Метод сил: как применить, пошаговое решение

Дано: балка пролётом $l = 6$ м, левый конец жёстко защемлён, правый опирается на шарнирно подвижную опору (каток), по всему пролёту равномерно распределённая нагрузка $q = 12$ кН/м, жёсткость $EI$ постоянна. Найти: лишнее неизвестное методом сил и итоговую эпюру изгибающих моментов.

Система один раз статически неопределима, значит каноническое уравнение будет ровно одно. Лишняя связь здесь - вертикальная связь катка: отбросим её, заменим неизвестной силой $X_1$ и потребуем, чтобы прогиб в этой точке остался нулевым, как его и держит настоящая опора. Ответ: $X_1 = R_B = 27$ кН, момент в заделке $M_A = -54$ кН·м, наибольший пролётный момент $M = 30{,}375$ кН·м в сечении $x = 3{,}75$ м от заделки. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах и показывает всю цепочку сразу: схему, единичную эпюру, грузовую и итоговую.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем степень статической неопределимости. Балка плоская, реакций четыре: три в заделке и одна вертикальная на катке. Уравнений статики для плоской системы три, поэтому $n = 4 - 3 = 1$. Одна лишняя связь - одно лишнее неизвестное и одно каноническое уравнение. Подсчёт связей для рам и неразрезных балок разобран в задаче о степени статической неопределимости.

Шаг 2. Выбираем основную систему. Основная система получается из заданной удалением лишних связей так, чтобы остаток был геометрически неизменяем и статически определим. Удобнее всего убрать вертикальную связь катка: остаётся консоль, у которой эпюры строятся устно, без вычисления реакций. Вместо удалённой связи прикладываем неизвестную силу $X_1$ вверх - получилась эквивалентная система.

Шаг 3. Записываем каноническое уравнение. Настоящая опора не даёт балке опуститься, поэтому суммарное вертикальное перемещение точки $B$ в эквивалентной системе равно нулю. Перемещение складывается из двух частей: от самой силы $X_1$ и от внешней нагрузки. Отсюда и берётся уравнение метода сил:

$$\delta_{11} X_1 + \Delta_{1P} = 0, \qquad X_1 = -\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}}.$$

Шаг 4. Строим единичную эпюру. Нагружаем основную систему единичной силой $X_1 = 1$ в точке $B$ и строим эпюру $\overline{M}_1$. Для консоли момент в сечении на расстоянии $x$ от заделки равен произведению единичной силы на её плечо:

$$\overline{M}_1(x) = 1 \cdot (l - x), \qquad \overline{M}_1(0) = 6\ \text{м}, \qquad \overline{M}_1(l) = 0.$$

Эпюра единичных моментов - треугольник с ординатой $6$ м у заделки. Размерность здесь метры, а не килоньютон-метры: сила безразмерная единичная.

Шаг 5. Строим грузовую эпюру. Теперь нагружаем ту же основную систему только заданной нагрузкой $q$, без $X_1$. Момент в сечении даёт равнодействующая распределённой нагрузки, лежащей правее сечения, на плече в половину её длины:

$$M_P(x) = -\frac{q (l - x)^2}{2}, \qquad M_P(0) = -\frac{12 \cdot 6^2}{2} = -216\ \text{кН}\cdot\text{м}.$$

Знак минус означает, что растянуты верхние волокна - консоль прогибается вниз. Эпюра грузовых моментов - квадратная парабола с вершиной на свободном конце.

Шаг 6. Перемножаем эпюры и находим коэффициенты. Оба коэффициента считаются интегралом Мора, а практически - перемножением эпюр по правилу Верещагина: площадь одной эпюры умножается на ординату другой (обязательно прямолинейной) под её центром тяжести.

У второго произведения эпюры лежат по разные стороны от оси, поэтому результат отрицательный. Жёсткость $EI$ стоит в знаменателе обоих коэффициентов одинаково, так что её можно вообще не выписывать: в отношении она сократится.

Шаг 7. Решаем уравнение. Подставляем коэффициенты и получаем лишнее неизвестное:

$$X_1 = -\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}} = \frac{1944}{72} = 27\ \text{кН}.$$

Знак положительный, значит выбранное направление угадано: реакция катка действительно направлена вверх и равна $R_B = 27$ кН. В общем виде для такой схемы $R_B = \tfrac{3}{8} q l$, и $\tfrac{3}{8} \cdot 12 \cdot 6 = 27$ кН - совпало.

