Как рассчитать напряжения при изгибе: пошаговое решение

Дано: деревянная балка на двух шарнирных опорах, пролёт $L = 4$ м, равномерно распределённая нагрузка $q = 4$ кН/м по всей длине, прямоугольное сечение $b = 100$ мм, $h = 200$ мм (изгиб на ребро), допускаемое напряжение $[\sigma] = 13$ МПа. Найти: нормальное напряжение в крайнем волокне и на уровне $y = 50$ мм от нейтральной оси, проверить прочность.

Нормальные напряжения при изгибе считают в три действия: находят изгибающий момент в опасном сечении, находят геометрическую характеристику сечения и делят одно на другое. Ответ: $M_{\max} = 8$ кН·м, $I_x = 6666{,}67$ см⁴, $W_x = 666{,}67$ см³, напряжение в крайнем волокне $\sigma_{\max} = 12{,}0$ МПа, на уровне $y = 50$ мм ровно вдвое меньше, $6{,}0$ МПа; прочность обеспечена с запасом 7,7 %. Калькулятор сверху открыт на этих же числах: наклонная прямая и есть эпюра напряжений по высоте сечения, а светлая полоса показывает допускаемую зону.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу, чтобы не потерять единицы.

Шаг 1. Изгибающий момент в опасном сечении. Нагрузка и опоры симметричны, поэтому каждая опора берёт половину суммарной нагрузки:

$$V_A = V_B = \frac{qL}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8\ \text{кН}.$$

У двухопорной балки с равномерной нагрузкой опасное сечение лежит посередине пролёта: там поперечная сила обращается в ноль и меняет знак, а момент достигает максимума. Для этой схемы момент берут по готовой формуле:

$$M_{\max} = \frac{qL^2}{8} = \frac{4 \cdot 4^2}{8} = 8\ \text{кН}\cdot\text{м}.$$

Если схема сложнее табличной, момент снимают с эпюры: балку разбивают на участки, записывают $M(x)$ методом сечений и берут наибольшее по модулю значение. Как это делается по шагам, разобрано в задаче про построение эпюры моментов; здесь нам достаточно одного числа.

Шаг 2. Геометрия сечения. Для прямоугольника, изгибаемого в плоскости высоты, осевой момент инерции относительно нейтральной оси и момент сопротивления считают так:

$$I_x = \frac{b h^3}{12} = \frac{100 \cdot 200^3}{12} = 66\,666\,667\ \text{мм}^4 = 6666{,}67\ \text{см}^4,$$ $$W_x = \frac{I_x}{y_{\max}} = \frac{b h^2}{6} = \frac{100 \cdot 200^2}{6} = 666\,667\ \text{мм}^3 = 666{,}67\ \text{см}^3.$$

Здесь $y_{\max} = h/2 = 100$ мм - расстояние от нейтральной оси до самого удалённого волокна. Для симметричного сечения нейтральная ось проходит ровно посередине высоты, поэтому верхнее и нижнее крайние волокна равноудалены.

Шаг 3. Напряжение в крайнем волокне. Переведём момент в ньютоны и миллиметры, иначе результат уедет на три порядка: $8$ кН·м $= 8 \cdot 10^6$ Н·мм.

$$\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_x} = \frac{8 \cdot 10^6}{666\,667} = 12{,}0\ \text{Н/мм}^2 = 12{,}0\ \text{МПа}.$$

Мегапаскаль и ньютон на квадратный миллиметр - одно и то же, поэтому связка «Н·мм и мм³» удобнее всего: ответ сразу получается в МПа без дополнительных множителей.

Шаг 4. Напряжение на заданном уровне. Для произвольного волокна работает общая формула с координатой $y$:

$$\sigma(y) = \frac{M_{\max} \, y}{I_x} = \frac{8 \cdot 10^6 \cdot 50}{66\,666\,667} = 6{,}0\ \text{МПа}.$$

Число получилось ровно вдвое меньше максимума, и это не совпадение: уровень $y = 50$ мм отстоит от нейтральной оси на половину от $y_{\max} = 100$ мм, а закон распределения линейный. Отсюда быстрый приём самопроверки: доля напряжения равна доле координаты, $\sigma(y)/\sigma_{\max} = y/y_{\max}$.

Шаг 5. Проверка прочности. Условие прочности при изгибе требует, чтобы наибольшее нормальное напряжение не превышало допускаемого:

$$\sigma_{\max} = 12{,}0\ \text{МПа} \le [\sigma] = 13\ \text{МПа}.$$

Коэффициент использования сечения $12{,}0/13 = 0{,}923$, то есть запас 7,7 %. Сечение подобрано плотно: балка работает почти на пределе, но условие выполнено.

Ответ: $\sigma_{\max} = 12{,}0$ МПа в крайних волокнах, $\sigma = 6{,}0$ МПа на уровне $y = 50$ мм, прочность обеспечена (запас 7,7 %).

Формула и откуда она берётся

В основе расчёта лежит гипотеза плоских сечений: сечение, плоское до нагружения, остаётся плоским и после. Балка при изгибе выгибается дугой, верхние волокна укорачиваются, нижние удлиняются, а между ними есть слой, длина которого не меняется, - нейтральный слой. Его след на сечении и называют нейтральной осью.

Раз сечение поворачивается как жёсткая фигура, относительная деформация волокна пропорциональна его расстоянию от нейтральной оси. По закону Гука напряжение пропорционально деформации, значит, и напряжение растёт линейно:

$$\sigma(y) = \frac{M \, y}{I_x}.$$

Нейтральная ось при прямом изгибе проходит через центр тяжести сечения - иначе в сечении появилась бы ненулевая продольная сила, а её при чистом изгибе нет. Максимум напряжения приходится на самое удалённое волокно, $y = y_{\max}$, и там формулу удобно свернуть, введя момент сопротивления $W_x = I_x / y_{\max}$. Эта характеристика объединяет в одном числе и момент инерции, и удалённость крайнего волокна; подробный разбор её смысла и формул для круга, кольца и прокатных профилей - в статье про момент сопротивления сечения.

