Как найти прогиб балки: пошаговое решение

Дано: стальная балка из двутавра №22 по ГОСТ 8239-89 на двух шарнирных опорах, пролёт $L = 6$ м, равномерно распределённая нагрузка $q = 8$ кН/м по всему пролёту, модуль упругости $E = 2 \cdot 10^5$ МПа, допускаемый прогиб $[f] = L/250$. Найти: наибольший прогиб и проверить балку на жёсткость.

Наибольший прогиб такой балки приходится на середину пролёта и считается по готовой формуле $f = 5qL^4/(384EI)$: остаётся взять момент инерции из сортамента и аккуратно привести единицы. Ответ: $f = 26{,}5$ мм, то есть $L/227$, что больше допускаемых 24 мм: жёсткость двутавра №22 не обеспечена, условию удовлетворяет двутавр №24 с прогибом 19,5 мм. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: красная кривая показывает изогнутую ось №22 и проваливается под пунктир допускаемого прогиба, а штриховая кривая №24 остаётся выше него.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу, момент инерции сразу выпишем из сортамента.

Шаг 1. Единые единицы. Для прогиба удобнее всего ньютоны и миллиметры: мегапаскаль и есть ньютон на квадратный миллиметр, а ответ сразу получится в миллиметрах.

$$\begin{aligned} L &= 6\ \text{м} = 6000\ \text{мм}, \\ q &= 8\ \text{кН/м} = 8\ \text{Н/мм}, \\ I_x &= 2550\ \text{см}^4 = 2550 \cdot 10^4\ \text{мм}^4 = 2{,}55 \cdot 10^7\ \text{мм}^4. \end{aligned}$$

Килоньютон на метр численно равен ньютону на миллиметр: числитель и знаменатель умножаются на одну и ту же тысячу. А вот момент инерции растёт в десять тысяч раз, потому что сантиметр стоит в четвёртой степени. Именно здесь чаще всего и теряют порядок.

Шаг 2. Изгибная жёсткость сечения. Произведение $EI$ показывает, насколько балка сопротивляется искривлению: чем оно больше, тем меньше прогиб.

$$EI = 2 \cdot 10^5 \cdot 2{,}55 \cdot 10^7 = 5{,}1 \cdot 10^{12}\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2 = 5100\ \text{кН}\cdot\text{м}^2.$$

Шаг 3. Прогиб в середине пролёта. Реакции опор отдельно искать не нужно: они уже учтены в табличной формуле для этой схемы. Если нагрузка несимметрична, начинать придётся с них, как в разборе реакций опор балки с распределённой нагрузкой.

$$f = \frac{5qL^4}{384EI} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 6000^4}{384 \cdot 5{,}1 \cdot 10^{12}} = \frac{5{,}184 \cdot 10^{16}}{1{,}9584 \cdot 10^{15}} = 26{,}5\ \text{мм}.$$

Полезно пересчитать то же самое в килоньютонах и метрах: $f = 5 \cdot 8 \cdot 6^4 / (384 \cdot 5100) = 0{,}0265$ м. Совпадение двух подстановок говорит о том, что единицы сведены верно.

Шаг 4. Проверка жёсткости. Допускаемый прогиб задан долей пролёта, поэтому сначала переводим его в миллиметры:

$$[f] = \frac{L}{250} = \frac{6000}{250} = 24\ \text{мм}, \qquad f = 26{,}5\ \text{мм} > [f] = 24\ \text{мм}.$$

Условие жёсткости $f \le [f]$ не выполнено. В относительных единицах $f/L = 26{,}5/6000 = 1/227$, а разрешено не больше $1/250$: превышение составляет 10,3 %.