Шаг 8. Строим итоговую эпюру. Итоговые моменты собираются наложением: к грузовой эпюре прибавляется единичная, умноженная на найденное $X_1$.

$$M(x) = M_P(x) + X_1 \overline{M}_1(x) = -\frac{q(l-x)^2}{2} + 27(l - x).$$

Считаем характерные ординаты. В заделке $M_A = 27 \cdot 6 - 216 = -54$ кН·м, на катке $M_B = 0$. Поперечная сила $Q(x) = R_A - qx = 45 - 12x$ обращается в ноль при $x = 3{,}75$ м - там и стоит пролётный максимум:

$$M_{\max} = 27 \cdot 2{,}25 - \frac{12 \cdot 2{,}25^2}{2} = 60{,}75 - 30{,}375 = 30{,}375\ \text{кН}\cdot\text{м}.$$

Эпюра меняет знак при $x = 1{,}5$ м: до этого сечения растянуты верхние волокна, после - нижние. Ответ: $X_1 = R_B = 27$ кН, $R_A = 45$ кН, $M_A = -54$ кН·м, $M_{\max} = 30{,}375$ кН·м при $x = 3{,}75$ м.

Шаг 9. Проверяем. Статическая проверка: сумма реакций $45 + 27 = 72$ кН равна всей нагрузке $ql = 72$ кН. Деформационная проверка строже: перемножение итоговой эпюры на единичную даёт перемещение по направлению отброшенной связи, а оно обязано быть нулевым.

$$\int_0^l M \overline{M}_1\, dx = X_1 \frac{l^3}{3} - \frac{q l^4}{8} = 27 \cdot 72 - 1944 = 0.$$

Каноническое уравнение: что означает каждый символ

Индексы в методе сил читаются просто: первый говорит, по какому направлению измеряется перемещение, второй - что его вызвало. Коэффициент $\delta_{11}$ - перемещение точки приложения $X_1$ по направлению $X_1$ от единичной силы $X_1 = 1$. Грузовой член $\Delta_{1P}$ - перемещение той же точки в том же направлении, но уже от внешней нагрузки $P$. Само уравнение - это условие совместности деформаций, а не равновесия: статика на этом шаге уже исчерпана.

Отсюда два полезных свойства. Коэффициент $\delta_{11}$ всегда положителен: под интегралом стоит квадрат ординаты, и минус в ответе означает ошибку в арифметике. Грузовой член знака не имеет - он показывает, куда сдвинулась бы точка без лишней связи. Для системы со степенью неопределимости $n$ уравнений будет $n$, причём $\delta_{ik} = \delta_{ki}$ по теореме о взаимности перемещений: побочные коэффициенты, посчитанные независимо, обязаны совпасть попарно.

Перемножение эпюр по Верещагину

Интеграл Мора руками считать долго, поэтому его заменяют графоаналитическим приёмом: если хотя бы одна из двух эпюр прямолинейна, интеграл равен площади второй, умноженной на ординату прямолинейной под её центром тяжести. В методе сил единичная эпюра прямолинейна почти всегда, так что условие выполняется само собой. Набор площадей и центров тяжести для типовых фигур собран в статье про правило Верещагина.

Здесь хватает двух фигур. У треугольника площадь $\tfrac{1}{2} h l$, центр тяжести на расстоянии трети основания от большей ординаты. У квадратной параболы с вершиной на конце участка площадь $\tfrac{1}{3} h l$, центр тяжести отстоит от вершины на $\tfrac{3}{4}$ длины. Перепутать эти дроби - самая частая причина неверного $X_1$: у параболы с вершиной посередине пролёта площадь уже $\tfrac{2}{3} h l$.

Когда эпюра ломаная, пролёт разбивают на участки и перемножают их по очереди, складывая результаты алгебраически. Правило знаков одно: произведение положительно, если обе эпюры лежат по одну сторону от оси стержня.

Другая основная система даёт тот же ответ

Основную систему можно выбрать иначе - переключи чипы в калькуляторе сверху. Врежем в заделке шарнир: связь, запрещающая поворот, исчезла, балка стала обычной двухопорной, а лишним неизвестным - опорный момент $X_1 = M_A$. Единичная эпюра теперь безразмерный треугольник от $1$ у заделки до нуля на катке, грузовая - парабола с ординатой $q l^2 / 8 = 54$ кН·м посередине.

