Как построить эпюру крутящих моментов: разбор

Дано: вал с четырьмя шкивами, расставленными по длине через $0{,}5$, $0{,}7$ и $0{,}6$ м. Вал вращается равномерно. Мощность подводится через шкив 2, а на шкивах 1, 3 и 4 отбирается, причём отбираемые моменты равны $400$, $600$ и $500$ Н·м. Найти: крутящий момент на каждом участке, эпюру $T$ и опасный участок.

Задача решается методом сечений: вал режут на участки между шкивами и на каждом участке складывают внешние моменты, оставшиеся с одной стороны от разреза. Ответ: подводимый момент $M_2 = 1500$ Н·м, крутящие моменты по участкам $-400$, $1100$ и $500$ Н·м, опасный участок II с $T_{\text{max}} = 1100$ Н·м. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: схема вала и эпюра стоят там в одном масштабе по длине, поэтому каждый скачок видно под своим шкивом.

Решение по шагам

Шаг 1. Найти подводимый момент. Вал вращается равномерно, угловое ускорение равно нулю, значит сумма всех внешних моментов относительно оси вала тоже равна нулю. Отсюда момент двигателя равен сумме всего, что снимают потребители:

$$M_{\text{вед}} = M_1 + M_3 + M_4 = 400 + 600 + 500 = 1500\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 2. Расставить знаки. Подводимый момент закручивает вал в одну сторону, отбираемые сопротивляются и действуют в обратную. Примем подводимый со знаком «плюс», отбираемые со знаком «минус». Тогда по шкивам слева направо получаем $-400$, $+1500$, $-600$, $-500$ Н·м. Само правило знаков произвольно, важно только выдержать его до конца расчёта: если поменять его на противоположное, эпюра просто отразится относительно нулевой линии, а модули ординат не изменятся.

Шаг 3. Участок I, между шкивами 1 и 2. Мысленно рассекаем вал и отбрасываем правую часть. Слева остался один шкив:

$$T_{\text{I}} = -400\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 4. Участок II, между шкивами 2 и 3. Слева от сечения теперь два шкива, складываем их моменты:

$$T_{\text{II}} = -400 + 1500 = 1100\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 5. Участок III, между шкивами 3 и 4. Добавляется третий шкив:

$$T_{\text{III}} = -400 + 1500 - 600 = 500\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 6. Проверка и ответ. За последним шкивом ничего не остаётся, и накопленная сумма обязана обнулиться: $500 - 500 = 0$. Значит расчёт сошёлся. Сводим результат в таблицу.

Ответ: эпюра имеет три полки со значениями $-400$, $1100$ и $500$ Н·м; наибольший по модулю крутящий момент $T_{\text{max}} = 1100$ Н·м на участке II, он и есть опасный. Именно это число подставляют дальше в условие прочности, когда подбирают диаметр вала.

Формула и откуда она берётся

Крутящий момент в поперечном сечении равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к любой из отсечённых частей вала:

$$T(x) = \sum_{x_i < x} M_i .$$

Это не самостоятельный закон, а прямое следствие уравнения равновесия отсечённой части. Отброшенная половина вала действовала на оставшуюся через внутренние касательные силы в сечении; их равнодействующий момент и обозначают через $T$. Чтобы оставшаяся часть была в равновесии, внутренний момент обязан уравновесить всё внешнее, что к ней приложено, отсюда и знак суммы.

Из той же логики следует форма эпюры. Между шкивами к валу ничего не приложено, сумма слева не меняется, поэтому $T$ на участке постоянен, а эпюра идёт горизонтальной полкой. Если бы вал был нагружен распределённым моментом $m$ (например, лопастями по всей длине), работала бы зависимость $\dfrac{dT}{dx} = -m$, и полка превратилась бы в наклонную прямую. В учебных задачах с шкивами и зубчатыми колёсами распределённого момента нет, поэтому эпюра всегда ступенчатая.

Обрати внимание, что длины участков в формулу не вошли. На ординаты эпюры $T$ расстояния между шкивами не влияют совсем, они понадобятся только на следующем шаге, когда по эпюре считают касательные напряжения и угол закручивания: там каждое слагаемое пропорционально произведению $T_k l_k$.

Скачки на шкивах и проверка по концам

Переход между полками происходит скачком, и величина скачка равна моменту, приложенному в этом сечении. Проверь по разбору: на шкиве 1 эпюра прыгает с нуля на $-400$, на шкиве 2 с $-400$ на $1100$, то есть на $1500$, на шкиве 3 с $1100$ на $500$, то есть на $600$. Все три скачка совпали с приложенными моментами, а значит ни один шкив не потерян и ни один знак не перепутан.

Вторая обязательная проверка идёт по концам вала. Слева от первого шкива и справа от последнего внешних моментов нет, поэтому там $T = 0$. Эпюра начинается скачком от нулевой линии и возвращается на неё скачком: она обязана замкнуться. Если хвост не обнулился, ошибка либо в знаке одного из моментов, либо в условии, где вал не уравновешен. В калькуляторе это число вынесено отдельным показателем: подвигай ползунки и увидишь, как остаток уходит от нуля, едва равновесие нарушается.

