \le 160\ \text{МПа}.$$

Недонапряжение составляет 5,8 % - это нормально: сортамент дискретный, и попасть в допускаемое напряжение точь-в-точь невозможно. Обычно считают приемлемым недогруз до 10–15 %, а вот перегруз не допускается даже на процент.

Шаг 6. Поправка на собственный вес. Масса метра профиля №33 равна 42,2 кг, что даёт добавочную нагрузку $q_{\text{соб}} = 42{,}2 \cdot 9{,}81 / 1000 = 0{,}414$ кН/м. С ней $q = 20{,}41$ кН/м, момент растёт до 91,86 кН·м, а напряжение - до 153,9 МПа. Условие прочности по-прежнему выполняется. Ответ: двутавр №33, $\sigma_{\text{max}} = 153{,}9$ МПа при $[\sigma] = 160$ МПа.

Формула и откуда она берётся

При изгибе волокна с одной стороны балки растягиваются, с другой сжимаются, а между ними лежит нейтральный слой с нулевым напряжением. Нормальное напряжение растёт линейно с удалением от нейтральной оси: $\sigma(y) = M y / I_x$. Максимум приходится на крайнее волокно, где $y = y_{\text{max}}$, и его удобно записать через одну геометрическую характеристику:

$$\sigma_{\text{max}} = \frac{M \, y_{\text{max}}}{I_x} = \frac{M}{W_x}, \qquad W_x = \frac{I_x}{y_{\text{max}}}.$$

Величина $W_x$ и называется осевым моментом сопротивления сечения. Она зависит только от формы и размеров сечения - ни от материала, ни от нагрузки, - поэтому её однажды посчитали для всех прокатных профилей и занесли в сортамент. Именно благодаря этому подбор балки укладывается в одно деление и одну строчку таблицы. Подробный вывод и формулы $W_x$ для прямоугольника, круга и кольца собраны в статье про момент сопротивления сечения при изгибе.

Заметь, что при кручении работает похожее по виду условие, но с другой характеристикой - полярным моментом сопротивления $W_p$, и подставлять в него $W_x$ нельзя. Такой расчёт разобран отдельно, в задаче о подборе диаметра вала.

Если сечение не прокатное

Когда профиль не задан сортаментом, требуемый $W_{\text{тр}}$ остаётся тем же, а меняется только способ перейти от него к размерам. Для прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ момент сопротивления равен $bh^2/6$. Задав привычное соотношение $h = 2b$, получаем уравнение относительно одной неизвестной:

$$W = \frac{b (2b)^2}{6} = \frac{2b^3}{3} \ge 562\,500\ \text{мм}^3, \qquad b \ge \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 562\,500}{2}} = 94{,}5\ \text{мм}.$$

Округляем до $b = 95$ мм, $h = 190$ мм, тогда $W = 571{,}6$ см³ - условие выполнено. Но площадь такого сечения 180,5 см² против 53,8 см² у двутавра №33: металла уходит в 3,4 раза больше при той же несущей способности. Для сплошного круга из $W = \pi d^3/32$ выходит $d = 179$ мм и площадь 251,6 см² - ещё хуже. Причина одна: у двутавра почти весь материал вынесен в полки, максимально далеко от нейтральной оси, где он и работает. У круга половина сечения сидит рядом с осью и напряжений почти не воспринимает.

Если нагрузка задана не распределённой, а сосредоточенной силой, меняется только формула момента. Сила $F = 60$ кН посередине того же пролёта даёт $M = FL/4 = 90$ кН·м - ровно тот же момент и тот же двутавр №33. Переключи схему в калькуляторе сверху, и подбор пересчитается сам.

Проверка по жёсткости и по стенке

Прочность - не единственное требование. Балка может выдержать нагрузку, но прогнуться так, что треснет штукатурка или заклинит оборудование. Прогиб середины пролёта под равномерной нагрузкой считают по формуле $f = 5qL^4/(384 E I_x)$. Подставим $I_x = 9840$ см⁴ $= 9{,}84 \cdot 10^7$ мм⁴ (напомню: 1 кН/м численно равен 1 Н/мм):

$$f = \frac{5 \cdot 20 \cdot 6000^4}{384 \cdot 2{,}1 \cdot 10^5 \cdot 9{,}84 \cdot 10^7} = 16{,}3\ \text{мм}.$$

Это $1/367$ пролёта при типовом допускаемом значении $[f] = L/200 = 30$ мм, то есть жёсткости хватает с двойным запасом. Так бывает не всегда: у длинных и слабо нагруженных балок определяющей становится именно жёсткость, и тогда профиль подбирают по требуемому моменту инерции, а прочность проверяют потом.