Коэффициенты получаются другие: $\delta_{11} EI = l/3 = 2$ м, а $\Delta_{1P} EI = -\tfrac{2}{3} \cdot 6 \cdot 54 \cdot 0{,}5 = -108$ кН·м². Уравнение даёт $X_1 = 108 / 2 = 54$ кН·м, то есть опорный момент $54$ кН·м, растягивающий верхние волокна. Это ровно тот же $M_A = -54$ кН·м, что получился в первом варианте, и вся итоговая эпюра совпадает ординату в ординату.

Вывод практический: основная система произвольна, ответ от неё не зависит, выбирают её из соображений удобства - там, где эпюры проще и участков перемножения меньше. Для неразрезных балок выгоднее врезать шарниры над промежуточными опорами: единичные эпюры не выходят за пределы двух соседних пролётов, побочные коэффициенты обнуляются, а система уравнений становится трёхчленной. Характерные ординаты итоговой эпюры снимаются приёмами из задачи про построение эпюры моментов.

Частые ошибки

• Отбрасывают связь так, что остаток становится изменяемым: убирают не вертикальную связь катка, а заделку целиком. Основная система обязана быть геометрически неизменяемой, иначе эпюры построить нельзя.
• Приписывают ординатам $\overline{M}_1$ килоньютон-метры, забыв, что эпюра строится от безразмерной единицы. Размерность $\delta_{11}$ и $\Delta_{1P}$ перестаёт сходиться, и ошибку в множителе заметить уже нечем.
• Берут центр тяжести параболы на середине участка. Для параболы с вершиной на конце это $\tfrac{3}{4}$ длины от вершины, а площадь равна трети описанного прямоугольника, а не половине.
• Теряют знак у $\Delta_{1P}$. Если эпюры лежат по разные стороны оси, произведение отрицательно, и тогда $X_1$ выходит положительным. Знак $X_1$ после решения читается буквально: минус означает, что реакция направлена против принятого направления.
• Ставят итоговую эпюру только как $X_1 \overline{M}_1$, забыв прибавить грузовую. Признак этой ошибки виден сразу: момент в заделке получается положительным и равным $162$ кН·м вместо $-54$.
• Пропускают деформационную проверку. Сумма реакций сходится даже при неверном $X_1$, если реакции досчитаны из равновесия, а перемножение итоговой эпюры на единичную ловит любую ошибку в коэффициентах.

FAQ

Чем метод сил отличается от метода перемещений? В методе сил неизвестные - усилия в отброшенных связях, а уравнения выражают равенство нулю перемещений. В методе перемещений наоборот: неизвестны углы поворота и смещения узлов, а уравнения выражают равновесие. Берут тот, где неизвестных меньше: для неразрезных балок это обычно метод сил, для многоэтажных рам с жёсткими узлами - метод перемещений.

Зависит ли ответ от жёсткости $EI$? В однородной системе не зависит: $EI$ входит множителем в оба коэффициента и сокращается при делении. Как только жёсткость по участкам разная, в ответ входят отношения $EI_1 / EI_2$. То же с температурой и осадкой опор: там появляются свободные члены, не связанные с нагрузкой.

Нужно ли учитывать продольные силы и сдвиг? В балках и рамах вклад изгибающих моментов на порядок больше, поэтому интеграл Мора пишут только по $M$. Учитывать $N$ обязательно в фермах и пологих арках, а $Q$ - в коротких балках, где пролёт сопоставим с высотой сечения.

Что делать, если $X_1$ получилось отрицательным? Ничего исправлять не нужно: знак говорит лишь о том, что истинное усилие направлено против принятого на схеме. Итоговая эпюра строится с этим отрицательным числом автоматически, перерисовывать стрелку и считать заново не требуется.

Коротко

1. Считаем степень статической неопределимости: реакций четыре, уравнений статики три, $n = 1$.
2. Отбрасываем лишнюю связь и получаем основную систему, а вместо связи прикладываем $X_1$.
3. Пишем каноническое уравнение $\delta_{11} X_1 + \Delta_{1P} = 0$ - условие нулевого перемещения по направлению отброшенной связи.
4. Строим единичную и грузовую эпюры и перемножаем их по Верещагину: $\delta_{11} EI = 72$ м³, $\Delta_{1P} EI = -1944$ кН·м³.
5. Решаем уравнение: $X_1 = 27$ кН, итоговая эпюра $M = M_P + X_1 \overline{M}_1$ даёт $M_A = -54$ кН·м и $M_{\max} = 30{,}375$ кН·м при $x = 3{,}75$ м; деформационная проверка обращает произведение эпюр в ноль.