Эта же пара проверок работает и для стержня с заделкой. Разница только в том, что реактивный момент в защемлении заранее неизвестен: его находят как раз из условия замыкания эпюры, а участок с заделкой считают справа налево.

Где выгоднее ставить ведущий шкив

Полезное наблюдение, которое почти всегда спрашивают на защите: при неизменных потребителях наибольший момент на валу зависит от того, где стоит шкив подвода. Второй график в калькуляторе перебирает все четыре положения с теми же отбираемыми моментами.

Крайние положения самые невыгодные: весь поток мощности проходит через вал насквозь, и на ближайшем к двигателю участке сидит полный момент $1500$ Н·м. Стоит перенести подвод внутрь, и поток расходится в обе стороны, а нагруженный участок разгружается. В нашей схеме перенос со шкива 2 на шкив 3 снижает расчётный момент с $1100$ до $1000$ Н·м, то есть почти на десятую часть, и вал можно сделать тоньше при том же материале.

Если в условии даны мощности, а не моменты

Частая формулировка: вместо моментов заданы мощности шкивов и частота вращения вала. Переход делается через угловую скорость $\omega = \pi n / 30$:

$$M = \frac{P}{\omega} = \frac{30 P}{\pi n} \approx 9550\,\frac{P\ [\text{кВт}]}{n\ [\text{об/мин}]}\ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Для нашего вала подводимой мощности $P = 22$ кВт при $n = 140$ об/мин отвечает момент $M = 9550 \cdot 22 / 140 \approx 1500$ Н·м, то есть ровно то число, с которого начинался разбор. Отбираемые мощности $6$, $9$ и $7$ кВт дают $409$, $614$ и $477$ Н·м, что близко к исходным $400$, $600$ и $500$ Н·м. Частота вращения у всех шкивов одна и та же, так как это один вал, поэтому баланс мощностей автоматически даёт баланс моментов, и отдельно проверять равновесие не нужно.

Частые ошибки

• Складывают моменты по модулю, не расставив знаки. Тогда на участке II вместо $1100$ выходит $1900$ Н·м, а эпюра не замыкается на правом конце.
• Меняют правило знаков посреди расчёта: первые два участка считают в одну сторону, третий в другую. Знак выбирается один раз и держится до конца.
• Проводят эпюру наклонной линией между шкивами, по аналогии с балкой. Распределённого момента на валу нет, участок между шкивами строго горизонтален.
• Забывают про шкив, который стоит левее первого сечения, и начинают отсчёт со второго. Проверка по скачкам ловит это мгновенно: один из скачков не совпадёт с приложенным моментом.
• Путают крутящий момент с изгибающим: у вала редуктора строят обе эпюры, но $T$ идёт от моментов вокруг оси вала, а $M$ от поперечных сил в зацеплении.
• Берут для расчёта на прочность момент ведущего шкива $1500$ Н·м вместо максимума по эпюре $1100$ Н·м. Диаметр при этом выйдет завышенным, а ошибка в логике останется.

FAQ

Почему на эпюре есть отрицательные значения, это ошибка? Нет. Знак показывает только направление закручивания участка относительно выбранного правила. На прочность идёт модуль, поэтому участок с $-400$ Н·м нагружен слабее, чем участок с $1100$ Н·м, несмотря на минус.

С какой стороны резать вал? С любой: сумма слева и сумма справа дают одно и то же число с точностью до знака, потому что весь вал уравновешен. Удобнее резать с той стороны, где меньше шкивов, поэтому правые участки часто считают справа налево.

Нужно ли учитывать опоры вала? В задаче на кручение подшипники не создают моментов вокруг оси вала, поэтому в сумму они не входят. Это отличие от эпюры поперечных сил, где реакции опор нужно находить первым делом, как при построении эпюры продольных сил и при изгибе.

Что делать, если вал ступенчатый? На эпюру $T$ ступени не влияют вовсе, ведь она строится только по внешним моментам. Ступени учитываются дальше, когда по каждому участку считают напряжения и угол закручивания через свой полярный момент сопротивления.

Коротко

1. Из равновесия вала найди недостающий момент: подводимый равен сумме отбираемых, для нашей схемы $1500$ Н·м.
2. Расставь знаки: подводимый плюс, отбираемые минус, и не меняй правило до конца расчёта.
3. Иди слева направо и складывай моменты нарастающим итогом, получая по одной полке на каждый участок.
4. Проверь эпюру двумя способами: скачок на каждом шкиве равен приложенному там моменту, а за последним шкивом сумма равна нулю.
5. Для примера ответ: $T_{\text{I}} = -400$, $T_{\text{II}} = 1100$, $T_{\text{III}} = 500$ Н·м, опасный участок II, $T_{\text{max}} = 1100$ Н·м.