Шаг 5. Требуемый момент инерции. Прогиб обратно пропорционален $I$, поэтому условие жёсткости сразу разрешается относительно момента инерции:

$$I_{\text{тр}} = \frac{5qL^4}{384E[f]} = \frac{5{,}184 \cdot 10^{16}}{384 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot 24} = 2{,}8125 \cdot 10^7\ \text{мм}^4 = 2812{,}5\ \text{см}^4.$$

Следующий после №22 номер сортамента, двутавр №24, имеет $I_x = 3460$ см⁴ и проходит. Проверим его, пересчитав прогиб пропорционально моментам инерции:

$$f_{24} = 26{,}47 \cdot \frac{2550}{3460} = 19{,}5\ \text{мм} \le 24\ \text{мм}, \qquad \frac{f_{24}}{L} = \frac{1}{308}.$$

Шаг 6. Прочность для контроля. Наибольший момент $M_{\text{max}} = qL^2/8 = 8 \cdot 36/8 = 36$ кН·м, момент сопротивления №22 равен 232 см³, напряжение $\sigma = 36 \cdot 10^6 / (232 \cdot 10^3) = 155{,}2$ МПа при допускаемых 160 МПа. Прочность проходила, и всё решила жёсткость. Сам подбор профиля по напряжениям разобран в задаче о подборе сечения балки.

Ответ: прогиб двутавра №22 в середине пролёта $f = 26{,}5$ мм ($L/227$), что больше $[f] = 24$ мм: жёсткость не обеспечена. Нужен двутавр №24, у него $f = 19{,}5$ мм ($L/308$).

Формула и откуда она берётся

Изогнутая ось балки связана с изгибающим моментом дифференциальным уравнением $EI\,v'' = M(x)$, где $v(x)$ означает вертикальное перемещение сечения. Для нашей схемы обе реакции равны $qL/2$, и момент в сечении $x$ записывается одной строкой. Дальше уравнение дважды интегрируют:

$$\begin{aligned} EI\,v'' &= \frac{qL}{2}x - \frac{q}{2}x^2, \\ EI\,v' &= \frac{qL}{4}x^2 - \frac{q}{6}x^3 + C_1, \\ EI\,v &= \frac{qL}{12}x^3 - \frac{q}{24}x^4 + C_1 x + C_2. \end{aligned}$$

Постоянные находят из условий на опорах: прогибы там нулевые. Из $v(0) = 0$ следует $C_2 = 0$, из $v(L) = 0$ следует $C_1 = -qL^3/24$. Получается уравнение изогнутой оси, именно его калькулятор рисует кривой:

$$v(x) = -\frac{qx}{24EI}\left(L^3 - 2Lx^2 + x^3\right), \qquad v\!\left(\frac{L}{2}\right) = -\frac{5qL^4}{384EI}.$$

Минус означает, что балка прогибается вниз. Производная на опоре даёт угол поворота сечения $\theta = qL^3/(24EI)$; в нашем примере это $8 \cdot 6^3/(24 \cdot 5100) = 0{,}0141$ рад, около 0,81°.

Тот же результат получается и методом Мора: в середине пролёта прикладывают единичную силу и перемножают параболическую эпюру от нагрузки с треугольной единичной. Как это делается по правилу Верещагина, показано в отдельной статье про перемножение эпюр, а построение самой эпюры моментов разобрано в задаче об эпюре моментов.

Почему прочность прошла, а жёсткость нет

Напряжение зависит от момента сопротивления и квадрата пролёта, а прогиб зависит от момента инерции и четвёртой степени пролёта. Если выразить прогиб через напряжение, связь становится наглядной. Подставим $qL^2 = 8M$ и $M/I = 2\sigma/h$, где $h$ означает высоту сечения:

$$\frac{f}{L} = \frac{5\sigma L}{24Eh}.$$

При одном и том же напряжении относительный прогиб определяется только отношением пролёта к высоте сечения. У двутавра №22 высота 220 мм, и $L/h = 6000/220 = 27{,}3$. Если нагрузить сталь до $[\sigma] = 160$ МПа и потребовать $[f] = L/250$, граница получается при $L/h = 24$: балки стройнее этого упираются в жёсткость раньше, чем в прочность. Наш пример лежит по ту сторону границы, отсюда и результат.

Отсюда же практический вывод. Если прогиб не проходит, выгоднее брать профиль повыше, а не потяжелее: переход с №22 на №24 добавляет к массе метра около 14 %, а к моменту инерции почти 36 %. Сокращение пролёта действует ещё сильнее: при $L = 5$ м та же балка прогнулась бы всего на 12,8 мм, потому что $(5/6)^4 \approx 0{,}48$.