Третья проверка - касательные напряжения в стенке по формуле Журавского $\tau = Q S_x / (I_x s)$. При $Q_{\text{max}} = 60$ кН, $S_x = 339$ см³ и толщине стенки $s = 7$ мм получаем 29,5 МПа против допускаемых $[\tau] \approx 0{,}6[\sigma] = 96$ МПа. Для балок средних пролётов эта проверка почти всегда проходит с большим запасом и становится критичной лишь у коротких сильно нагруженных балок; сама формула разобрана в статье о касательных напряжениях при изгибе.

Подобранный профиль ещё нужно к чему-то прикрепить, и узел рассчитывают отдельно - на срез и смятие: см. заклёпочное соединение.

Частые ошибки

• Путаница в единицах. Момент оставляют в кН·м, а напряжение берут в МПа - и получают 0,5625 вместо 562 500 мм³. Надёжный приём: перед делением перевести момент в Н·мм, а напряжение читать как Н/мм².
• Округление вниз. Из сортамента берут ближайший по значению номер, а не ближайший больший. Если $W_x$ профиля меньше требуемого хоть на единицу, сечение не проходит.
• Не тот столбец сортамента. Вместо $W_x$ подставляют $W_y$ - момент сопротивления относительно вертикальной оси. Он в разы меньше и относится к изгибу балки, положенной набок.
• Опасное сечение выбрано на глаз. Середина пролёта - максимум только для симметричной схемы. У консоли момент максимален в заделке, у балки с консолью и у несимметричной нагрузки максимум смещается, и найти его можно только по эпюре.
• Забытый собственный вес. Для лёгких нагрузок поправка мелкая, но если расчётное напряжение вышло 158 МПа при допускаемых 160, вес профиля выведет сечение за предел.
• Одна проверка вместо трёх. Прочность по нормальным напряжениям - минимум; в учебном расчёте почти всегда ждут ещё проверку прогиба, а иногда и стенки по Журавскому.

FAQ

Почему двутавр выгоднее прямоугольника? Момент сопротивления растёт с удалением материала от нейтральной оси, а в двутавре полки вынесены к самым краям. При равной несущей способности прямоугольное сечение весит в 3–4 раза больше, а круглое - почти в 5 раз.

Что делать, если недонапряжение получилось 30 %? Проверить арифметику: обычно это признак ошибки в моменте или единицах. Если расчёт верен, а разрыв велик, значит выбранный ряд профилей слишком грубый для этой нагрузки - берут ближайший меньший номер и проверяют его заново либо переходят к другому типу профиля.

Нужно ли учитывать собственный вес балки? Строго говоря, да, но заранее он неизвестен: пока профиль не выбран, неоткуда взять массу метра. Поэтому вес добавляют вторым приближением - после подбора, при проверке. Если напряжение с учётом веса вышло за предел, берут следующий номер.

Прочности хватает, а прогиб больше допускаемого - что менять? Прогиб зависит от момента инерции $I_x$, а не от $W_x$, и падает как четвёртая степень высоты. Поэтому выгоднее взять профиль большей высоты, а не более массивный той же высоты: №36 против №33 добавляет к весу 15 %, а к моменту инерции - 36 %.

Коротко

1. Найди реакции опор и наибольший по модулю изгибающий момент: для двухопорной балки с равномерной нагрузкой $M_{\text{max}} = qL^2/8$, здесь 90 кН·м.
2. Раздели момент на допускаемое напряжение, переведя всё в ньютоны и миллиметры: $W_{\text{тр}} = 90 \cdot 10^6 / 160 = 562{,}5$ см³.
3. Возьми из сортамента ГОСТ 8239-89 первый профиль с $W_x \ge W_{\text{тр}}$: №30а с 518 см³ не проходит, подходит №33 с 597 см³.
4. Проверь принятое сечение: $\sigma_{\text{max}} = 150{,}8$ МПа, с учётом собственного веса 153,9 МПа - оба значения меньше 160 МПа.
5. Добавь проверки жёсткости ($f = 16{,}3$ мм при $[f] = 30$ мм) и стенки по Журавскому (29,5 МПа при 96 МПа). Ответ: двутавр №33.