Обратная задача - когда напряжение задано, а размеры ищут - решается той же формулой, только относительно $W_x$: разбор с сортаментом двутавров собран в задаче о подборе сечения балки.

Знак напряжения и что меняется у других сечений

Формула даёт и знак: волокна по одну сторону нейтральной оси растянуты, по другую сжаты. У симметричного сечения модули напряжений в верхнем и нижнем крайних волокнах одинаковы, поэтому достаточно одной проверки. Но как только материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию (чугун, бетон) или сечение несимметрично относительно нейтральной оси (тавр, швеллер полкой вверх), расстояния $y$ сверху и снизу различаются, появляются два момента сопротивления, и условие прочности записывают дважды - отдельно по растянутой и по сжатой зоне.

Показателен и опыт с тем же сечением, положенным плашмя. Меняются местами $b$ и $h$:

$$W_x = \frac{h b^2}{6} = \frac{200 \cdot 100^2}{6} = 333{,}33\ \text{см}^3, \qquad \sigma_{\max} = \frac{8 \cdot 10^6}{333\,333} = 24{,}0\ \text{МПа}.$$

Напряжение выросло ровно вдвое и перевалило за допускаемое: доска плашмя такую нагрузку не держит. Причина в том, что высота входит в формулу в квадрате, а ширина - в первой степени. Поэтому балки и ставят на ребро, а прокатные профили делают высокими и тонкими. Переключи в калькуляторе размеры местами - увидишь, как эпюра вылезет за границу допускаемой полосы.

Касательные напряжения и жёсткость

Нормальные напряжения - не единственная проверка. В том же сечении действуют касательные напряжения от поперечной силы, наибольшие на уровне нейтральной оси. Для прямоугольника они считаются просто:

$$\tau_{\max} = \frac{3Q_{\max}}{2A} = \frac{3 \cdot 8000}{2 \cdot 20\,000} = 0{,}6\ \text{МПа},$$

что для древесины при скалывании вдоль волокон безопасно. Общий случай описывает формула Журавского, разобранная в отдельной статье. Для длинных балок касательные напряжения обычно не определяют размеры сечения, но для коротких и высоких их проверяют обязательно.

Наконец, прочность не гарантирует пригодности: балка может выдержать нагрузку и при этом заметно провиснуть. Поэтому после проверки по напряжениям выполняют расчёт на жёсткость - сравнивают прогиб балки с допускаемым значением вроде $L/200$.

Частые ошибки

• Момент подставляют в кН·м, а момент сопротивления в см³ - ответ отличается от верного в тысячи раз. Держи всё в одной системе: Н·мм и мм³ дают сразу МПа.
• Путают $I_x$ и $W_x$: делят момент на момент инерции и забывают умножить на $y$. Проверка по размерности мгновенно ловит ошибку.
• Координату $y$ отсчитывают от нижней грани сечения, а не от нейтральной оси. Для нашей балки волокно «50 мм от низа» - это на самом деле $y = -50$ мм от оси.
• Для сечения, положенного плашмя, оставляют прежнюю формулу $bh^2/6$, не поменяв местами буквы. Высота - это всегда размер в плоскости изгиба.
• Берут момент не в опасном сечении: у двухопорной балки на опоре он равен нулю, у консоли максимум наоборот в заделке.
• Складывают нормальные и касательные напряжения арифметически. Они действуют по разным площадкам, и объединяют их только через теории прочности.

FAQ

Чем момент сопротивления отличается от момента инерции? Момент инерции $I_x$ описывает сечение целиком и нужен для расчёта прогибов и для напряжения на произвольном уровне. Момент сопротивления $W_x = I_x/y_{\max}$ - производная от него характеристика, привязанная к крайнему волокну, и годится только для максимального напряжения. Размерности тоже разные: мм⁴ против мм³.

Почему в нейтральном слое напряжение равно нулю? Потому что длина этих волокон при изгибе не меняется: деформация нулевая, значит, по закону Гука нулевое и напряжение. Именно поэтому материал у середины высоты работает слабо, и в двутавре его почти убрали, оставив тонкую стенку.

Как считать, если изгибающий момент отрицательный? Модуль напряжения от знака момента не зависит, меняются местами растянутая и сжатая зоны. Для симметричного сечения из однородного материала проверка не изменится; для чугуна или железобетона знак принципиален, потому что допускаемые напряжения на растяжение и сжатие разные.

Обязательно ли учитывать собственный вес балки? Для стальных профилей поправка обычно 1-3 % и её добавляют на этапе проверки принятого сечения. Для деревянных и железобетонных балок больших пролётов вес сопоставим с полезной нагрузкой, и его включают в $q$ сразу.

Коротко

1. Найди изгибающий момент в опасном сечении: для балки на двух опорах с равномерной нагрузкой $M_{\max} = qL^2/8 = 8$ кН·м.
2. Посчитай геометрию сечения: $I_x = bh^3/12 = 6666{,}67$ см⁴ и $W_x = bh^2/6 = 666{,}67$ см³.
3. Переведи момент в Н·мм и раздели на $W_x$: $\sigma_{\max} = 12{,}0$ МПа в крайнем волокне.
4. Для промежуточного волокна используй $\sigma = M y / I_x$: при $y = 50$ мм получается 6,0 МПа, ровно половина максимума.
5. Сравни с допускаемым: $12{,}0 \le 13$ МПа, прочность обеспечена с запасом 7,7 %.