Другие схемы нагрузки

Формула $5qL^4/(384EI)$ верна только для двух шарнирных опор и нагрузки по всему пролёту. Для остальных типовых схем коэффициенты другие, и перепутать их легко:

Сравнение коэффициентов многое объясняет. Если ту же суммарную нагрузку $qL = 48$ кН собрать в одну силу посередине пролёта, прогиб вырастет в 1,6 раза, до 42,4 мм. А консоль той же длины под той же нагрузкой прогнётся в 9,6 раза сильнее, чем двухопорная балка.

Когда нагрузок несколько, прогибы от каждой считают отдельно и складывают: в пределах упругости действует принцип независимости действия сил. Все четыре схемы из таблицы переключаются в калькуляторе, и кривая перестраивается под выбранную.

Частые ошибки

• Потерянный порядок момента инерции. Значение 2550 см⁴ подставляют рядом с миллиметрами без множителя $10^4$ и получают прогиб в десять тысяч раз больше. Переводить все величины до подстановки, а не по ходу.
• Не та ось сортамента. Вместо $I_x = 2550$ см⁴ берут $I_y = 157$ см⁴, который относится к балке, положенной набок. Прогиб выходит в 16 раз больше и выглядит абсурдно.
• Момент сопротивления вместо момента инерции. $W_x$ нужен для проверки напряжений, в формулу прогиба входит только $I_x$.
• Чужая формула. Коэффициент $5/384$ применяют к консоли или к нагрузке на части пролёта. Для каждой схемы свой коэффициент, а для нестандартной нагрузки прогиб считают интегрированием или методом Мора.
• Сравнение в разных единицах. Допускаемый прогиб $6/250 = 0{,}024$ оставляют в метрах, а прогиб получают в миллиметрах. Перед сравнением обе величины приводят к одной размерности.
• «Почти проходит». Прогиб 26,5 мм при допускаемых 24 мм не укладывается в норму, округлять в свою пользу нельзя.

FAQ

Какой модуль упругости брать для стали? В учебных задачах обычно $2 \cdot 10^5$ или $2{,}1 \cdot 10^5$ МПа, в нормах проектирования стальных конструкций встречается $2{,}06 \cdot 10^5$ МПа. Если значение дано в условии, бери его. В нашем примере даже при $2{,}1 \cdot 10^5$ МПа прогиб равен 25,2 мм и в норму не укладывается.

Откуда берётся допускаемый прогиб? В учебной задаче его задают долей пролёта в условии. В реальном проектировании предельный прогиб зависит от назначения элемента и пролёта и берётся из норм по нагрузкам и воздействиям; типичный диапазон от $L/150$ до $L/400$.

Нужно ли учитывать собственный вес балки? Да, если этого требует условие: погонный вес профиля просто прибавляют к $q$. Метр двутавра №22 весит 24 кг, это около 0,24 кН/м, и прогиб вырастает с 26,5 до 27,2 мм. Вывод о жёсткости от этого не меняется.

Чем прогиб отличается от угла поворота? Прогиб показывает, на сколько миллиметров сечение сместилось вниз, а угол поворота показывает, на сколько оно наклонилось. У двухопорной балки прогиб максимален в середине, где угол нулевой, а угол максимален на опорах, где нулевой прогиб.

Коротко

1. Переведи всё в ньютоны и миллиметры: $L = 6000$ мм, $q = 8$ Н/мм, $I_x = 2{,}55 \cdot 10^7$ мм⁴, $E = 2 \cdot 10^5$ МПа.
2. Посчитай прогиб по формуле своей схемы: $f = 5qL^4/(384EI) = 26{,}5$ мм.
3. Сравни с допускаемым: $[f] = L/250 = 24$ мм, прогиб больше, жёсткость двутавра №22 не обеспечена.
4. Найди требуемый момент инерции $I_{\text{тр}} = 2812{,}5$ см⁴ и возьми первый профиль, который его перекрывает: двутавр №24, $f = 19{,}5$ мм.
5. Проверь прочность для контроля: 155,2 МПа при 160 МПа. У длинных балок решающей часто оказывается жёсткость, а не прочность.